EXCEL: Herramienta Solver

Facultad de Ciencias Económicas

Universidad Nacional de Cuyo

Introducción

Las planillas de cálculo se han convertido en herramientas obligadas de análisis de datos. Sin embargo, no siempre se aprovechan todas sus potencialidades.

La planilla más difundida en el mercado es Excel, que viene incluida en el paquete Office de Microsoft. En este trabajo se procura dar una sencilla explicación de su uso como herramienta de optimización. Incluye las versiones 5.0 y 97.

Optimización Restringida

Un problema de optimización consiste en encontrar aquellos valores de ciertas variables que optimizan (es decir, hacen máxima o mínima, según el caso), una función de estas variables. A las variables las llamaremos variables controlables o variables de decisión.

Matemáticamente, significa encontrar los valores de x1, x2,..., xn, tales que hacen máxima (o mínima) a la función f (x1, x2,..., xn).

El método más conocido para encontrar el óptimo de una función es a través del análisis de sus derivadas. Este método tiene dos limitaciones: no siempre la función es derivable, y, además, no siempre el óptimo nos da una solución que tenga sentido en la práctica.

Debido a la primera limitación, surgieron los métodos numéricos, que parten de una solución inicial, y mediante algún algoritmo iterativo, mejoran sucesivamente la solución.

Debido a la segunda limitación, surgieron los métodos de optimización restringida. El nombre se debe a que podemos ponerle restricciones a las variables, de modo que cumplan una o más condiciones.

La restricción más común que se da en la práctica es que las variables deben ser no negativas. No tiene ningún sentido una "solución" que implique producir cantidades negativas, o sembrar un número negativo de hectáreas, o llevar un número negativo de paquetes, por ejemplo.

Pero, además, surgen naturalmente otras restricciones en el mundo real, debido a limitaciones de horas de trabajo, capital, tiempo, insumos, o a que quizás deseamos imponer ciertos mínimos o máximos de calidad, riesgo, etc.. Estas restricciones pueden ser funciones de las variables controlables.

Podríamos resumir diciendo que en un problema de optimización restringida buscamos los valores de ciertas variables que optimizan una función objetivo, sujetas a restricciones, dadas también en términos de funciones.

Matemáticamente, significa encontrar los valores de x1, x2, ..., xn, tales que hacen máxima (o mínima) a f (x1, x2, ..., xn), sujeto a restricciones de tipo gj (x1, x2, ..., xn) ", = ó " cj , donde cj es una constante.

Los modelos más sencillos de optimización restringida corresponden a modelos de Programación Lineal, donde tanto la función objetivo como las restricciones son funciones lineales, las variables deben ser no negativas, y pueden tomar cualquier valor real, no necesariamente entero.

Herramienta Solver

Solver es una herramienta para resolver y optimizar ecuaciones mediante el uso de métodos numéricos.

Con Solver, se puede buscar el valor óptimo para una celda, denominada celda objetivo, en donde se escribe la fórmula de la función objetivo f (x1, x2, ..., xn).

Solver cambia los valores de un grupo de celdas, denominadas celdas cambiantes, y que estén relacionadas, directa o indirectamente, con la fórmula de la celda objetivo. En estas celdas se encuentran los valores de las variables controlables x1, x2, ..., xn.

Puede agregar restricciones a Solver, escribiendo una fórmula gj (x1, x2, ..., xn) en una celda, y especificando que la celda deberá ser mayor o igual, igual, o menor o igual que otra celda que contiene la constante cj.

También puede especificar que los valores sean enteros, para evitar dar resultados absurdos de algunos problemas, tales como que se necesitan 3,5 empleados.

Solver ajustará los valores de las celdas cambiantes, para generar el resultado especificado en la fórmula de la celda objetivo.

Instalar Solver

En el menú Herramientas, fíjese si aparece el comando Solver. Si no aparece, deberá instalar el complemento o macro automática Solver.

• Si tiene Excel 97

Si Solver no aparece en la lista del cuadro de diálogo Complementos, haga clic en Examinar y localice la unidad, la carpeta y el nombre de archivo Solver.xla que, normalmente, está ubicado en la carpeta Macros/Solver, o ejecute el programa de instalación si no puede localizar el archivo.

• Si tiene Excel 5.0

Algoritmos y Métodos Utilizados por Solver

Microsoft Excel Solver utiliza diversos métodos de solución, dependiendo de las opciones que seleccione.

• Para los problemas de Programación Lineal utiliza el método Simplex.

• Para problemas lineales enteros utiliza el método de ramificación y límite, implantado por John Watson y Dan Fylstra de Frontline Systems, Inc.

