Variables aleatorias n dimensionales

o Distribución Multivariante.

Índice.

Introducción.

En muchos experimentos es necesario considerar las propiedades de dos o más variables aleatorias simultáneamente. La distribución de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias se denomina distribución bivariantes.

Función Densidad Conjunta ó f.d.p Conjunta

El estudio de variables aleatorias y su distribución de probabilidad, en lo aprendido anteriormente ha estado restringido a espacios muéstrales unidimensionales en los que registramos los resultados asumidos por una sola variable en un experimento. Sin embargo habrá situaciones en las que convenga registrar resultados simultáneos de diferentes variables aleatorias.

Definición:

Se dice que dos variables aleatorias X e Y tienen una distribución continua conjunta si existe una función NO negativa f definida sobre todo el plano xy tal que para cualquier subconjunto A del plano,

La función f se denomina función de densidad de probabilidad conjunta o f.d.p conjunta, de X e Y. Tal f.d.p conjunta debe satisfacer las dos condiciones siguientes:

La probabilidad de que el par (X,Y) pertenezca a cualquier región del plano xy se puede determinar integrando la f.d.p conjunta f(x,y) sobre esa región.

EL volumen total por debajo de la superficie z =f(x, y) y por encima del plano xy debe ser 1. La probabilidad de que el par (X, Y) pertenezca al rectángulo A es igual al volumen de la figura sólida con base que se muestra a continuación. La parte superior de la figura sólida está formada por la superficie z = f(x, y).

Ejemplo:

• En un estudio para determinar la posibilidad de graduación en una universidad, basado en datos de estudios anteriores, debemos usar un espacio bidimensional y registrar para cada individuo el resultado de su examen de aptitud y las calificaciones de bachillerato.

• Podemos medir la cantidad de precipitado P y el volumen V de un gas, generado durante un experimento químico controlado, teniendo así un espacio muestral (p, v).

• También se puede medir la dureza D y el esfuerzo a la tensión T del cobre estruido en frío cuyo resultado son (d, t).

Función Densidad Marginal

En la parte anterior observamos que si se conoce la f.d. conjunta F de dos variables aleatorias X e Y, entonces se puede obtener la f.p. F1 de la variable aleatoria X a partir de F. En este contexto en que la distribución de X se obtiene a partir de la distribución conjuntas de X e Y, F1 se denomina f.d marginal de X. Análogamente, si se conoce la f.p.
conjunta o la f.d.p conjunta de X e Y, entonces se puede obtener la f.p marginal o f.d.p. marginal de cada variable aleatoria a partir de
.

Aquí hay que tener cuidado, ya que cuando se calcula la densidad conjunta, hay que fijarse bien en el dominio de las otras variables.

Las funciones de densidad de probabilidad marginal de X y Y, denotadas por
X (X) y
Y(Y) , respectivamente, están dada por

X(X) = f(x, y)dy, para -" <x < "

Y(Y) = f(x, y)dx, para -" <x < "

Características:

La distribución marginal de X es simplemente la función de probabilidad de x, pero la palabra marginal sirve para distinguirla de la distribución conjunta de X e Y.

Una distribución marginal nos da la idea de la forma como depende una probabilidad con respecto a una sola variable.

Usos:

La f.d.p marginal es usada para hallar las diferentes distribuciones de probabilidad estadística de las variables individuales, con esta función podemos asignar diferentes valores a las variables conjuntas sin tener que relacionarlas, por ello se amplia las probabilidades de cada una de las variables.

Ventajas

• La distribución marginal de dos variables aleatorias se pueden obtener a partir de su distribución conjunta.

• Para una variable aleatoria se puede especificar probabilidades para dicha variable sin tener en cuenta los valores de cuales quiera otras variables aleatorias.

Desventajas

• No es posible reconstruir la distribución conjunta de dos variables aleatorias a partir de sus distribuciones marginales sin información adicional.

• La f.d.p. marginal representada en grafica no proporcionan información acerca de la relación entre las variables aleatorias conjuntas.

