Tema 6: Espacios vectoriales métricos

El espacio vectorial hermitiano.

Dado un K-espacio vectorial V (K"!), se llama forma hermitiana en V a una aplicación H: VxV!K que verifica:

H(a1+a2,b) = H(a1,b) + H(a2,b)

H(a,b1+b2) = H(a,b1) + H(a,b2) (consecuencia de 1) y 5))

H(ta,b) = t·H(a,b)

H(a,tb) = t·H(a,b) (se obtiene de 3) y 5))

H(a,b) = H(b,a)

Ejemplo: el producto escalar ordinario.

Sea {a1,…,an} una base de V si conocemos H(ai,aj) Vi,j, entonces conocemos H(a,b) Va,b.

En efecto, si a = x1a1+…+xnan y b = y1a1+…+ynan

H(a,b) = H(x1a1+…+xnan, y1a1+…+ynan) = ni=1 nj=1 xiyj·H(ai,aj)!elemento i,j

Expresión coordenada de una forma hermitiana: Sea A la matriz nxn cuyo elemento (i,j) es H(ai,aj) se llamará matriz coordenada de H en base {a1,…,an}.

y1

[x1…xn] A … = 1xn

1xn nxn yn

nx1

Supongamos que {b1,…,bn} es otra base de V. Sea P la matriz del cambio de bases:

[b1…bn] = [a1…an] P ! expresión del cambio de bases

Si aV es un vector cualquiera:

a = x1a1 + x2a2 + … + xnan

a = x1b1 + x2b2 + … + xnbn

x1

a = [a1…an] …

xn

X = PX

x1 x1 X' = X'P'

a = [a1…an] … = [a1…an]P …

xn xn

Sea B la matriz coordenada de H respecto de la nueva base (su elemento (i,j) es H(bi,bj)).

Si a,bV a = x1a1+…+xnan = x1b1+…+xnbn

b= y1a1+…+ynan = y1b1+…+ynbn

y1

H(a,b) = [x1…xn] A … = X'AY = X'P'APY

yn

y1 VX,Y!X'P'APY=X'BY!P'AP=B

H(a,b) = [x1…xn] B … = X'BY

yn

Si no hay lugar a confusión se escribe a·b en lugar de H(a,b) (si sabemos a qué H nos estamos refiriendo).

Si elegimos una base de V, {a1,…,an} entonces los valores de ai·aj determinan a los valores a·b Va,bV.

La matriz A = [tij] con tij = ai·aj se llama matriz coordenada de H en bases {a1,…,an}.

Si {b1,…,bn} es esta base dada por [b1…bn] = [a1…an] P y B es la matriz coordenada de H en bases {b1,…,bn} entonces B = P'AP.

Observación: tij = ai·aj = aj·ai = tij O sea, A' = A.

Una matriz AMat(n,K) se dice que es hermitiana si verifica que A' = A.

Si K"!, hermitiana = simétrica (A' = A = A).

Una forma hermitiana H definida en un K-espacio vectorial, V, sobre un cuerpo K"! se llama forma bilineal simétrica:

a·b = b·a

(t·a)·b = t·(a·b)

a·(t·b) = t·(a·b)

(a1+a2)·b = a1·b + a2·b

a·(b1+b2) = a·b1 + a·b2

Trataremos de encontrar una base de V respecto de la cual la matriz coordenada de H sea lo más sencilla posible.

Diremos que dos matrices hermitianas, A,BMat(n,K), son ^-congruentes lineales si existe P regular tal que B = P'AP.

La relación “ser ^-congruentes lineales” en el conjunto de las matrices hermitianas nxn sobre K es reflexiva, simétrica y transitiva.

Conviene recordar:

z1 + z2 = z1 + z2

z1·z2 = z1·z2

z-1 = (z)-1

Observación: Todas las matrices coordenadas de una forma hermitiana son ^-congruentes lineales entre sí. Si A y B son ^-congruentes lineales, entonces existe una forma hermitiana H que tiene como matrices coordenadas a A y a B.