• Para problemas no lineales utiliza el código de optimización no lineal (GRG2) desarrollado por la Universidad Leon Lasdon de Austin (Texas) y la Universidad Allan Waren (Cleveland).

Para obtener más información acerca del proceso de solución interno que utiliza Solver, póngase en contacto -en inglés- con:

Frontline Systems, Inc.

Página Web: http://www.frontsys.com

Correo electrónico: info@frontsys.com

Solver y Optimización No Lineal

Veremos algunos casos de optimización a partir de un modelo tomado del archivo muestras.xls de Solver.

Éste es un modelo típico de mercadotecnia que muestra las ventas en función de los gastos en publicidad y de un factor de temporada. Esta función es no lineal y se expresa:

Unidades vendidas = 35*factor de temporada*(publicidad+3000) ^ 0.5

Para un factor de temporada 1 (neutro), el gráfico es:

Observe que aumentan las ventas a partir de una cifra base (quizás debido al personal de ventas) al incrementar la publicidad, pero con una caída constante en el flujo de caja.

Por ejemplo, los primeros 5.000 $ de publicidad producen aproximadamente un incremento de 1.200 unidades vendidas, pero los 5.000 $ siguientes producen cerca de 800 unidades adicionales.

Puede utilizar Solver para averiguar si el presupuesto publicitario es escaso y si la publicidad debe orientarse de otra manera durante algún tiempo para aprovechar mejor el factor de temporada.

El Modelo

Para cada trimestre, se tiene:

• Los factores de temporada:

	Trimestre 1	Trimestre 2	Trimestre 3	Trimestre 4
Factor de temporada	0.9	1.1	0.8	1.2

• Unidades vendidas = 35*factor de temporada*(publicidad+3000) ^ 0.5

• Ingresos por ventas = precio del producto * unidades vendidas.

• Costo de las ventas = costo del producto * unidades vendidas.

• Margen bruto = Ingreso por ventas - Costo de las ventas

• Costo personal = 8000 los dos primeros trimestres y 9000 los dos últimos.

• Publicidad = 10000 {éstas serán las variables controlables}

• Costos fijos = 0.15 * Ingresos por ventas

• Costo total = Costo personal + Publicidad + Costos fijos

• Beneficio = Margen bruto - Costo total.

• Margen de beneficio = Beneficio / Ingresos por ventas.

El precio de venta y el costo son constantes a lo largo del año:

• Precio del producto = 40

• Costo del producto = 25

Introducción de Datos

Abra una nueva planilla de cálculo, e ingrese los datos y las fórmulas del modelo anterior. La planilla debe quedar como se muestra en la próxima página. Se sugiere ingresar los rótulos de la columna A, y luego aumentar el ancho de la columna.

Para ayudarle en la confección de la planilla, la fuente en negrita indica las celdas con valores fijos, y en normal las celdas donde debe ingresar una fórmula.

En las columnas B, C, D y E, se escriben las fórmulas de cada trimestre: T1, T2, T3 y T4. Ingrese las fórmulas de T1 y luego cópielas a los otros trimestres. La columna F (Total), es la suma de los 4 trimestres, excepto en el Margen de Beneficio.

Windows tiene definido un separador de decimales, que suele ser el punto o la coma. Para saber cuál de los dos es el que tiene establecido, ingrese en la celda B3 el número 0,9. Si se alinea a la derecha, el separador de decimales es la coma, y lo ha interpretado como número. Si se alinea a la izquierda, el separador seguramente es el punto, y ha interpretado que ingresó un rótulo o texto.

Para que aparezca el signo $, debe seleccionar del menú, Formato / Celda / Moneda. Para expresar los Márgenes de Beneficio de la fila 16 en porcentajes, Formato / Celda / Porcentaje.




Optimizar una Función de Una Variable

Puede utilizar Solver para determinar el valor máximo de una celda cambiando el valor de otra. Las dos celdas deben estar relacionadas por medio de las fórmulas de la hoja de cálculo. Si no es así, al cambiar el valor de una celda no cambiará el valor de la otra celda.

En la hoja de cálculo se desea saber cuánto es necesario gastar en publicidad para generar el máximo beneficio en el primer trimestre. El objetivo es maximizar el beneficio cambiando los gastos en publicidad.

• En el menú Herramientas, haga clic en Solver.

• En el cuadro Celda objetivo, escriba b15 o seleccione la celda B15 (beneficios del primer trimestre) en la hoja de cálculo.

• Seleccione la opción Máximo.

• En el cuadro Cambiando las celdas, escriba b11 o seleccione la celda B11 (publicidad del primer trimestre) en la hoja de cálculo.

• Haga clic en Resolver. Aparecerán mensajes en la barra de estado mientras se configura el problema y Solver empezará a funcionar.

