Capítulo 3

Aproximación Dinámica de la Economía Pesquera

“...La población de peces, o biomasa, puede ser vista como un stock de capital en tanto que, como el capital convencional o hecho por el hombre, es capaz de permitir el flujo de un consumo sostenible a lo largo del tiempo. Como con el capital convencional, la decisión de consumo presente, por su impacto sobre el nivel de stock, tendrá consecuencias sobre las opciones de consumo futuro. El problema de manejo del recurso se convierte entonces, en un problema de elección de un flujo de consumo óptimo en el tiempo, el que a su vez implica la elección de un nivel de stock óptimo como una función del tiempo...”

Clark et al. (1975: 206)

El desarrollo del modelo de economía pesquera del capítulo anterior no toma en cuenta la variable tiempo, siendo este tipo de análisis estático y corresponde a un caso especial del modelo dinámico. En los modelos dinámicos se incorpora el tiempo como una de las variables consideradas.

La aplicación dinámica a la economía de los recursos pesqueros, se asocia a la teoría del capital tal como lo señala la cita de Clark et al. (1975: 206) anterior.

La teoría del capital toma fuerza con la teoría del control óptimo cuyo origen está en el trabajo de Richard Bellman (1957) de los Estados Unidos y L. S. Pontryagin, et al. (1962) de la Unión Soviética, quienes superan las limitaciones del análisis clásico del cálculo de variaciones. Dado que este capítulo se apoya en la teoría del control óptimo, es pertinente comenzar exponiendo los fundamentos de ella.

3.1 Teoría del Control Óptimo

Esta teoría se fundamenta en el principio de máximo de Pontryagin o variantes del mismo y es de gran utilidad para resolver los problemas determinísticos en tiempo continuo respecto de cómo asignar o explotar recursos en el tiempo donde las decisiones del presente afectarán las decisiones en el futuro. En general esta técnica es bastante utilizada para el análisis de los recursos naturales.

En términos simples, lo que se busca encontrar es la trayectoria de una variable o grupo de variables que maximice o minimice una determinada función objetivo -en el caso de la pesquería se busca maximizar el valor presente de la renta del recurso pesquero- sujeta a que se cumplan las restricciones impuestas por el modelo. En el caso de la pesquería estas son de tipo biológico y económico y permiten que el recurso se explote en forma sustentable.

La función objetivo se expresa en términos del recorrido que tengan las variables de control y las variables de estado dentro del horizonte de tiempo, T, y del valor terminal de las variables de estado.

Una variable de control, es aquella que se puede manejar o controlar, por ejemplo la tasa de extracción, el nivel de esfuerzo, la tasa de inversión en capital o cualquier otro flujo que afecte el tamaño del stock del recurso, de tal manera que se comporte de una determinada forma para encontrar la mejor senda posible que satisface la función objetivo.

Una variable estado, representa la variable que se desea gestionar. En el caso de la pesquería corresponde al tamaño del stock del recurso: es decir, la biomasa. Se debe recordar que la biomasa depende del stock disponible del período anterior y de las extracciones que se realizan.

3.1.1 El principio del máximo de Pontryagin

Consideremos el siguiente problema general de optimización en el que se incorpora el descuento temporal de las variables, donde se busca encontrar la secuencia de las variables que permite la maximización:

Sujeto a:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Donde u es la variable de control y U su dominio de admisibilidad. Las condiciones (3.1) a (3.3) corresponden a las restricciones que deben cumplir las variables. La primera condición recibe el nombre de ecuación de estado, que en el caso de la pesquería corresponde a la tasa de cambio de la biomasa.

Para el problema, se define el Hamiltoniano de valor presente que permite cumplir con las condiciones necesarias de control óptimo:

donde:

= variable o ecuación adjunta o variable de co-estado de valor presente, y representa el incremento en el valor presente óptimo del recurso en el momento t, debido a un aumento unitario de las existencias del recurso, x, en ese momento.

= factor de actualización

= tasa de descuento social

= variable de co-estado o precio sombra. Permite valorar la variable de estado en el Hamiltoniano.