Sea H una forma hermitiana en un K-espacio vectorial V:

• Se dice que los vectores a y b son ortogonales (o que a es ortogonal a b) si se cumple a·b = 0 (b·a = 0).

(En el caso particular del espacio ordinario: ortogonal = perpendicular).

• Un vector aV, a"0, se dice que es isótropo si es ortogonal a sí mismo (a·a = 0).

• Se dice que un vector a es ortogonal a un subespacio S cuando es ortogonal a todos los vectores de S.

• Se dice que el subespacio S es isótropo si S es ortogonal a S (Si a,bS !a·b = 0).

• El conjunto de los vectores que son ortogonales al subespacio S se denota SO, S%.

Proposición: SO es subespacio vectorial.

S"SO es un subespacio isótropo.

Propiedades:

S"T ! SO"TO

S"(SO)O

S y T son ortogonales ! S"TO y T"SO

Se llama núcleo de la forma hermitiana H al subespacio vectorial:

VO = {aV; a·b = 0 VbV}

(V,H) un espacio vectorial hermitiano.

Proposición: Si (V,H) es un espacio vectorial hermitiano y S"V entonces

dimS + dim SO " dim V.

(V,H) Núcleo de H: VO.

• Se llama rango de la forma hermitiana H al número natural rang H = rango de cualquiera de las matrices coordenadas de H (todas ellas tienen el mismo rango).

• Se dice que H es regular, ó también que V es regular, si rang H = dim V (o sea, si cualquier matriz coordenada de H es regular).

Proposición: (V,H) espacio vectorial hermitiano:

H es regular si y sólo si VO = 0.

Proposición: dim VO = dim V - rang H.

(V,H) espacio vectorial hermitiano. S un subespacio vectorial de V.

La restricción de H a S se denota HS y es una forma hermitiana en S:

HS(a,b) = H(a,b) Va,bS

¿rang HS? ¿Núcleo de HS? ¿Cuándo HS es regular?

El subespacio S se dice que es regular si HS es regular.

Proposición: Núcleo de HS = S"SO.

Consecuencia: rang HS = dim S - dim(KerHS) = dim S - dim(S"SO)

S es regular ! S"SO = 0

! dim S + dim SO (=dim S"SO) " dim V

Como S"SO = 0 ! S"SO (suma directa) !dim S " dim SO = dim V

(V,H) espacio vectorial hermitiano S1,…,Sr " V

Se dice que la suma S1+…+Sr es una suma ortogonal si es directa y además Si es ortogonal a Sj Vi"j.

En este caso se escribe S1%…%Sr ! Suma directa de subespacios ortogonales 2 a 2.

(V,H) A matriz coordenada de H P'AP

Encontrar en V una base respecto de la cual la matriz coordenada de H sea “lo más sencilla posible”.

diag[t1…tn] ! matriz coordinada en base {b1,…,bn}

0 si i"j

H(bi,bj) =

ti si i=j

O sea, los vectores {b1,…,bn} han de ser ortogonales dos a dos.

Queremos descomponer V en suma de subespacios de dimensión pequeña.

Lema: Cualquier suplementario del núcleo es regular: V = S"VO !S es regular.

Proposición: H: VxV!K("!) (V,H) espacio vectorial hermitiano. Se tiene:

a2! VaV (a2 = a·a = H(a,a)).

S"V; entonces S es isótropo o contiene algún vector no isótropo (Si todos los vectores de S son isótropos ! S es isótropo).

Teorema: Sea (V,H) un espacio vectorial hermitiano sobre el cuerpo K. Entonces, existen S1,S2,…,Sn subespacios vectoriales de V, de dimensión 1, tales que V = S1%…%Sn. Si tomamos en cada Si un vector no nulo bi entonces {bi} es una base de Si. Además {b1,…,bn} es una base de V con la propiedad de que sus vectores son ortogonales dos a dos.

Una base de V con la propiedad de que sus vectores son ortogonales dos a dos se dice base ortogonal de V.

Corolario: Toda matriz hermitiana es ^-congruente lineal con una matriz diagonal.