Después de un momento, aparecerá un mensaje advirtiendo que Solver ha encontrado una solución.

• Haga clic en Utilizar la solución de Solver y, a continuación, haga clic en Aceptar para mantener los resultados que se muestran en la pantalla.

El resultado es que un gasto en publicidad en T1 de 17 093 $ produce un beneficio máximo de 15 093 $. El margen de beneficio, sin embargo, ha disminuido.

Efectivamente, si se grafica la función beneficio para distintos valores de gastos de publicidad, se tiene:




Observe que esta función es cóncava, y tiene un solo máximo local, que coincide con el máximo global, por lo que su optimización mediante métodos numéricos no suele presentar problemas.

Optimizar una Función de Varias Variables

También puede utilizar Solver para encontrar los valores que deben tomar varias celdas a la vez para maximizar o minimizar otra celda que tenga una fórmula que dependa de ellas. Por ejemplo, puede averiguar cuál es el presupuesto publicitario de cada trimestre que produce el mayor beneficio durante el año. Debido a que el factor de temporada en la fila 3 se tiene en cuenta en el cálculo de la unidad de ventas en la fila 5 como multiplicador, parece lógico que se gaste más del presupuesto publicitario en el trimestre T4 cuando la respuesta a las ventas es mayor, y menos en el T3 cuando la respuesta a las ventas es menor. Utilice Solver para determinar la mejor dotación trimestral.

• En el menú Herramientas, haga clic en Solver.

• Haga clic en el botón Restablecer todo, para borrar los datos de Solver, y luego en Aceptar.

• En el cuadro Celda objetivo, escriba f15 o seleccione la celda F15 (beneficios totales del año) en la hoja de cálculo.

• Asegúrese de que la opción Máximo está seleccionada.

• En el cuadro Cambiando las celdas, escriba b11:e11 o seleccione las celdas B11:E11 (el presupuesto publicitario de cada uno de los cuatro trimestres) en la hoja de cálculo.

• Haga clic en Resolver.

• Haga clic en Utilizar la solución de Solver y, a continuación, haga clic en Aceptar para mantener los resultados que se muestran en la pantalla.

Acaba de solicitar a Solver que resuelva un problema de optimización no lineal moderadamente complejo, es decir, debe encontrar los valores para las incógnitas en las celdas de B11 a E11 que maximiza el beneficio anual. Se trata de un problema no lineal debido a los exponentes utilizados en las fórmulas de la fila 5.

El resultado de esta optimización sin restricciones muestra que se pueden aumentar los beneficios durante el año a 79.706 $ si se gastan 89.706 $ en publicidad durante el año, de la siguiente manera:

	Trimestre 1	Trimestre 2	Trimestre 3	Trimestre 4
Gastos en Publicidad	17 093	27 016	12 876	32 721

¿Solver no encontró estos valores?

Los métodos numéricos para problemas no lineales encuentran el óptimo sólo si:

• Existe, y

• Se parte de una solución inicial "apropiada".

Es conveniente siempre probar con diferentes soluciones iniciales, para confirmar que la solución de Solver es realmente la mejor, o para evitar que se "atore" en puntos de inflexión o en óptimos locales.

En este ejemplo, la solución inicial "apropiada" es gastar $10000 en publicidad en todos los trimestres.

Optimizar una Función con Restricciones

Los modelos más realistas tienen factores de restricción que es necesario aplicar a ciertos valores. Estas restricciones se pueden aplicar a las celdas de las variables controlables (celdas cambiantes) o a cualquier otra celda que tenga una función (fórmula) de estas celdas.

Agregar una restricción

Hasta ahora, el presupuesto recupera el costo publicitario y genera beneficios adicionales, pero se está alcanzado un estado de disminución de flujo de caja. Debido a que nunca es seguro que el modelo de ventas y publicidad vaya a ser válido para el próximo año (de forma especial a niveles de gasto mayores), no parece prudente dotar a la publicidad de un gasto no restringido.

Supongamos que desea mantener el presupuesto original de publicidad en 40.000 $. Agregue al problema una restricción que limita la cantidad en publicidad durante los cuatro trimestres a 40.000 $.

• En el menú Herramientas, haga clic en Solver y después en Agregar.

Aparecerá el cuadro de diálogo Agregar restricción.

• En el cuadro Referencia de celda, escriba f11 o seleccione la celda F11 (total en publicidad) en la hoja de cálculo.

La celda F11 debe ser menor o igual a 40.000 $. La relación en el cuadro Restricción es <= (menor o igual que) de forma predeterminada, de manera que no tendrá que cambiarla.

• En el cuadro que se encuentra a la derecha de la relación, escriba 40000. Haga clic en Aceptar y, a continuación, haga clic en Resolver.

