TRABAJO PRÁCTICO DE MATEMÁTICA

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

Concepto de estadística

La estadística es el campo de la matemática que trata de encontrar las leyes que rigen el mundo del azar a fin de tomar las decisiones oportunas en aquellos aspectos de nuestro entorno que parecen estar dominados por lo aleatorio.

Reseña histórica

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o cosas. Hacia el año 3000 a. C. los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y sobre los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. En el siglo XXXI a. C., mucho antes de construir las pirámides, los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a. C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a. C. para cobrar impuestos. El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó la realización de un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres. Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales. En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos o físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de “interpretación” de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.

Descripción del método estadístico

Definición:

Población: el conjunto de todos los individuos cuyo conocimiento es objeto de interés desde un punto de vista estadístico.

Individuo: en estadística, cada uno de los elementos del colectivo (la población) que es objeto de estudio.

Muestra: es un subconjunto limitado extraído de una población con el objeto de reducir el campo de experiencias. Las propiedades que obtengamos se harán extensivas a toda la población.

Carácter o atributo: para el conocimiento de una población estadística, deberemos analizar a cada uno de sus individuos(o a cada individuo de una muestra).Pero ese anali9cis no puede ser exhaustivo; deberemos seleccionar uno o varios detalles (caracteres) y ver cómo se manifiesta ese carácter en cada uno de los individuos. Por ejemplo, de una población de maíz, los caracteres dignos de estudio pueden ser: color, número de granos, longitud, peso, etc.

Los caracteres pueden ser:

Cualitativos: Que se presentan bajo varias cualidades no medibles. Por ejemplo, el color.

Cuantitativos: Es cuando son medibles. Por ejemplo, la longitud de un grano de maíz, su peso, el número de granos total, etc.

Variable estadística: Una variable es una característica (magnitud, vector o número) que puede ser medida y según como se observe, puede variar su valor en diferentes casos como personas, lugares o cosas.

Variable discreta: Un carácter cuantitativo es discreto cuando solo puede tomar determinados valores.

Variable continua: Un carácter cuantitativo es continuo cuando puede tomar valores tan próximos como se quiera. Por ejemplo longitud, peso, etc.

Frecuencia:

Frecuencia absoluta:
La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un valor   ( x i )   en los datos obtenidos.
En nuestro ejemplo, la frecuencia absoluta indica el número de familias que tienen esa cantidad de hijos:

TABLA:

Frecuencia relativa:
La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta (f i ) y el número total de datos   ( n ).
En nuestro ejemplo,   n   =   50:

TABLA:

Acumulada:
En una tabla de frecuencias, cuando la variable es cuantitativa y, por tanto, los distintos valores de la tabla aparecen ordenados de menor a mayor, se llama frecuencia acumulada de un valor de la variable a la suma de su frecuencia con las frecuencias de los valores anteriores.

Tipos de gráficas:

Líneas: En este tipo de gráfico se representan los valores de los datos en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí. 
Se pueden usar para representar: 

• Una serie

• Dos o más series

Barras:

Gráficos de barras verticales:

Representan valores usando trazos verticales, aislados o no unos de otros, según la variable a graficar sea discreta o continua. Pueden usarse para representar:
 
  una serie
 
dos o más series (también llamado de barras comparativas)

Gráficos de barras horizontales:

Representan valores discretos a base de trazos horizontales, aislados unos de otros. Se utilizan cuando los textos correspondientes a cada categoría son muy extensos.

Para una serie

Para dos o más series

Gráficos de barras proporcionales 

Se usan cuando lo que se busca es resaltar la representación de los porcentajes de los datos  que componen un total.
Las barras pueden ser:

Verticales

 
Horizontales

Gráficos de barras comparativas

Se utilizan para comparar dos o más series, para comparar valores entre categorías. 
Las barras pueden ser:
 
verticales
 
horizontales

Pictogramas:

Los pictogramas son gráficos similares a los gráficos de barras, pero empleando un dibujo en una determinada escala para expresar la unidad de medida de los datos. Generalmente este dibujo debe cortarse para representar los datos.
Es común ver gráficos de barras donde las barras se reemplazan por dibujos a diferentes escalas con el único fin de hacer más vistoso el gráfico, estos tipos de gráficos no constituyen un pictograma.
Pueden ser: 
 
en dos dimensiones
 
en tres dimensiones.

Circular o de sectores:

Estos gráficos nos permiten ver la distribución interna de los datos que representan un hecho, en forma de porcentajes sobre un total. Se suele separar el sector correspondiente al mayor o menor valor, según lo que se desee destacar.
Se pueden ser: 
 
en dos dimensiones
 
en tres dimensiones.

Histograma. Polígono de frecuencias:

Estos tipos de gráficos se utilizan para representa distribuciones de frecuencias. Algunos software específicos para estadística grafican la curva de gauss superpuesta con el histograma. 

De tallo y hoja: Una técnica de recuento y ordenación de datos la constituye los diagramas de Tallos y Hojas.

Supongamos la siguiente distribución de frecuencias

36 25 37 24 39 20 36 45 31 31

39 24 29 23 41 40 33 24 34 40

Que representan la edad de un colectivo de N = 20 personas y que vamos a representar mediante un diagrama de Tallos y Hojas. Comenzamos seleccionando los tallos que en nuestro caso son las cifras de decenas, es decir 3, 2, 4, que reordenadas son 2, 3 y 4. A continuación efectuamos un recuento y vamos “añadiendo” cada hoja a su tallo . Por último reordenamos las hojas y hemos terminado el diagrama

Parámetro de posición:

Media aritmética o promedio:

Media aritmética o promedio, de una cantidad finita de números, es igual a la suma de todos ellos dividida entre el número de sumandos.(es un promedio)

Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a (8 + 5 + (-1)) / 3 = 4.

Mediana: Es el dato que ocupa el valor central, después de haber sido ordenados éstos. Le corresponde un percentil del 50%. Si n es par, se toma como mediana la media aritmética de los dos valores centrales.

Moda: Es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos. Ejemplo:

En la distribución: 5, 8, 9, 4, 5, 5, 8, 1, 2

La moda es 5, pues es el valor que cuenta con la mayor frecuencia: Aparece 3 veces.

Una distribución puede tener mas de una moda si dos o mas datos, o clases de datos, tienen la misma frecuencia y esta es la mas alta de la distribución.

Parámetros de dispersión:

La varianza: promedia la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio obtenido se divide por el tamaño de la muestra.

Desviación típica: es la raíz cuadrada de la varianza. Posee las mismas unidades que la media.

Para estimar la desviación típica de una población a partir de los datos de una muestra se utiliza la fórmula (cuasi desviación típica):

Rango: mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor más elevado y el valor más bajo.

Rango = Dato Mayor - Dato Menor.

Corresponde a un gráfico de barras vistoso o elegante, donde se reemplazó la barra vertical por un dibujo alusivo al tema del gráfico.