AERONAUTICAS ESTRUCTURAS

Todo el contenido fue extraído de los siguientes libros: FISICA I de Facobo Ruiz , FISICA de Santillana, ESTATICA de Jhonston-Beer ,MECANICA TECNICA de Renaud , ESTRUCTURAS ESTATICAS de Flyes , AIRCRAFT STRUCTURE de Peery ,RESISTENCIA DE MATERIALES de la serie Schaum , ANALISIS ESTATICO de la serie Schaum, STRUCTURAL ANALISYS de Brown ,AIRCRAFT DESIGN de Peery ,ESTATICA GRAFICA de Renaud.

NUCLEO TEMATICO 1:

Definición y objeto de la mecánica. Su división y concepto de magnitud. Magnitud escalar y vectorial. Concepto de medida y escala. Concepto de fuerza. Sus elementos. Peso de un cuerpo. Sistema de unidades. Ejercicios.

1.1 -OBJETO DEL ESTUDIO DE LA ESTATICA

MECANICA

Si tomamos dos cuerpos y los observamos durante un determinado tiempo, y las distancias entre ambos permanece inalterada, durante ese tiempo, decimos que uno de los cuerpos con respecto al otro se halla en equilibrio o reposo. De lo contrario el cuerpo se encuentra en movimiento respecto al que se ha utilizado como referencia.

DEFINICION :  LA MECANICA ESTUDIA LAS LEYES DEL EQUILIBRIO Y DEL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS.

Una de las partes en la que se divide la mecánica es la CINEMATICA, que se ocupa del estudio exclusivamente geométrico del movimiento. (Es decir como se moverá). Otra parte que es la DINAMICA encara el estudio físico del movimiento o equilibrio (es decir porque se mueve, que produjo el movimiento).

DEFINICION :  SE DENOMINA FUERZA A TODO AQUELLO QUE TIENDE A MODIFICAR EL ESTADO DE REPOSO O MOVIMIENTO DE UN CUERPO.

Si a un cuerpo se le aplican varias fuerzas de tal modo que al colocarle cada una por separado le produzca movimiento. Al actuar todas las fuerzas simultáneamente puede que el cuerpo quede en reposo, en este caso se dice que las fuerzas aplicadas al cuerpo se anularon o están en equilibrio.

DEFINICION :  LA PARTE DE LA MECANICA QUE ESTUDIA LAS CONDICIONES QUE DEBEN SATISFACER LAS FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE UN CUERPO PARA QUE ESTE SE HALLE EN ESTADO DE EQUILIBRIO, SE LLAMA ESTATICA.

CONCEPTOS

MODELO :

El estudio de los problemas reales en la naturaleza es muy complejo. Por lo que la ciencia transforma el problema real en un problema físico, modelizando los elementos que intervienen, a través de hipótesis que simplifiquen su solución. Una vez encontrada la solución al problema físico, los resultados se corrigen para adaptarlos al problema real.

Muchos problemas reales pueden tener un mismo modelo y muchos modelos pueden ser del mismo problema real. Por ejemplo el estudio de la aerodinámica de un avión se efectúa en atmósfera estándar inexistente en la realidad, esta es la hipótesis de considerar que la atmósfera (presión, temperatura, densidad) permanece constante durante el ensayo. Luego los resultados son ajustados para diferentes condiciones. En este ejemplo se ha modelizado la atmósfera.

Otro ejemplo de modelo es considerar la fuerza representada por una flecha aplicada en un punto, esto no es real pues toda fuerza aplicada a una cuerpo tiene una superficie de aplicación.

CUERPOS :

Se llama cuerpo a todo elemento en estudio, este es un modelo, puede tratarse de un avión, tren, auto edificio, viento, aire, átomo. En el estudio desde el punto de vista cinemático todos los cuerpos se modelizan como un punto pequeño de masa despreciable como se vera mas adelante. En el estudio desde el punto de vista de la dinámica la masa no se desprecia y se modeliza considerándola concentrada en un punto pequeño, y desde el punto de vista de la estática la masa se considera despreciable.

  1.2- CONCEPTOS GENERALES SOBRE FUERZAS

La fuerza se define por su efecto: el de producir movimiento. Como para determinar un movimiento en necesario conocer su dirección y sentido entonces la fuerza tiene la dirección y sentido del movimiento que produce o tiende a producir. Por ejemplo al subirnos a una balanza el mecanismo de resortes de la balanza mide a través de la aguja con que fuerza la gravedad nos atrae hacia el centro de la tierra, en este caso la fuerza actúa hacia abajo verticalmente, esta fuerza se llama peso. Otras fuerzas muy conocidas son las de rozamiento, el viento contra un parabrisas de un auto es una fuerza que se opone al movimiento, un lápiz contra un papel, las cubiertas contra el asfalto, el mar sobre el casco de una embarcación.