• Haga clic en Utilizar la solución de Solver y, a continuación, haga clic en Aceptar para mantener los resultados que se muestran en la pantalla.

La solución encontrada por Solver realiza una redistribución del presupuesto original de 40 000$, desde un mínimo de 5 117 $ en el T3 hasta 15 263 $ en el T4. El beneficio total aumentó desde 69 662 $ en el presupuesto original a 71 447 $, sin ningún aumento en el presupuesto publicitario.

¿Solver no encontró estos valores?

Los métodos numéricos para problemas no lineales encuentran el óptimo sólo si:

• Existe, y

• Se parte de una solución inicial "apropiada".

Es conveniente siempre probar con diferentes soluciones iniciales, para confirmar que la solución de Solver es realmente la mejor, o para evitar que se "atore" en puntos de inflexión o en óptimos locales.

En este ejemplo, la solución inicial "apropiada" es gastar $10000 en publicidad en todos los trimestres.

Cambiar una restricción

Cuando utilice Microsoft Excel Solver, puede experimentar con parámetros diferentes para decidir la mejor solución de un problema. Por ejemplo, puede cambiar una restricción para ver si los resultados son mejores o peores que antes. En la hoja de cálculo, cambie la restricción en publicidad de 40.000 $ a 50.000 $ para ver qué ocurre con los beneficios totales.

• En el menú Herramientas, haga clic en Solver.

• Seleccione la restricción, $F$11<=40000 en el cuadro Sujetas a las siguientes restricciones.

• Haga clic en Cambiar.

• En el cuadro Restricción, cambie de 40000 a 50000.

• Haga clic en Aceptar y después en Resolver.

• Haga clic en Utilizar la solución de Solver y, a continuación, haga clic en Aceptar para mantener los resultados que se muestran en la pantalla.

Solver encontrará una solución óptima que produzca un beneficio total de 74 817 $. Esto supone una mejora de 3 370 $ con respecto al resultado de 71 447 $. En la mayoría de las organizaciones no resultará muy difícil justificar un incremento en inversión de 10 000 $ que produzca un beneficio adicional de 3 370 $ o un 33,7% de flujo de caja.

Esta solución también produce un resultado de 4 889 $ menos que el resultado no restringido, pero es necesario gastar 39 706 $ menos para lograrlo.

Guardar un Problema Modelo

Al hacer clic en Guardar en el menú Archivo, las últimas selecciones realizadas en el cuadro de diálogo Parámetros de Solver se vinculan a la hoja de cálculo y se grabarán al guardar el libro.

Sin embargo, puede definir más de un problema en una hoja de cálculo si las guarda de forma individual utilizando Guardar modelo en el cuadro de diálogo Opciones de Solver. Cada modelo de problema está formado por celdas y restricciones que se escribieron en el cuadro de diálogo Parámetros de Solver.

Cuando haga clic en Guardar modelo, aparecerá el cuadro de diálogo Guardar modelo con una selección predeterminada, basada en la celda activa, como el área para guardar el modelo. El rango sugerido incluirá una celda para cada restricción además de tres celdas adicionales. Asegúrese de que este rango de celdas se encuentre vacío en la hoja de cálculo.

• En el menú Herramientas, haga clic en Solver y después en Opciones.

• Haga clic en Guardar modelo. En el cuadro Seleccionar área del modelo, escriba h15:h18 o seleccione las celdas H15:H18 en la hoja de cálculo.

• Haga clic en Aceptar.

Nota: También puede escribir una referencia a una sola celda en el cuadro Seleccionar área del modelo.

Solver utilizará esta referencia como la esquina superior izquierda del rango en el que copiará las especificaciones del problema.

Para cargar estas especificaciones de problemas más tarde, haga clic en Cargar modelo en el cuadro de diálogo Opciones de Solver, escriba h15:h18 en el cuadro Seleccionar área del modelo o seleccione las celdas H15:H18 en la hoja de cálculo de muestra y, a continuación, haga clic en Aceptar. Solver mostrará un mensaje ofreciendo la posibilidad de restablecer las opciones de configuración actuales de Solver con las configuraciones del modelo que se está cargando. Haga clic en Aceptar para continuar.

Solver y Programación Lineal

Veremos ahora la utilización de Solver para resolver casos de Programación Lineal, aplicándolas a un ejemplo muy elemental, tomado del libro de Eppen, Gould y Schmidt, Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa, 3ra edición, Editorial Prentice Hall. En éste y en otros libros de Investigación Operativa, se encontrarán numerosas aplicaciones de Programación Lineal y no Lineal.