Teorema: Sea (V,H) un espacio vectorial hermitiano real o complejo (K = ! ó !). Entonces existe una base de V respecto de la cual la matriz coordenada de H es diag[1,…,1,-1,…,-1,0,…,0].

Corolario: Toda matriz hermitiana compleja o simétrica real es ^-congruente lineal con una diagonal de 1's, -1's y 0's (en le caso real serán congruentes lineales).

Se llama signatura de una base ortogonal en un espacio vectorial hermitiano al número de vectores de esa base cuyo cuadrado es positivo (>0).

Observación: El número de vectores de cuadrado no nulo en cualquier base ortogonal de un subespacio vectorial hermitiano (V,H) es rang H.

(V,H) espacio vectorial hermitiano.

Observación: Si {a1,…,an} es base ortogonal de V, entonces el número de vectores de esa base que no son isótropos es rang H. (en efecto, la matriz coordenada de H en esa base es diag[a12,…,an2]).

En consecuencia, todas las bases ortogonales de (V,H) tienen el mismo número de vectores no isótropos (vectores con cuadrado no nulo) y ese es el rango de H.

Teorema(Ley de inercia de Silvestre): Sea (V,H) un espacio vectorial hermitiano. Todas las bases ortogonales tienen la misma signatura. A esa signatura la llamamos signatura de la forma hermitiana H y se denota sig H.

Se llama signatura de una matriz hermitiana a la signatura de la forma hermitiana que tenga esa matriz como matriz coordenada.

Corolario: Dos matrices hermitianas, A,BMat(n,K) con K = ! ó !, son ^-congruentes lineales si y sólo si A y B tienen el mismo rango y la misma signatura.

Proposición: Sea (V,H) un espacio vectorial hermitiano y S un subespacio vectorial de V HS: SxS!K.

Entonces, rang HS " rang H y sig HS " sig H.

Dado un espacio vectorial hermitiano (real o complejo), (V,H), llamaremos forma cuadrática asociada a la matriz hermitiana H a la aplicación f: V!K dada por f(a) = H(a,a) = a2. No es una aplicación lineal. f(a+b) = (a+b)2 " a2 + b2 = f(a) + f(b).

Conociendo f se conoce perfectamente H: ¿a,b?

Si el cuerpo es el de los reales, K = ! ! (a+b)2 = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 ! H(a,b) = ½ (f(a+b) - f(a) - f(b))

Si K = ! ! (a+b)2 = a2 + ab + ba + b2 = a2 + b2 + ab + ab = a2 + b + 2Re(a·b)

Re(a·b) = ½ (f(a+b) - f(a) - f(b))

(i·a+b)2 = (i·a)2 + iab + bia + b2 = H(ia,ia) + H(ia,b) + H(b,ia) + H(b,b) = iiH(a,a) + iH(a,b) + iH(a,b) + H(b,b) = a2 + iab - iab + b2 = a2 + b2 + i(ab-ab) = a2 + b2 - 2Im(a·b)

Im(a·b) = (a2 + b2 - (i·a+b)2) / 2 = ½ [f(a) + f(b) - f(ia+b)]

Método de Lagrange (para clasificar formas hermitianas por ^-congruencia lineal)

Ejemplo(10i): Diagonalizar por el método de Lagrange la forma cuadrática

4x2 + 13y2 + z2 - 16xy - 4xz - 8yz

4 -8 -2

A = -8 13 -4 forma hermitiana de matriz coordenada A

-2 -4 1 ó forma bilineal simétrica

4x2 + 13y2 + z2 - 16xy - 4xz - 8yz = (2x-4y-2z)2 - 16y2 - 4z2 - 16yz + 13y2 + z2 - 8yz = (2x-4y-2z)2 - 3y2 - 3z2 - 24yz = (2x-4y-2z)2 - ("3y+4"3z)2 + 48z2 - 3z2 =

(2x-4y-2z)2 - ("3y+4"3z)2 + 45z2 = (2x-4y-2z)2 - ("3y+4"3z)2 + (3"5z)2 =

x2 + y2 - z2

Si hacemos este cambio de coordenadas ! la matriz coordenada es

1 0 0

0 1 0

0 0 1

El espacio vectorial unitario (K = ! ó !).