ELEMENTOS QUE DETERMINAN UNA FUERZA

Las magnitudes como la temperatura, longitud, peso especifica, densidad, o volumen quedan definidas únicamente por su magnitud, es decir 10 *C, 25 metros, 35 centímetros cúbicos que nos brindan toda la información, estas son llamadas magnitudes escalares.

No es posible hablar de una fuerza solamente indicando un valor por ejemplo 20 unidades de fuerza, es necesario dar mayores datos como se indico en la parte anterior, es decir dirección y sentido indicados por el movimiento que produce o tiende a producir y su punto de aplicación.

Al requerir una fuerza de estos cuatro elementos nos indica que las fuerzas son magnitudes vectoriales. Otras magnitudes vectoriales son por ejemplo la velocidad y la aceleración.

Entonces para que una fuerza quede totalmente determinada es necesario cuatro elementos :

INTENSIDAD :

Esta representada por la longitud del vector en una escala elegida.

PUNTO DE APLICACIÓN:

Punto que pertenece al cuerpo y es donde se ha aplicado la fuerza.

DIRECCION :

Recta a la cual pertenece el vector, recta de acción.

SENTIDO :

Es el indicado por la flecha y que se coloca en uno de los extremos del vector.

1.4-REPRESENTACION VECTORIAL

Como las fuerzas son magnitudes vectoriales, para representarlos gráficamente se utilizan los vectores que son segmentos orientados

En el dibujo observamos una fuerza F, el punto “o” es el punto de aplicación, la recta “mn” es la recta de acción que nos da la dirección, la flecha en el extremo nos indica el sentido, y la longitud en una escala conveniente nos da la intensidad.

Para indicar una magnitud vectorial en el lenguaje matemático se suele utilizar una letra mayúscula en negrita, o utilizar un segmento sobre ella, por ejemplo F o F, como todos los elementos que definen una fuerza deben ser interpretados por cualquier persona, se estandarizo la nomenclatura internacionalmente para designar un vector que contenga toda la información, ejemplos de esta nomenclatura son los siguientes:

F = 3 I + 4 j

F = 3 / 60*

F = 3 ex + 4 ey

F = 3 dirección sudeste

De esta forma cualquier persona puede graficar un vector que este expresado en cualquiera de las anteriores formas.

En el siguiente dibujo observamos dos vectores F 1 y F 2 que tienen igual intensidad, sentido, y dirección pero diferente recta de acción.

ESCALA :

Para dibujar un vector es necesario utilizar una escala que represente una determinada magnitud de fuerza en longitud de esta forma podemos decir que 5 unidades de fuerza sean 5 cm de longitud en el dibujo de esta forma la escala es el cociente entre la magnitud considerada y la representación en el gráfico:

E = Mr / Md

E :es la escala a utilizar.

Mr :medida real.

Md :medida en el dibujo.

Por ejemplo si quiero representar una longitud de 25 metros como cinco centímetros obtengo:

E = 25 m / 5 cm = 5 m /cm

Significa que cinco centímetros del dibujo representaran 25 metros de longitud, similarmente si fuera representar fuerzas con una escala determinada:

E = 15 N/cm

y tengo que representar una fuerza de 345 N procedemos así:

E = Mr/Md

y despejando Md

Md = Mr/E = 345 N/15 N/cm = 23 cm

Significa que 23 cm de dibujo representan 345 N en una escala de 15 N/cm.

Observe los siguientes dibujos:

El resorte es un cuerpo deformable y la deformación es proporcional a la fuerza que se le aplica por esta razón se utiliza un mecanismo como el de las figuras para medir fuerzas que se llama dinamómetro que cuenta con un resorte, una escala graduada en unidades de fuerzas y una aguja indicadora, cuando se le coloca un peso en el extremo libre del resorte, este se estira por efectos de la atracción gravitatoria sobre el hacia el centro de la tierra, si aumentamos al doble el peso colocado en el extremo libre tendremos el doble del estiramiento. Es decir la deformación del resorte es proporcional a la fuerza que se produce en el extremo libre leída sobre una escala conveniente.