Nota Las inestabilidades (por malas soluciones iniciales) del algoritmo de optimización no lineal no se presentan en casos de Programación Lineal, dado que Solver utiliza el Método Simplex.

El Modelo de la Protrac

• La Protrac Inc., fabrica dos tipos de productos químicos, E y F, cuya utilidad neta es de $5000 y $4000 por tonelada respectivamente.

• Ambos pasan por operaciones de 2 departamentos de producción, que tienen una disponibilidad limitada.

• El departamento A dispone de 150 horas mensuales; cada tonelada de E utiliza 10 horas de este departamento, y cada tonelada de F, 15 horas.

• El departamento B tiene una disponibilidad de 160 horas mensuales. Cada tonelada de E precisa de 20 horas, y cada tonelada de F precisa de 10 horas para su producción.

• Para la producción global de E y F, se deberán utilizar al menos 135 horas de verificación en el próximo mes; el producto E precisa de 30 horas y F de 10 horas por tonelada de verificación .

• La alta gerencia ha decretado que es necesario producir al menos una tonelada de F por cada 3 de E .

• Un cliente ha solicitado 5 toneladas, cualquiera sea su tipo, de E o F.

• Por otro lado, es evidente que no pueden producirse cantidades negativas de E ni de F.

Se trata de decidir, para el mes próximo, las cantidades a producir de cada uno de los productos para maximizar la utilidad global.

El Modelo

Variables controlables

E : toneladas de tipo E a producir;

F: toneladas de tipo F a producir;

Modelo

Max 5000 E + 4000 F {Función objetivo: maximizar la utilidad global}

sujeto a {escribimos ahora las restricciones o requerimientos}

10 E + 15 F " 150 {horas del departamento A}

20 E + 10 F " 160 {horas del departamento B}

30 E + 10 F " 135 {horas de verificación}

E - 3 F " 0 {al menos una de F cada 3 E significa E " 3 F}

E + F " 5 {al menos 5 toneladas}

E " 0, F " 0 {no negatividad}

Antes de introducir este modelo en la planilla, conviene preparar una tabla con los coeficientes de las variables:

Productos:	E	F
Utilidad marginal:	5000	4000
Restricciones
Departamento A:	10	15	"	150
Departamento B:	20	10	"	160
Verificación:	30	10	"	135
Al menos un E cada 3F:	1	-3	"	0
Al menos 5:	1	1	"	5

Las restricciones de no negatividad no las hemos incluido en la tabla, pero sí las tendremos muy en cuenta al poner restricciones en la planilla. De otro modo, podríamos llegar a obtener soluciones absurdas.

Introducción de Datos

Abra una nueva planilla de cálculo. Antes de introducir los datos en la planilla, conviene aumentar el ancho de la columna A para que aparezcan completos los rótulos de esta columna. Las demás columnas pueden quedar sin alterar.

Comenzaremos suponiendo que no producimos nada de E ni de F, por lo que escribiremos 0 (cero) en las celdas B5 y C5.




Una vez introducidos estos datos, podemos probar con distintas cantidades a producir de E y de F, y ver fácilmente si se cumplen las restricciones, y cuál será la utilidad global.

Así, por ejemplo, poniendo 6 en la celda B5 y 2 en la celda C5, se respetan todas las restricciones y se obtiene una utilidad global de $38000. Pruebe con éstos y otros valores.

Optimización

Observe que en la planilla hemos introducido la función objetivo en la celda A2; el lado izquierdo de las restricciones en el rango D7:D11, y el lado derecho de las restricciones en el rango F7:F11.

Seleccione del menú Herramientas / Solver...

Aparecerá el cuadro de diálogo Parámetros de Solver, en la que ingresaremos los datos.

Cuando el dato sea una celda o un bloque de celdas, puede seleccionarlas haciendo clic en la hoja de cálculo y arrastrando el mouse.

• Con el cuadro de diálogo abierto, haga clic en la celda A2 de la planilla. En la caja debajo de Celda objetivo se borra el contenido anterior y se muestra $A$2.

• Haga clic en la opción Máximo.

• Haga clic en la caja debajo de Cambiando las celdas. Haga clic en la celda B5, y arrastre el mouse sin soltarlo para seleccionar también la celda C5.

• Haga clic en el botón Agregar..., debajo de Sujetas a las siguientes restricciones.

Aparece el cuadro de diálogo Agregar restricción.




• Use la caja debajo de Referencia de la celda: para poner el lado izquierdo de la restricción.

• Use la lista desplegable del centro para elegir un símbolo.

• Use la caja debajo de Restricción para agregar el lado derecho de la restricción.

Haga clic en el botón Agregar para agregar más restricciones, o en el botón Aceptar para finalizar.