Formas hermitianas definidas positivas y negativas.

Una forma hermitiana H en un espacio vectorial V se dice que es definida positiva si

sig H = dim V. Es decir, V admite una base ortogonal en la que todos los vectores tienen cuadrado positivo. (En V cualquier base ortogonal tiene todos los vectores con cuadrado positivo).

Proposición: Dado un espacio vectorial hermitiano (V,H), son equivalentes:

H es definida positiva.

a2 = H(a,a) >0 VaV a"0.

Si A es matriz coordenada de H, entonces existe Q regular tal que A = Q'Q.

Si A es matriz coordenada de H, entonces los menores (det. de subm.) angulares de A son todos positivos.

Observaciones: Si (V,H) es espacio vectorial hermitiano y H es definida positiva, (siempre K = ! ó !), entonces:

a2>0

HS es definida positiva para todo S"V

V admite una base en la que la matriz coordenada de H es In.

Si (V,H) es un espacio vectorial hermitiano y H es definida positiva, se llama norma de un vector aV al número real ||a|| = +"a2

(Notar que ||a|| = 0 ! a = 0) ||a|| > 0 Va"0.

Una base ortogonal de V se dice que es una base ortonormada si todos los vectores de la base son de norma 1.

La matriz coordenada de H respecto de una base ortonormada es In.

El espacio vectorial euclidiano.

• V espacio vectorial real con una forma hermitiana de signatura máxima. (V,E) se llamará espacio vectorial euclidiano.

Si elegimos en V una base ortonormada, la matriz coordenada de la forma bilineal simétrica es, en esa base, In.

Las coordenadas de un vector aV respecto de una base ortonormada {a1,…,an} se llaman coordenadas euclidianas o cartesianas.

Si a = (x1,…,xn) respecto de una base ortonormada entonces E(a,b) = a·b =

y b = (y1,…,yn) respecto de una base ortonormada = x1y1+…+xnyn

Es decir, tenemos el producto escalar ordinario de la geometría.

• V espacio vectorial complejo con una forma hermitiana de signatura máxima, (V,E) se llamará espacio vectorial unitario.

Si elegimos en V una base ortonormada, la matriz coordenada de E en esa base es In.

Las coordenadas de un vector respecto de una base ortonormada se llaman coordenadas unitarias.

Si a = (x1,…,xn) respecto de una base ortonormada entonces E(a,b) = a·b =

y b = (y1,…,yn) = x1y1+…+xnyn

Proposición (Desigualdad de Cauchy-Schwartz): Si (V,E) es un espacio vectorial unitario o euclidiano, entonces |a·b| " ||a||·||b|| Va,bV.

Además, se da la igualdad si y sólo si {a,b} es ligada.

Nota: ||a|| = +"a ! solo tiene sentido hablar de norma cuando estemos en una forma hermitiana de signatura máxima.

Proposición (Desigualdad triangular o de Minkowski): Si (V,E) es un espacio vectorial unitario o euclidiano, entonces ||a+b|| " ||a|| + ||b||

Además, se da la igualdad si y sólo si {a,b} es ligada y a·b es real positivo.

Si a·b es real ! -1 " a·b "1 (1)

||a||·||b||

Sea (V,E) un espacio vectorial euclidiano. Dados dos vectores no nulos, a y b, se llama ángulo formado por a y b al ángulo ð comprendido entre 0 y ð tal que cosð = a·b _

||a||·||b||

(Esta definición tiene sentido por (1) ya que cosð[-1,1]).

Propiedades:

ð = ð/2 ! a%b

ð = 0 ! {a,b} es ligada y a·b > 0

ð = ð ! {a,b} es ligada y a·b < 0

(Teorema del coseno). ||b-a||2 = ||a||2 + ||b||2 - 2||a||·||b||cosð

Nota: Si ð = ð/2, tenemos el teorema de Pitágoras.

(x1,…,xn)·(y1,…,yn) = x1y1 + … + xnyn

Lema: Sea (V,E) un espacio vectorial euclidiano. Toda familia ortogonal de vectores no nulos es libre.