En el resorte “a” la fuerza se coloca en “A”, y el resorte se estira totalmente, en el resorte “b” la misma fuerza se coloca en “B” y el estiramiento es desde arriba hasta el punto “B”, en ambos ejemplos coincide la recta de acción, indicada con líneas de puntos, la intensidad de la fuerza indicada por la longitud de la flecha, y el sentido indicado por la flecha, lo que ha cambiado entre ambos resortes es el punto de aplicación, que produjo efectos físicos diferentes en ambos resortes.

Veamos ahora los resortes “c” y “d” que se les ha unido un rectángulo rígido e indeformable en los extremos, al colocar la fuerza en el punto “C” el resorte se estira la misma longitud que en el resorte “d” al aplicar la fuerza en el punto “D", en ambos resortes coinciden la recta de acción indicada por líneas de puntos, la intensidad de la fuerza dada por la longitud, el sentido dado por la flecha, pero el punto de aplicación es distinto, el efecto físico obtenido es el mismo.

Como conclusión tenemos que si desplazamos el punto de aplicación de una fuerza sobre la misma recta de acción de un cuerpo rígido el efecto físico no cambia. (Resortes “c” y “d”).

DEFINICION :UNA FUERZA QUE ACTUA SOBRE UN CUERPO RIGIDO E INDEFORMABLE NO REQUIERE PUNTO DE APLICACIÓN YA QUE EL EFECTO FISICO NO SE MODIFICA, LOS VECTORES QUE REPRESENTAN ESTAS FUERZAS SE DENOMINAN VECTORES AXILES.

Siguiendo con la representación vectorial de las fuerzas, hemos visto que por ser magnitud se lo representa por un vector que indique los elementos para determinarlo completamente, intensidad, dirección, sentido, y punto de aplicación.

Para su representación se utiliza un sistema de ejes coordenados cartesianos, que consisten en dos ejes graduados igualmente, que se cortan a 90 * como el de la figura.

Uno de los ejes es llamado eje vertical “Y” y el otro eje horizontal “X”, ambos graduados en las mismas escalas pueden representar fuerzas, velocidades, tiempos, etc. Ambos ejes se cortan en sus ceros, que se llama origen, hacia la derecha sobre el eje horizontal tenemos valores positivos y hacia la izquierda valores negativos, similarmente para el eje vertical hacia arriba valores positivos y hacia abajo valores negativos.

El sistema de ejes es para establecer un “marco de referencia” respecto al cual referir el problema. Es decir establecer una referencia respecto al cual estudiar algún fenómeno físico, nosotros decimos que en una habitación hay 12 grados centígrados de calor, esta afirmación es la comparación de la temperatura de la habitación respecto a una escala de referencia dada por un termómetro que dice que el movimiento lineal del mercurio, una determinada altura se produce por el incremento de un grado de temperatura por ejemplo. Esta referencia de temperatura es arbitraria y se eligió como se han elegido otras formas de referencia para la temperatura.

La utilización de un sistema de ejes para el tratamiento de fuerzas resulta muy cómodo para la resolución de problemas estáticos, porque permite simplificar el problema al tratar con fuerzas inclinadas, transformándose en pares de fuerzas perpendiculares.

Un vector por ejemplo representado en un sistema de ejes se observa en la siguiente figura:

En esta representación de un vector F nos brinda todos los elementos de un vector:

Intensidad :Esta dada por la longitud del vector, si la división de los ejes mide unidades de fuerza.

Como se sabe por el teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo:

H = * a*+ b*

Observe la similitud del vector F con h, podemos utilizar

la formula de Pitágoras para encontrar la longitud del

vector F como a=3 y b=3 reemplazando en la formula

Obtenemos que la intensidad de F = 4,24 unidades de fuerza.

Punto de aplicación:

El vector F tiene su origen en 0.

Recta de acción:

El vector se encuentra sobre una recta a 45* indicada con línea punteada.

Sentido :El indicado por la flecha en el extremo, sobre el punto (x, y) = (3,3)

De esta forma un vector puede dibujarse sencillamente sobre un eje coordenado cartesiano partiendo de los elementos o inversamente partiendo de los elementos dibujarse sobre los ejes.

Las ventajas de utilizar ejes para la representación vectorial de la fuerza se vera posteriormente.

En la formula de Pitágoras se requiere que dos de las tres variables a, b o h sean conocidas, esta restricción se solucionara cuando se incorpore las relaciones trigonométricas que relacionara ángulos con segmentos.