E

El cuadro de diálogo Parámetros de Solver debe quedar:




Haga clic en el botón Opciones, con lo que aparecerá el cuadro de diálogo Opciones de Solver.




Como nuestro modelo es lineal, seleccione la casilla de verificación Adoptar modelo lineal, y luego haga clic en el botón Aceptar.

Resolución

Una vez introducidos estos datos, seleccione Resolver, y Solver, si todo anduvo bien, mostrará un mensaje con:

Utilizar solución de Solver {cambia los valores de las variables en la planilla}

Restaurar valores originales {deja los valores iniciales de las variables}

Guardar escenario {guarda los valores de las variables como escenario}

Informes {hasta 3 tipos de informes, en hojas separadas}

Seleccione:

Utilizar solución de Solver y elija los 3 informes. Para esto, seleccione el primero y mantenga apretada la tecla del mouse, hasta seleccionar los 3, o ubíquese en el primero y mantenga apretada la tecla Alt.

Después de unos segundos, Solver habrá agregado 3 hojas de cálculo en su libro, una por cada informe. Éstos son: El Informe de Respuestas, el Informe de Sensibilidad y el Informe de Límites.

Los Datos de la Planilla

Si no ha cometido errores, Solver ha encontrado los valores óptimos de las variables controlables, y, por tanto, en las celdas B5 y C5 se muestra la solución óptima: Producir 4.5 toneladas de E y 7 de F. La utilidad máxima del mes próximo será $50500.

El Informe de Respuestas

Los informes de Solver son tan claros que apenas merecen aclaración. La razón principal de su claridad se debe a que bajo cada columna Nombre, pone la intersección de fila y columna de rótulos. Así, por ejemplo, observe que en Celdas Cambiantes, debajo de Nombre, el informe puso: Producción: E; "Producción" es el rótulo de la fila y "E" el de la columna de la planilla. Es importante notar esto, ya que puede tener en cuenta esta característica en sus futuros problemas.

Microsoft Excel 5.0 Informe de respuestas
Hoja de cálculo: [PLEXC1.XLS]Hoja1
Informe creado: 15/3/98 15:03
Celda objetivo (Máx)
	Celda	Nombre	Valor original	Valor final
	$A$2	Utilidad global	0	50500
Celdas cambiantes
	Celda	Nombre	Valor original	Valor final
	$B$5	Producción: E	0	4.5
	$C$5	Producción: F	0	7
Restricciones
	Celda	Nombre	Valor de la celda	Fórmula	Estado	Divergencia
	$D$7	Departamento A: Valor	150	$D$7<=$F$7	Obligatorio	0
	$D$8	Departamento B: Valor	160	$D$8<=$F$8	Obligatorio	0
	$D$9	Verificación: Valor	205	$D$9>=$F$9	Opcional	70
	$D$10	Una F cada 3E: Valor	-16.5	$D$10<=$F$10	Opcional	16.5
	$D$11	Al menos 5: Valor	11.5	$D$11>=$F$11	Opcional	6.5
	$B$5	Producción: E	4.5	$B$5>=0	Opcional	4.5
	$C$5	Producción: F	7	$C$5>=0	Opcional	7

En Celda Objetivo aparece la celda de la función objetivo, el Nombre, el valor inicial antes de optimizar y el valor óptimo (valor final).

En Celdas Cambiantes aparecen las celdas de las variables controlables, el nombre, la solución inicial o valores iniciales de las variables y la solución óptima (valor final).

En Restricciones se tiene:

Valor de la celda: es el valor que toma el lado izquierdo de cada restricción en la solución óptima. Así, por ejemplo, en la primera restricción, de horas del departamento A, se tiene, al remplazar: 10*E+15*F = 10*4.5 + 15*7 = 150 horas utilizadas en el departamento A.

Fórmula: nos recuerda las restricciones que hemos introducido, incluyendo si es de ", = o ".

Estado: Nos indica si la restricción se cumple exactamente, con una igualdad, y no hay un margen. En otras palabras, nos indica si la restricción es activa.

Divergencia: es el margen que tiene cada restricción. Si la desigualdad es ", entonces es el lado derecho de la restricción (la constante) menos el lado izquierdo. Si la desigualdad es " , es el lado izquierdo menos el lado derecho (la constante). Si la restricción es activa, desde luego el margen será cero.