EJERCICIO

Un grupo de empresas destina sus beneficios a una inversion (bien en tecnología, en cartera, etc.) y a pago de dividendos entre los accionista. Sean:

X= “Porcentaje destinado a nuevas inversiones” (tanto por uno)

Y=

1. Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funci´on de densidad conjunta

fXY (x, y) = _ k (x2 + y2) 20 _ x _ 30, 20 _ y _ 30

0 en otro caso.

a) ¿Cu´al es el valor de k?

b) ¿Cu´al es la probabilidad de que tanto X como Y sean menores que 26?

c) ¿Cu´al es la probabilidad de que max(X, Y ) < 26?

d) Hallar fX y fY , las funciones de densidad marginales.

2. De un grupo de tres profesores, dos graduados y un alumno debe seleccionarse al azar

una comisi´on de dos personas. Sean X el n´umero de profesores e Y el n´umero de

graduados en la comisi´on.

a) Hallar la funci´on de probabilidad conjunta del par (X, Y ) y las marginales de X

e Y.

b) ¿Cual es la probabilidad de que el alumno no forme parte de la comisi´on?

3. Sea (X, Y ) una v.a. bidimensional continua con distribuci´on uniforme en el trapecio

de v´ertices ("1, 0) , (0, 1) , (1, 1) y (2, 0) .

a) Hallar la funci´on de densidad conjunta de (X, Y ) .

b) Calcular P (Y _ X) .

c) Hallar las funciones de densidad marginales fX y fY .

Función Densidad Condicional ó f.d.p Condicional.

Definición:

Sean X y Y dos v.a continuas con p.d.f f(x, y) conjunta y p.d.f f x(x) marginal X. Entonces, para cualquier valor x de X para el que fx(x) >0, la función de densidad de probabilidad condicional de Y, dado que X = x es:

Para cada valor fijo y, la función
es una f.d.p para X sobre la recta real, puesto que
>= 0 y

Características:

• La definición
  es paralela a la P(B | A), que es la probabilidad condicional de que B ocurra, dado que A ha ocurrido.

• La f.d.p Condicional g1(x|y) de X debe ser proporcional a f(x, yo). En otras palabras, g1(x|y) es esencialmente igual que f(x, yo), pero incluye un factor constante 1/ [f2(yo)] que se necesita para que la integral de la f.d.p condicional sobre todos los valores de X sea la unidad.

Uso:

Sirve para estudiar  la posibilidad de que ocurra un X, bajo la ocurrencia de Y; o viceversa.

Ejercicios:

Suponga que X= el número de defectos críticos en un automóvil nuevo seleccionado al azar y Y= al número de defectos de poca importancia en ese mismo automóvil. Si sabemos que el numero de defectos críticos en el automóvil seleccionado es 1, ¿Cuál es la probabilidad de que el automóvil tenga a lo sumo tres defectos de poca importancia?, es decir,

¿Cuál es P(Y<= 3 | X = 1 )? Análogamente, si X e Y denotan las duraciones de dos componentes de un sistema y resulta que X = 100, ¿Cuál es la probabilidad de que Y>=200?, y cual es la duración esperada del segundo componente “condicionado” a este valor X?

Independencia de Variables y su relación con f.d conjunta

Definición:

Según DeGroot, 1988, “Se dice que dos variables aleatorias X e Y son independientes si, para dos conjuntos cualesquiera A y B de numeros reales,

”

Conclusiones.

• Cualquier punto o cualquier sucesión infinita de puntos, en el plano xy tiene probabilidad 0

• Cualquier curva unimensional en el plano xy tiene probabilidad 0. Por tanto la probabilidad de que (X, Y) pertenezca a cualquier recta en el plano es 0 y la probabilidad de que (X, Y) pertenezca a cualquier recta en el circulo es 0.

• Sirve para evaluar 2 o más v. a. continúas simultáneamente.

• Evalúa solo lo que es importante en el caso que se esta estudiando, marginando al resto de variables aleatorias

Bibliografía.

• Devore, Jay L., “Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencia”, Internacional Thomson Editores S.A., 1998.

• Hadley G., “Probabilidad y Estadística”, Ediciones F.C.E. España S.A., 1979.

• DeGroot, Morris H., “Probabilidad y Estadística”, Addison-Wesley Iberoamericana, S.A., 1988.

• Myers Raymond H. y Walpole Ronald E., “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”, Interamericana S.A., 1982.

• http:\\148.216.10.83/estadística/descriptiva.htm

• www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica.htm

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