La variable adjunta de valor presente satisface la siguiente condición:

(a)

La condición frontera o terminal, también recibe el nombre de condición de transversalidad, es la que se presenta a continuación. Señala lo que ocurre en el período final de la senda óptima con los parámetros considerados:

(b)

De resolver las condiciones previas, se determina que existe una trayectoria óptima u*(t) continua en el intervalo [0, T], que maximiza la función objetivo cumpliendo las restricciones (3.1) - (3.3). Si x*(t) es la correspondiente trayectoria óptima, se cumplen las ecuaciones diferenciales (3.1) y (a), además de la condición de frontera (b) para x* y , tal que: u*(t) maximiza
sobre U para todo t " [0, T].

En las condiciones necesarias para un óptimo aparecen las tres variables x,  y u en dos ecuaciones diferenciales en x y , con condiciones inicial y terminal, respectivamente. La tercera ecuación necesaria para resolver el sistema se obtiene del requerimiento de que u* maximiza
. Si u* es un máximo interior -no en la frontera de U-, entonces la última condición se reduce a:

que es una ecuación algebraica en , x* y u*.

Nótese que en la formulación del problema de control óptimo, se incorporó explícitamente como variable explicativa el tiempo. Este tipo de modelos recibe el nombre de modelos no autónomos. En los casos en que el tiempo aparece como parte de un factor de descuento (e-rt) o no aparece explícitamente en la función objetivo y la ecuación de estado, reciben el nombre de modelos autónomos.

Una analogía en tiempo discreto del problema de control óptimo se encuentra en Azqueta, D. et al. (1994:115-117).

Modelo Dinámico Básico de Explotación de Recursos Pesqueros

Las primeras aproximaciones de la teoría del control óptimo a la economía pesquera se remontan a la década de los años 1970 con los trabajos de Plourde (1970, 1971), Quirk and Smith (1970), Clark, C. W. (1973 y 1976) entre otros.

En este enfoque, el estudio se centra en la determinación de las trayectorias óptimas de explotación del recurso natural renovable de forma sostenida a lo largo del tiempo. Las soluciones de equilibrio alcanzadas dependerán de las condiciones institucionales bajo las cuales los pescadores individuales tomen sus decisiones.

3.2.1 El Recurso Pesquero tiene un dueño

El problema básico para la sociedad será determinar la senda óptima de extracción de la biomasa, a objeto de maximizar el valor presente de las rentas provenientes de la pesquería, de tal forma de lograr un manejo sustentable del recurso.

Se desarrollará el modelo económico simple de la explotación de una pesquería monoespecífica, donde los insumos son trabajo y capital medidos en intensidad de esfuerzo pesquero (E) y donde se supone que tanto la demanda de pescado como la oferta de esfuerzo son perfectamente elásticas. También se supone que el precio del pescado (p), el costo unitario del esfuerzo (c) y la tasa social de descuento (), son independientes del tiempo, es decir se desarrollará un modelo autónomo.

El problema que se plantea consiste en controlar el tamaño de la biomasa a través de la modificación en las capturas -o del esfuerzo de pesca-, de tal forma que se maximice el valor presente de un flujo de ingresos netos en un determinado horizonte temporal, que se supondrá infinito. Del modelo estático sabíamos que el actuar de esta forma implica que el recurso le pertenece a alguien.

Por lo tanto, se debe determinar hasta qué punto la sociedad puede invertir o desinvertir en el recurso natural -extraer o no extraer biomasa- y cuál es la tasa apropiada de extracción del mismo a lo largo del tiempo. Se debe precisar que las extracciones que se realizan corresponden a los incrementos que tiene la biomasa, tal como actúa un inversionista que retira sólo los intereses y no toca el capital invertido en un activo financiero.

A continuación se presentan los elementos que permiten responder a las interrogantes anteriores.

Los Beneficios Netos de la pesquería en el momento t se definen como:

B° (X,h,t) = Ingreso Total - Costo Total

(3.4)

donde:

X(t) = biomasa a gestionar y es la variable de estado.

h(t) = capturas -extracciones- en unidades de peso (por ejemplo toneladas). Es la variable que se puede controlar por el hombre y corresponde a la variable de control. En estos modelos también se puede utilizar como variable de control el esfuerzo pesquero; la elección de una u otra variable dependerá del usuario de la información.

p = precio unitario del pescado desembarcado puesto en el mercado.

C(X(t)) = costo total de la extracción que está en función de la biomasa.

La tasa de crecimiento neto de la biomasa es:

(3.5)

donde:

= ecuación de estado que se refiere a la dinámica de la población de peces a través del tiempo. Dependerá del tamaño del stock, de las circunstancias medioambientales, del tiempo y de la actividad humana sobre el recurso.

