Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Culhuacán

Ecuaciones Diferenciales

“Apuntes sobre Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogéneas Con Coeficientes Constantes de orden n”

(EDL~HCCC orden n)

Trabajo elaborado por los alumnos:

Zarate García Curicaveri

Ocampo Zavala Oscar

Grupo:

25CM

Turno:

Matutino

Profesora:

Ramírez Castellanos Ernestina

Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas con coeficientes constantes de orden n . (EDLNHCC)

En está sección se estudiaran dos métodos para resolver EDLNHCC; y dichos métodos son:

1.- Operadores Diferenciales.

2.- Variación de parámetros.

Iniciaremos con el Método de Operadores Diferenciales.

Recordemos que la derivada ordinaria de toda función real de variable real puede denotarse como:

,

donde , se llama operador diferencial, porque transforma una función diferenciable en otra función.

Ejemplos:

1.-

2.-

Es también valido, escribir:

1.- .

2.- .

En general, la derivada n-ésima de una función, puede expresarse como:

Las expresiones polinomiales donde interviene , como , , , también son operadores diferenciales.

Definición de E.D.L.N.H.C.C

Una E.D.L.N.H.C.C. de orden n y grado 1 es una ecuación de la forma:

Donde,

son cantidades numéricas reales.

Identificación de E.D.L.N.H.C.C.

1.-

los coeficientes constantes son .

2.-

los coeficientes constantes son .

3.-

el coeficiente constante es 1, y todos los demás valen cero.

Ahora bien empleando la notación de operados diferenciales, * puede también escribirse como:

de donde:

de aquí, se tiene que la expresión:

es una expresión polinomial donde interviene .

La expresión , recibe el nombre de operador diferencial lineal de orden n y se denota mediante el símbolo . Es decir,

Ejemplos:

Encontrar el operador diferencial lineal correspondiente a cada ecuación diferencial.

1.- .

Empleando operadores diferentes la ecuación 1. puede también escribirse como:

, donde

, de orden 2.

2.-

Esta ec. Puede escribirse como:

, donde

, de orden 5.

3.-

, donde

, de orden 4.

Propiedades de

a) puede factorizarse en operadores diferenciales de orden menor.

Ejemplos:

1.-

2.-

3.-

b) Los factores de pueden conmutarse.

Ejemplos:

1.-

2.-

3.-

El método de operadores diferenciales emplea el concepto de operador anulador, y por consiguiente antes de pasar a resolver E.D.L.N.H.C.C estudiaremos el concepto de operador anulador, es decir, estudiaremos tres casos de operadores anuladores, a saber:

Caso A.

Si ; con -constante o bien, si es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a es:

.

Caso B.

Si , o bien es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a es:

Caso C.

Si , o bien ; o bien si es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a es:

Ejemplo 1. Encuentre un operador diferencial que anule a

Solución:

es una suma de dos funciones reales de variable real, a saber,

y .

• La función corresponde al Caso A, ya que , donde , es decir .

Por lo tanto el operador que anula a es:

• La función corresponde al Caso B, ya que , donde

Por lo tanto el operador que anula a es:

, es decir

.

Como anula a y anula a , entonces el operador que anula a es:

.

Ejemplo 2. Encuentre el operador diferencial que anule a:

Solución:

es una suma de seis funciones reales de variable real.

Los sumandos de pueden agruparse de la siguiente forma, de acuerdo a los casos A, B y C:

, donde:

• La función corresponde al Caso A, ya que es una combinación de algunas de ellas; para conocer el operador anulador, se considera la potencia con máximo exponente, a saber,

.

Por tanto, el operador que anula a es:

• La función corresponde al Caso B, ya que ,

, donde

Por tanto, el operador que anula a es:

, es decir,

• La función corresponde al Caso C, y solo puede considerarse o , porque:

ambas coinciden en las potencias con base en las , las exponenciales son idénticas y los argumentos de seno y coseno son iguales, o sea:

Por tanto el operador que anula a es:

, es decir,

Como anula a , anula a y anula a , entonces el operador que anula a es:

.

Método de solución para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes. (E.D.L.N.H.C.C)

Sea:

* , donde

y

Una E.D.L.N.H.C.C de orden n.

La solución general de * es de la forma:

, donde

• es la solución completa de la E.D.L.H.C.C

.

• Y es una solución particular de *, la cual deberá ser calculada.

El método de solución se expondrá mediante ejemplos.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación:

Solución:

Paso 1. Identificaremos la ecuación diferencial.

*

Paso 2. Encontraremos la ecuación diferencial lineal homogénea asociada a *.

** asociada a *

Paso 3. Resolveremos , mediante su ecuación característica asociada:

entonces:

, es decir

, donde

Paso 4. La ecuación * se expresa con operadores diferenciales, como sigue:

Paso 5. Encontramos el operador anulador de .

corresponde al Caso A.

donde .

Por lo tanto el operador que anula a es , es decir,

Paso 6. Se aplica el operador anulador a la ecuación .

............***

Paso 7. Resolvemos *** con el método de solución de las E.D.L.H.C.C.

su ecuación característica asociada es:

Es decir,

Por lo tanto la solución de *** es de la forma:

.

Es decir,

O sea,

que es la solución general de *.

Paso 8. La ecuación se compara con:

, para identificar .

De , vemos que:

• (como se obtuvo en el paso 3).

Paso 9. Se calculan y , recordando que es una solución particular de *.

Entonces:

Sustituyendo y en *, tenemos que:

.

Agrupando los sumandos del primer miembro de acuerdo a los sumandos del segundo miembro,

De donde:

Sustituyendo y en , vemos que la solución general de * es:

.

Ejemplo 2. Resolver:

.

Solución:

Paso 1. Identificaremos la ecuación diferencial.

*

Paso 2. Escribimos la E.D.L.H.C.C asociada a *.

**

Paso 3. Resolveremos **, mediante su ecuación característica asociada:

Calculamos las raíces de:

, ó

Para resolver utilizamos división sintética.

-1

Por lo tanto, las raíces de son:

Por lo tanto, la solución completa de ** es:

Paso 4. Se busca el operador anulador a

.

Para poder emplear los casos A, B y C, se expresa como:

,

que es una suma de tres funciones, a saber:

• Para ,

el operador que anula a es:

.

• Para ,

, donde

Por tanto, el operador anulador de es:

.

• Para

, donde

Por tanto, el operador anulador de es:

.

Como entonces el operador que anula a es:

Paso 5. La ecuación * se expresa con operadores diferenciales, como sigue:

Paso 6. Se aplica el operador anulador a la ecuación .

............***

Paso 7. Resolvemos *** con el método de solución de las EDLHCC.

La ecuación característica asociada a *** es:

, de donde

ó

ó

ó

De aquí:

Vemos que:

Por lo tanto la solución de *** es:

.

Paso 8. La ecuación se compara con:

, para identificar .

De , vemos que:

• .

Paso 9. Se calculan y , recordando que es una solución particular de *.

Entonces:

Sustituyendo , , y en *, tenemos que:

De donde:

Sustituyendo y en , vemos que:

que es la solución general de *.

Ejercicios propuestos de la guía correspondientes a E.D.L.N.H.C.C

En los ejercicios 1-11 resuelva la ecuación diferencial dada por el método de operadores diferenciales. Indique el tipo de ecuación diferencial, la variable dependiente e independiente, el orden y el grado; y la forma de la solución general.

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-