(V,E) espacio vectorial unitario.

Teorema: (V,E) espacio vectorial unitario. Cualquier familia ortogonal de vectores no nulos de V se puede completar hasta tener una base ortogonal de V.

Corolario: Si {a1,…,ar} es una familia ortonormada de vectores en (V,E), entonces la podemos completar hasta una base ortonormada de (V,E).

Una matriz cuadrada, regular, P, tal que P'P = In se llama matriz unitaria.

Una matriz unitaria real se llama matriz ortogonal (PP' = In, o sea, P' = P-1) ! |P| = ±1.

Las matrices unitarias son matrices de cambio de base ortonormada a otra base ortonormada.

Clasificación unitaria de las formas ortonormadas.

Nos dan V,E y H y queremos clasificar H eligiendo la base ortonormada para E de V respecto de la que la matriz coordenada de H sea lo más “sencilla” posible.

El producto de dos matrices unitarias es unitaria.

La inversa de una matriz unitaria es unitaria.

El conjunto de las matrices unitarias nxn es un grupo U(n).

El conjunto de las matrices ortogonales nxn es un grupo O(n).

Las matrices ortogonales cuyo determinante es 1 forman un subgrupo de O(n), se denota O+(n).

Observación: O+(n) " O(n) " U(n) " GL(n,!)

Si A es matriz coordenada de H en una base ortonormada de (V,E) y cambiamos de base ortonormada de (V,E) (sea U la matriz del cambio de bases), entonces la matriz coordenada de H en la nueva base es U'AU.

Dos matrices hermitianas, A,BMat(n,!) se dice que son congruentes unitarias si existe U unitaria tal que B = U'AU.

Dos matrices simétricas reales, A,BMat(n,!) se dice que son congruentes ortogonales si existe P ortogonal tal que B = P'AP.

Observación:

Dos matrices son congruentes unitarias si y sólo si son matrices coordenadas de una misma forma hermitiana H respecto de dos bases ortonormadas de (V,E).

Dos matrices son congruentes ortogonales si y sólo si son matrices coordenadas de una misma forma bilineal simétrica H respecto de dos bases ortonormadas de (V,E).

Observación: Si A y B son congruentes unitarias, entonces A y B son semejantes

B = U'AU = (U)-1AU = Q-1AQ

Lema: Sea AMat(n,!) hermitiana, se tiene:

Los valores propios de A son todos reales.

La matriz A es diagonalizable como endomorfismo. (O dicho de otro modo, la forma canónica de A es diagonal).

Lema: Sea (V,E) un espacio vectorial unitario (ortogonal) y {a1,…,an} una base ortonormada. Sea A una matriz hermitiana (simétrica) y consideramos el endomorfismo h: V!V que tiene matriz coordenada A en la base {a1,…,an}. Entonces:

E(h(a),b) = E(a,h(b)) Va,bV.

V es suma ortogonal de los subespacios fundamentales de h.

Teorema: Sea (V,E) un espacio vectorial unitario (ortogonal) y H una forma hermitiana (bilineal simétrica) en V. Entonces existe una base de V que es ortonormada para E y que además es ortogonal para H.

Corolario: Dada una matriz hermitiana (simétrica) A, existe U unitaria (ortogonal) tal que U'AU es diagonal (en la diagonal aparecen los valores propios de A).

Dicho de otro modo: Toda matriz hermitiana es congruente unitaria con una matriz diagonal. Toda matriz simétrica real es congruente ortogonal con una matriz diagonal.

Nota: A y B son congruentes unitarias !
U unitaria t.q. B = U'AU = Q-1AQ ! A y B son semejantes.

Corolario: Dos matrices hermitianas A,BMat(n,!) son congruentes unitarias si y sólo si tienen el mismo polinomio característico.

Dos matrices simétricas reales A,BMat(n,!), son congruentes ortogonales si y sólo si tienen el mismo polinomio característico.

Nota: Si a,bV y E(a,b) = 0 ! H(a,b) = 0?

En general no.

Para que se dé la implicación a, b han de ser valores propios para la matriz coordenada de H.