Espacios vectoriales

Si V={ P(x) / P(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn , ai " R }.Demostrar que V es un espacio vectorial sobre el campo de los R y calcular la dim(V).

Sean , " R , f(x),p(x),g(x) " P(x)

• P.D. f(x)+g(x) " P(x)

f(x)+g(x)= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)

= (a0+b0)+(a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn) " P(x)

P.D p(x)" P(x)

p(x)=  ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)= a0+a1x+a2x2+…+anxn " P(x)

"la suma y la multiplicación por escalar son cerrados

• condición Asociativa.

• P.D. f(x) + [g(x) + p(x)] = [f(x) + g(x)] + p(x)

f(x) + [g(x) + p(x)]= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + [(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) + (c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn)]

= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn +[ (b0 + c0) + (b1x + c1x)+…..+ ( (bnxn + cnxn)]

= (a0 + (b0 + c0)) + (a1x + (b1x + c1x))+…..+ (anxn + (bnxn + cnxn))

= ((a0+b0)+c0)+((a1x + b1x)+c1x)……+(anxn + bnxn)+cnxn)

=[ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)] +(c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn)

= [f(x) + g(x)] + p(x)

" se cumple la condición

• Elemento neutro

• "! e " P(x) " " a " P(x) , e(x) + p(x) = p(x) + e(x) = p(x)

sea e(x) = 0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn

e(x) + p(x) = (0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )

= (0+a0) + (0x + a1x )+…..+(0xn + anxn)

= (a0 + 0) + (a1x + 0x)+….+(anxn + 0xn)

= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn

= p(x)

"se cumple

• Elemento inverso

• " p(x) " P(x) "! p(x)-1 " P(x)" p(x) + p(x)-1 = e(x)

sea p(x)-1 = (-a0+(-a1)x+(-a2 )x2+(-a3 )x3+......+(-an )xn

p(x) + p(x)-1 = (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (-a0+(-a1)x+(-a2 )x2+(-a3 )x3+......+

(-an )xn

= (a0 - a0) + (a1x - a1x)+…..+(anxn - anxn)

= 0+0x+….+0xn = e(x)

"se cumple

• P.D. (+) p(x) = p(x) + p(x)

• (+) p(x) = (+) (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )

= [(+)a0 + (+)a1x+…+ (+)anx2]

=[a0+a0 + a1x+a1x+….+ anxn+anxn]

= [(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )+ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )]

= p(x) + p(x)

"se cumple

vi) P.D. (p(x)) = ()p(x)

(p(x)) = [ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)] = (a0 )+ (a1x)+…+ (anxn)

= ()a0 + () a1x +…..+ ()anxn

=()(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)

=( )p(x)

"se cumple

vii) P.D. [p(x) + f(x)] = p(x) + f(x)

[p(x) + f(x)] = [ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)]

=[(a0+b0) )+(a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn)]

=a0 + b0 + a1x + b1x+….+anxn + bnxn

= (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)

= p(x) + f(x)

" se cumple

viii) " x " P(x) , 1*p(x) = p(x)

1*p(x)= 1*(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)

=1*a0+1*a1x+1*a2x2+1*a3x3+......+1*anxn

= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn = p(x)

"se cumple

ix) Suma Conmutativa

f(x) + g(x) = g(x) + f(x)

f(x) + g(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)

=((a0+b0)+((a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn))

=((b0+a0)+((b1x + a1x)+……+(bnxn + anxn)

=(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)

= g(x) + f(x)

! como se cumplen las nueve propiedades

"P(x) es un espacio vectorial

la dimensión de un espacio vectorial es el numero de vectores de una base del espacio vectorial.

P(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) = [ a0 a1………..an]

"dim(V)=n

Dado W ={P(x) / grado P(x)"}, verificar que {1 2 3} es una base de W donde : 1 =-3x , 2 = 1+x2 , 3 =x2-5

Sean 1 ,2 ,3 " R y a0 + a1x + a2x2 " P(x)

a0 +a1x + a2x2 = 1 (-3x) + 2 ( 1+x2) + 3 (x2-5)

2 - 5 = a0

-3,1 =a1

2 + 3 =a2

es linealmente independiente?

(a0,a1,a2) = (0,0,0)

! "1 = 2 = 3= 0

" es una base para P(x)

Demostrar que si {v1, v2,.......,vn} es base de V y si

U1 = v1

U2 = v1 + v2

.

.

un = v1 + v2 +.......+ vn

entonses {u, u,.......,un} es base de V

Si V= { p(c) / grado p(x) " 4 } y si A = { p(x) " V/ p(4) =p(2) =0}, demostrar que A es un sub espacio de V

• ¿ 0 " A? Si

• ¿ (x+y) " A ?

sea  " R, x,y " A

[(a0 + a3 x3 + a4x4) + (a5 + a8 x3 + a9x4)]

= [(a0 + a5) + (a3 + a8 )x3 + (a4 + a9 )x4] " A

" A es un subespacio de P(x)

 Enviado por: Alejandro Herrera Idioma: castellano País: España

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