EXPRESIONES CARTESIANAS DE UN VECTOR

Las expresiones cartesianas de un vector es un leguaje matemático para indicar un vector en el sistema de ejes coordenados cartesianos ortogonales. Varias son las nomenclaturas para representar un vector en este sistema, veremos a continuación como interpretar estas expresiones:

Por ejemplo utilizando los versores i, j, representar el vector F = 2*+ 3 j en el sistema de ejes coordenados cartesianos que se encuentra en unidades de fuerza por ejemplo N (Newton), para graficarlo leemos 2 unidades de fuerza en la dirección del versor i que es en la dirección de las X y 3 unidades de fuerza en la dirección del versor j que es la dirección Y. El vector F queda definido desde el origen hasta el extremo como se muestra.

La interpretación es que el vector F esta compuesta por dos vectores 2 en la dirección de X y 3 en la dirección de Y, el signo de suma indica suma vectorial que se definirá mas adelante.

Otra forma de escritura es F = 2 êx + 3 êy en la que ex y ey indican como antes la dirección de los versores i y j anteriores, teniendo el vector F la misma representación anterior.

Otra forma es utilizando ángulos ,por ejemplo el vector F = 4.24 45°

Que se lee como la intensidad es de 4,24 unidades de fuerza representada por la longitud del vector y con un ángulo de 45°. Los ángulos se miden siempre en sentido antihorario partiendo desde el eje X positivo como se muestra para ángulos medidos en grados o radianes.

Todos los demás ángulos intermedios se pueden medir utilizando transportador.

Para pasar de un sistema de grados a radianes o la inversa se realiza utilizando la regla de tres simple por ejemplo:

Pasar 30° grados a radianes.

Sabemos que 180°____________ *

y será 30°____________ X

entonces X= 30° x * = *

180° 6

De la misma forma podemos obtener cuantos grados son 5/4 * .

Sabemos que *______________ 180°

y será 5 *______________ X

4

entonces X = 180° x 5* = 225°

4*

Cuando hago estas cuentas tengo siempre que considerar que él numero Pi es un numero con gran cantidad de decimales y al multiplicarlos obtengo siempre errores debido al truncamiento de los decimales.

Es posible pasar de una forma de expresión cartesiana de un vector a otra utilizando relaciones trigonometría:

Para un triángulo rectángulo con un ángulo *

tenemos que

a) Sen * = CO

H

b) Cos * = CA

H

c) Tg * = CO

CA

d) H*= (CA) * + (CO) * (Pitágoras)

Con estas cuatro relaciones es posible transformar las expresiones cartesianas de una forma a otra, estas relaciones también se utilizaran mas adelante para composición y descomposición de vectores.

Ejemplo 1:

Transformar F = 3 i + 2 j

De la figura y con la relación d)

H*= (3)*+ (2)* =13

H = 3.6

H la hipotenusa es la intensidad del vector.

El ángulo se determina con la relación c) despejando la tangente.

Tg * = 2

3

= Arctg 2 = 33,7 *

3

Entonces la fuerza F = 3 i + 2 j = 3,6 33,7 *

Debe aclarase que el ángulo obtenido depende de los segmentos que se consideren, en este caso 2 es el vertical y 3 es el horizontal por lo tanto  es el ángulo obtenido, Si considerara el ángulo  otro seria el cateto opuesto y otra la hipotenusa.

Ejemplo 2:

Transformar F = 4 60

Tenemos de la relación a) Sen = CO

H

Despejando de a) CO = H. Sen = 4. Sen 60 = 3.46

De la relación b) Cos = CA

H

Despejando de b) CA = H. Cos = 4. Cos 60 = 2

Con lo que F = 4 60 = 2 i + 3.46 j

Ejemplo 3:

Si queremos descomponer un vector F en dos direcciones coincidente con los ejes coordenados como se muestra en la figura podemos utilizar las relaciones anteriores.

Descomponer F = 4,24 45 en sus componentes en las direcciones de YX.