El Informe de Sensibilidad

Microsoft Excel 5.0 Informe de sensibilidad
Hoja de cálculo: [PLEXC1.XLS]Hoja1
Informe creado: 15/3/98 15:04
Celdas cambiantes
			Valor	Costo	Coeficiente	Aumento	Disminución
	Celda	Nombre	final	reducido	objetivo	permisible	permisible
	$B$5	Producción: E	4.5	0	5000	3000	2333.333333
	$C$5	Producción: F	7	0	4000	3500	1500
Restricciones
			Valor	Sombra	Restricción	Aumento	Disminución
	Celda	Nombre	final	precio	lado derecho	permisible	permisible
	$D$7	Departamento A: Valor	150	150	150	90	47.14285714
	$D$8	Departamento B: Valor	160	175	160	73.33333333	40
	$D$9	Verificación: Valor	205	0	135	70	1E+30
	$D$10	Una F cada 3E: Valor	-16.5	0	0	1E+30	16.5
	$D$11	Al menos 5: Valor	11.5	0	5	6.5	1E+30

Celdas Cambiantes

Valor: nos recuerda los valores óptimos de las variables controlables.

Costo reducido: indica cuánto deberá cambiar el coeficiente de la función objetivo para que la variable tome un valor positivo. En este caso, las dos variables controlables son positivas (conviene producir ambos productos), por lo que su costo reducido es cero.

Coeficiente objetivo: son los coeficientes de la función objetivo.

Aumento permisible: incremento admisible en los coeficientes de la función objetivo sin que cambien los valores óptimos de las variables controlables.

Disminución permisible: disminución admisible en los coeficientes de la función objetivo sin que cambien los valores óptimos de las variables controlables.

Restricciones

Valor final: es el valor que toma el lado izquierdo de cada restricción en la solución óptima. Así, por ejemplo, en la primera restricción, de horas del departamento A, se tiene, al remplazar: 10*E+15*F = 10*4.5 + 15*7 = 150 horas utilizadas en el departamento A.

Sombra precio: son los precios duales, o precios sombra de los recursos (o requerimientos) indicados en las restricciones. Indican la mejora en el valor de la función objetivo si se "relaja" una desigualdad, o el empeoramiento si se la restringe. Por ejemplo, si dispusiéramos de más tiempo en el Departamento B, podríamos mejorar la utilidad global incrementándose en $175 por cada hora extra.

Restricción lado derecho: indican los lados derechos de las desigualdades.

Aumento permisible: representa en cuánto puede incrementarse el lado derecho (Constante) sin que se altere el precio Dual. Por ejemplo, se puede incrementar el número de horas extras del Departamento B, mejorando en $175 por cada hora extra. Sin embargo, este análisis es válido sólo para un incremento de hasta 73.3333 horas. Si disponemos de más de 160+73.3333 horas, el precio dual será otro, seguramente menor.

Disminución admisible: indica en cuánto puede disminuir el lado derecho de la restricción sin que cambie el precio dual de un recurso (o requerimiento).

El Informe de Límites

Microsoft Excel 5.0 Informe de límites
Hoja de cálculo: [PLEXC1.XLS]Hoja1
Informe creado: 15/3/98 15:04
		Celda objetivo
	Celda	Nombre	Valor
	$A$2	Utilidad global	50500
		Celdas cambiantes			Límite	Resultado		Límite	Resultado
	Celda	Nombre	Valor		inferior	objetivo		superior	objetivo
	$B$5	Producción: E	4.5		2.166666667	38833.33333		4.5	50500
	$C$5	Producción: F	7		1.5	28500		7	50500

Celdas Cambiantes

Valor: nos recuerda los valores óptimos de las variables controlables.

Límite inferior: es el menor valor que puede tomar la variable (suponiendo que las demás mantienen el valor óptimo encontrado), y satisfacer todas las restricciones.

Resultado objetivo: valor de la función objetivo si la variable toma el valor del límite inferior y las demás mantienen el valor óptimo encontrado.

Límite superior: es el mayor valor que puede tomar la variable (suponiendo que las demás mantienen el valor óptimo encontrado) sin violar las restricciones.

Resultado objetivo: valor de la función objetivo si la variable toma el valor del límite superior y las demás mantienen el valor óptimo encontrado.

Conclusiones

El informe de respuestas de Excel no sólo brinda la solución óptima de un Programa Lineal, sino también los Precios Duales correspondientes a cada restricción y el Análisis de Sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo y de las constantes del lado derecho de cada restricción. Esta información ha demostrado ser muy útil en el análisis de diversos problemas.

Opciones de Solver

Pueden controlarse las características avanzadas del proceso de solución, cargarse o guardarse definiciones de problemas y definirse parámetros para los problemas lineales y no lineales. Cada opción tiene una configuración predeterminada adecuada a la mayoría de los problemas.

Tiempo máximo

Limita el tiempo que tarda el proceso de solución. Puede introducirse un valor de hasta 32.367, pero el valor predeterminado 100 (segundos) es adecuado para la mayor parte de los problemas.