F(X) = tasa de crecimiento natural de la biomasa.

E(t), corresponde al esfuerzo pesquero que define el espacio factible de control.

De este elemento del modelo, se define la tasa apropiada de inversión o desinversión en el recurso pesquero, ya que no se puede ejercer un esfuerzo de pesca ilimitado -dadas las limitaciones físicas o institucionales existentes- por lo que el esfuerzo pertenece al intervalo:

El esfuerzo pesquero es cero cuando no se extrae biomasa -se invierte en el recurso pesquero- y es máximo cuando se extrae biomasa -se desinvierte en el recurso.

Con la información anterior, construimos el problema de control óptimo:

es decir,

Sujeto a:

X(0) = 0, esta es la condición inicial. Es decir en el período cero la biomasa es cero.

h(t) " E(t)

El problema fundamental consiste en determinar el control factible óptimo, h(t) = h*(t) con t"0, que maximice la función objetivo a la vez que satisface las condiciones del problema. Siguiendo el principio del máximo se formula el respectivo Hamiltoniano:

Donde (t) es la variable adjunta que se puede interpretar como el precio sombra del recurso, descontado a su valor presente. El precio sombra, se refiere a la evaluación que realiza el tomador de decisiones de la variable de estado, en cualquier punto del tiempo a lo largo de la senda óptima

Las condiciones a cumplir son:

(i)

donde:
y

(ii) h(t) = h*(t)

Cuando el Hamiltoniano es lineal con relación a la variable de control, h(t), el problema de control óptimo también será lineal, por lo que las condiciones de Pontryagin serán necesarias y suficientes para la existencia de un óptimo. En nuestro ejemplo esta linealidad se cumple y para resolver el problema se recurre a una función de conmutación, que se iguala a la derivada del Hamiltoniano respecto a la variable de control. Si el control óptimo ocurre en el interior del intervalo de control E(t), la función de conmutación se anula, y la correspondiente solución singular será:

Este resultado indica que el beneficio marginal de pescar se iguala al beneficio marginal de invertir en el recurso -precio sombra del recurso. Para encontrar la trayectoria singular se deriva la expresión anterior respecto del tiempo:

Pero el segundo componente del lado derecho de la ecuación anterior, es igual a cero de acuerdo a la primera restricción del problema de optimización si se explota la biomasa de una forma sustentable -es decir, la tasa de regeneración de la biomasa es igual a la tasa de extracción. Sustituyendo el valor de (t) en la condición (i) resulta:

al igualar este resultado con la trayectoria singular de (t) obtenemos:

La solución singular X*(t) del stock óptimo puede generalizarse en la siguiente expresión, que recibe el nombre de la regla fundamental de explotación de recursos renovables.

En la trayectoria óptima la tasa de extracción es igual a la tasa de regeneración de la biomasa es decir,
:

(3.7)

Esta ecuación indica las condiciones necesarias para maximizar el valor presente de los beneficios obtenidos de la explotación del recurso, tomando simultáneamente una cosecha igual a la tasa de reproducción del recurso. Esta solución entrega, por lo tanto, un estado sostenible o estacionario, ya que X* no está en función del tiempo.

X no es una variable explícita, pues la solución X* corresponde a un estado estacionario donde h*(t) = F(X*). Esta expresión nos proporciona la norma para determinar en qué medida la sociedad debería invertir o desinvertir en el recurso natural. Cuando el rendimiento de la inversión marginal en el recurso o la tasa intrínseca de interés del recurso es mayor a la tasa de descuento social se invierte en la biomasa -no se extrae. Cuando ocurre lo contrario se desinvierte -se extrae biomasa en uno proporción sustentable. La ecuación indica que la sociedad debería invertir en el recurso natural hasta que la tasa intrínseca de interés del mismo, se iguale a la tasa de descuento social.

La tasa intrínseca -lado derecho de la ecuación de la regla fundamental- está compuesta por:

a. El producto físico marginal instantáneo del recurso, F'(X*).

F'(X) es la tasa de cambio de F(X). Para cualquier stock dado, por ejemplo X0, F(X0) nos indica la adición al stock en el próximo período.

Si consideramos un stock más alto, por ejemplo X1, F(X1) representa la adición al stock en el período 1. Si X1 es mayor que X0, el incremento en el stock asociado es F(X1) - F(X0) o F'(X). Por lo tanto, F'(X) es el cambio porcentual en el tamaño de la población por período o producto marginal de la biomasa.