De las relaciones a) y b)

CO = H. Sen = 4, 24. Sen 45 = 3 j

CA = H. Cos = 4,24. Cos 45 = 3 i

Las componentes en la dirección de los ejes XY del vector F facilitan el tratamiento analítico de las fuerzas inclinadas ya que descomponiéndolas trabajamos con dos vectores en lugar de un vector y ángulo

EJERCICIO 1

Representar las siguientes fuerzas en unidades de Newton, en los ejes coordenados :

A = 2 I + 3 j	6. F = -6 i + 3 j
B = -1 I + 8 j	7. G= 9 I + 4 j
C=-3 I	8. H = -2 I - 9 j
D = 9 I - 5 j	9. I = - 6 j
E = -5 I + 3 j	10. J = 3 I - 4 j

EJERCICIO 2:

Representar las siguientes fuerzas en unidades de Newton, en los ejes coordenados:

A = 6 180	6. F = 6 -45
B = 4 45	7. G= 5 2
C= 3 135	8. H = 4 / 2
D = 5 90	9. I = 6 / 6
E = 5 315	10. J = 4 7 / 4

EJERCICIO 3:

Transformar las siguientes expresiones cartesianas de las fuerzas en forma de sus componentes:

A = 6 180	6. F = 6 -45
B = 4 45	7. G= 5 2
C= 3 135	8. H = 4 / 2
D = 5 90	9. I =6 / 6
E = 5 315	10. J =4 7 / 4

EJERCICIO 4:

Transformar las siguientes expresiones cartesianas de las fuerzas en forma de modulo y ángulo:

A = 2 I + 3 j	6. F = -6 i + 3 j
B = -1 I + 8 j	7. G= 9 I + 4 j
C=-3 I	8. H = -2 i - 9 j
D = 9 i - 5 j	9. I = - 6 j
E = -5 i + 3 j	10. J = 3 i - 4 j

EJERCICIO 5 :

Pasar del sistema de grados radianes al sexagésimal:

 / 2

3 / 2

4 

2 / 5

 / 7

7 / 2

EJERCICIO 6 :

Pasar del sistema de grados sexagésimal a radianes :

210

60

720

100

30

225

NUCLEO TEMATICO 2 :

Estática .conceptos. Sistemas de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido .Tipos de sistemas de fuerzas : concurrentes ,colineales ,paralelas ,equipolentes , no concurrentes ,no colineales ,no convergentes y divergentes. Composición de fuerzas .Resultante y equilibrante . Método del polígono de fuerzas .Resolución analítica de la resultante .Composición analítica de fuerzas concurrentes y no concurrentes. .Método del polígono funicular. Ejercicios analíticos y gráficos.

2.1 -SISTEMAS DE FUERZAS

DEFINICION :

SISTEMA DE FUERZAS ES EL CONJUNTO DE FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE UN CUERPO.

DEFINICION :

RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS SE LA DENOMINA A LA FUERZA QUE PUEDE REEMPLAZAR EL SISTEMA DE FUERZAS ,CON EL MISMO EFECTO.

La resultante del sistema de fuerzas es la suma vectorial de todas las fuerzas que integran el sistema de fuerzas . Como la suma implica magnitudes vectoriales no se puede realizar únicamente sumando los valores como se hace con las magnitudes escalares debe aplicarse la suma vectorial que se describe mas adelante para cada clase de sistema de fuerzas.

DEFINICION :

SISTEMA DE FUERZAS EN EQUILIBRIO : ES CUANDO LA RESULTANTE DEL SISTEMA ES NULA.

La acción individual de cada fuerza sobre el cuerpo puede originar desequilibrio ,pero actuando todas simultáneamente sobre el cuerpo no provocan variaciones en este, es como si sobre el cuerpo no actuaran esas fuerzas.

Se dice que todas las fuerzas se anulan mutuamente , en el caso de los escalares ,siempre 2-2 = 0

en cambio en el caso de los vectores esto no es siempre así ,dependerá de sus direcciones como veremos..

CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS

FUERZAS COLINEALES.

FUERZAS CONCURRENTES O TIENDEN A CONCURRIR A UN PUNTO.

FUERZAS NO CONCURRENTES.

FUERZAS PARALELAS.

PROPIEDAD DE LAS FUERZAS RESPECTO DE SU DIRECCIÓN ,SENTIDO ,INTENSIDAD Y PUNTO DE APLICACIÓN

Como vimos anteriormente , desde el punto de vista de la estática modelizamos los cuerpos como indeformables para el estudio ,por lo que las fuerzas aplicadas a estos cuerpos pueden desplazar su punto de aplicación sobre su recta de acción ,las fuerzas con estas características se llaman fuerzas axiles, en lo que sigue todas las fuerzas tendrán esta características.

FUERZAS COLINEALES :

En este clase de sistemas ,las fuerzas pertenecen o coparticipan de la misma recta de acción. Pueden darse los siguientes casos :

Teniendo la misma recta de acción e intensidad ,tengan distintos sentidos.