Iteraciones

Limita el tiempo que tarda el proceso de solución, limitando el número de cálculos provisionales. Aunque puede introducirse un valor de hasta 32 767, el valor predeterminado 100 es adecuado para la mayor parte de los problemas pequeños.

Precisión

Controla la precisión de las soluciones utilizando el número que se introduce para averiguar si el valor de una restricción cumple un objetivo o satisface un límite inferior o superior. Debe indicarse la precisión mediante una fracción entre 0 (cero) y 1. Cuantos más decimales tenga el número que se introduzca, mayor será la precisión; por ejemplo, 0,0001 indica una precisión mayor que 0,01. Cuanto mayor sea la precisión, más tiempo se tardará en encontrar una solución.

Tolerancia

El porcentaje mediante el cual la celda objetivo de una solución satisface las restricciones externas puede diferir del valor óptimo verdadero y todavía considerarse aceptable. Esta opción sólo se aplica a los problemas que tengan restricciones enteras. Una tolerancia mayor tiende a acelerar el proceso de solución.

Convergencia

Si el valor del cambio relativo en la celda objetivo es menor que el número introducido en el cuadro Convergencia para las últimas cinco iteraciones, Solver se detendrá. La convergencia se aplica únicamente a los problemas no lineales y debe indicarse mediante una fracción entre 0 (cero) y 1. Cuantos más decimales tenga el número que se introduzca, menor será la convergencia; por ejemplo, 0,0001 indica un cambio relativo menor que 0,01. Cuanto menor sea el valor de convergencia, más tiempo se tardará en encontrar una solución.

Adoptar modelo lineal

Selecciónelo cuando todas las relaciones en el modelo sean lineales y desee resolver un problema de optimización o una aproximación lineal a un problema no lineal.

Mostrar resultado de iteraciones

Selecciónelo para que Solver muestre temporalmente los resultados de cada iteración. Esta opción es válida sólo en modelos no lineales.

Usar escala automática

Selecciónelo para utilizar la escala automática cuando haya grandes diferencias de magnitud entre las entradas y los resultados; por ejemplo, cuando se maximiza el porcentaje de beneficios basándose en una inversión de medio millón de dólares.

Adoptar no-negativo

Hace que Solver suponga un límite de 0 (cero) para todas las celdas ajustables en las que no se haya definido un límite inferior en el cuadro Restricción del cuadro de diálogo Agregar restricción.

Cargar modelo

Muestra el cuadro de diálogo Cargar modelo, donde puede especificarse la referencia del modelo que desee cargar.

Guardar modelo

Muestra el cuadro de diálogo Guardar modelo, donde puede especificar la ubicación en que desee guardar el modelo. Úselo únicamente cuando desee guardar más de un modelo con una hoja de cálculo; el primer modelo se guardará de forma automática.

Opciones para Modelos No Lineales

Estimación

Especifica el enfoque que se utiliza para obtener las estimaciones iniciales de las variables básicas en cada una de las búsquedas dimensionales.

Lineal

Utiliza la extrapolación lineal de un vector tangente.

Cuadrática

Utiliza la extrapolación cuadrática, que puede mejorar en gran medida los resultados de problemas no lineales.

Derivadas

Especifica la diferencia que se utiliza para estimar las derivadas parciales del objetivo y las funciones de la restricción.

Progresivas

Se utilizan para la mayor parte de los problemas, en que los valores de restricción cambien relativamente poco.

Centrales

Se utiliza en los problemas en que las restricciones cambian rápidamente, especialmente cerca de los límites. Aunque esta opción necesita más cálculos, puede ser útil cuando Solver devuelve un mensaje diciendo que no puede mejorarse la solución.

Buscar

Especifica el algoritmo que se utiliza en cada iteración para determinar la dirección en que se hace la búsqueda.

Newton

Utiliza un método cuasi Newton que normalmente necesita más memoria pero menos iteraciones que el método de gradiente conjugado.

Gradiente Conjugado

Necesita menos memoria que el método Newton, pero normalmente necesita más iteraciones para alcanzar un determinado nivel de precisión. Use esta opción cuando se trate de un problema grande o cuando al hacer un recorrido a través de iteraciones se descubra un progreso lento.

Bibliografía

Chapra, Steven y Canale, Raymond - Métodos Numéricos para Ingenieros - Mac Graw Hill - 1988.

Eppen, Gould y Schmidt - Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa - 3ra edición, Editorial Prentice Hall - 1996.

10

Nueva

Solución

Fin

¿Es

óptima?

Solución Inicial

no

sí

Ingrese:

=B4*B5+C4*C5

Copie la fórmula de la celda D7

Ingrese:

=sumaproducto(B$5:C$5,B7:C7)