F1=F2

R=0

La resultante de estos sistemas de fuerzas es nulo.

Teniendo la misma recta de acción tengan distintos sentidos e intensidad.

F1>F2

R=F1-F2

La resultante de estos sistemas de fuerza ,es otra fuerza que tiene como intensidad la diferencia de ambas fuerzas y sentido igual al de la mayor .

Teniendo la misma recta de acción tengan igual sentido e intensidad.

R = F1+ F2

La resultante en estos sistemas de fuerza es la suma de ambas intensidades y tienen el mismo sentido.

FUERZAS CONCURRENTES :

Es el caso de dos o mas fuerzas que no tienen la misma recta de acción y concurren en un punto.

El punto “O” es el punto de

concurrencia de las Fuerzas

F1 y F2.

La resultante de estos sistemas de fuerzas se obtiene gráficamente utilizando la Regla del Paralelogramo.

REGLA DEL PARALELOGRAMO

Esta regla consiste en formar un paralelogramo trazando rectas paralelas a las fuerzas F1 y F2 como se muestra :

La recta “mn” es paralela

a la fuerza F2 y la recta

“rs” es paralela a la fuerza

F1 ambas se cortan

en el punto O' ,la

resultante queda determinada

por la diagonal del paralelogramo

desde O hasta O'.

Para mayor cantidad de fuerzas se reitera el procedimiento tomando de dos fuerzas y encontrando la resultante parcial ,luego se aplica la regla del paralelogramo entre las resultantes.

Por ejemplo el sistema de varias fuerzas mostrado

F1 , F2, F3 y F4 , si aplicamos la regla del

paralelogramos a las fuerzas F1 y F2 obtenemos R1,

luego aplicamos la regla entre R1 y F3 y obtenemos

R2 ,si aplicamos por ultimo entre R2 y F4 obtenemos

la resultante R del sistema.

Como observación todas las fuerzas para

la de los métodos gráficos deben aplicación

estar en la misma escala de fuerzas .

Puedo operar de distintas formas ,primero sumar par de fuerzas y encontrar las resultantes parciales ,y luego encontrar las resultantes de las resultantes parciales o también puedo de cada par de fuerzas encontrar la resultante y con esta resultante y otra fuerza encontrar la otra y de esta forma iterar.

METODO DE LA POLIGONAL

Este método al igual que el anterior permite calcular gráficamente la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes como se muestra con el mismo sistema anterior de fuerzas.

Se traza por el extremo de la primera fuerza (F1)

un segmento igual y paralelo a la segunda fuerza

(F2) , por el extremo de este segmento trazamos otro

segmento igual y paralelo a la tercera fuerza (F3),

y a continuación de este trazamos un segmento

igual y paralelo a la cuarta fuerza (F4).

Y de haber mas fuerzas se sigue reiterando el

procedimiento hasta la ultima fuerza.

A resultante se encuentra trazando desde

el punto de concurrencia “O” hasta el extremo

del polígono formado “cerrándolo” .

FUERZAS QUE TIENDEN A CONCURRIR EN UN PUNTO :

En este caso las fuerzas no tienen un punto de contacto ,

pero si prolongamos su recta de acción logramos el punto de

concurrencia de ambas fuerzas en “O” como se muestra

trasladando las fuerzas hasta este punto.

Esto es permitido porque tratamos con fuerzas axiles ,y el efecto físico sobre el cuerpo no cambia al trasladar el punto de aplicación como vimos anteriormente.

La resultante de estos sistemas de fuerza se encuentra gráficamente aplicando la Regla del Paralelogramo al sistema de fuerzas trasladado.

METODO ANALITICO PARA ENCONTRAR LA RESULTANTE

Los métodos anteriores (regla del paralelogramo y método de la poligonal) para encontrar la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes o que tienden a concurrir en un punto ,son soluciones gráficas para encontrar la resultante de un sistema de fuerzas. Cuando se quiere obtener la resultante de tres o mas fuerzas se puede obtener una solución analítica ,descomponiendo cada fuerza en sus componentes rectangulares.

Generalizando lo visto anteriormente para las expresiones cartesianas de una fuerza podemos establecer la siguiente similitud :

Para un triángulo rectángulo con un ángulo

tenemos que :

a) Sen = CO

H

b) Cos = CA

H

c) Tg = CO

CA

H= (CA) + (CO) (Pitágoras)

Para una fuerza F que forma un ángulo con la horizontal