Gráficamente, tenemos:

Gráfico 3.1

Interpretación de F'(X)

b. El efecto marginal del stock,
, es una medida del impacto del tamaño del stock sobre la renta marginal sostenible del recurso.

En el caso del modelo de economía pesquera, la función objetivo es sensible al nivel del stock de biomasa, ya que dependiendo del tamaño del stock, los costos de extracción se modifican debido al nivel de esfuerzo que es necesario ejercer. El numerador corresponde al costo total de la extracción y en el denominador indica la ganancia o pérdida del costo marginal de la extracción ajustada por el precio de oferta del capital.

Podemos modificar la regla fundamental -ecuación 3.7- de explotación del recurso renovable para obtener la regla marginal:

(3.8)

Si diferenciamos con respecto a X la expresión [p - C(X)] F(X), obtenemos:

el lado derecho de la expresión anterior, corresponde al lado izquierdo de la ecuación (3.8) previa. De esta forma podemos reescribir (3.8) como sigue:

(3.9)

En estado estacionario, la tasa de extracción h(t) se iguala a la tasa de reproducción F(X), por lo que en (3.9) podemos reemplazar F(X) por h(t). Pero la expresión [p - C(X)] h(t) puede ser interpretada como el nivel de renta o beneficio que puede sostener el nivel de población X. Si reescribimos la Renta Sostenible como R, la ecuación (3.9) se transforma en:

(3.10)

Supongamos que se reduce el stock del recurso por la extracción en una pequeña cantidad. Esta situación resulta en una ganancia inmediata de [p - C(X)], que corresponde al lado derecho de la ecuación (3.10), pero se puede incurrir en una pérdida de la Renta Sostenible futura de
, que es el valor presente -sobre un horizonte de tiempo infinito- del lado izquierdo de la ecuación (3.10), ya que se pierde la descendencia del stock marginal.

Así, la ecuación (3.10) replantea la regla fundamental del uso óptimo de los recursos renovables e indica que

la ganancia marginal inmediata de un incremento en la captura del recurso, puede ser igual al valor presente de las futuras pérdidas en rentas provocadas por ese cambio.

Todo el desarrollo previo nos ha permitido dar respuesta al problema de decidir si invertir o desinvertir en el recurso pesquero. Aún queda por determinar la tasa a la cual se realiza tal inversión o desinversión en el recurso; es decir, falta encontrar la senda de aproximación óptima a la solución X*, cuando se parte de una población inicial, X(0), diferente al nivel estacionario óptimo X*.

Dada la linealidad del ejemplo, la aproximación óptima de la solución de estado estacionario X*, consiste en la aplicación de unos controles específicos, llamados controles bang-bang o senda de aproximación más rápida que permiten alcanzar la solución estacionaria óptima de la forma más rápida posible:

En el primer caso la extracción es cero y se invierte en el recurso dejando que el stock de peces crezca biológicamente.

En el segundo, la extracción es máxima hasta que el stock inicial se aproxime al stock óptimo X*, es decir la política a seguir consistirá en desinvertir en el recurso.

Gráficamente corresponde a:

Gráfico 3.2

Senda Temporal Óptima

Si los costos unitarios de pesca no varían con la tasa de captura, y si se comienza en t=0 en el punto A, el objetivo será desinvertir a la tasa máxima hasta alcanzar X*, cuando la desinversión cesa abruptamente. Por otro lado, si uno comienza en el punto B, se invierte -no se extrae el recurso- hasta alcanzar X*.

Una vez que la biomasa alcanza el nivel X*, la pesquería se desarrolla sobre una base sostenible -al menos hasta que ocurra un cambio en algún parámetro- y deberían aplicarse controles como: licencias de pesca, cuotas de captura o impuestos, que lleven el nivel de capturas al nivel óptimo. Un nivel de pesca fuera de la base sostenible implicará inversiones o desinversiones adicionales, y así se ajustaría el stock al nivel óptimo (X*).

Aplicación 3.1

La siguiente aplicación tiene como objetivo encontrar la regla fundamental de explotación de recursos naturales cuando la variable de control es el nivel de capturas.

Sea el Beneficio Económico -ecuación 3.4- (B°) = p h(t) - c E

Donde:

p = precio en el mercado del pescado desembarcado.

h(t) = nivel de capturas en el tiempo.

c = costo unitario de extracción.

E = nivel de esfuerzo.

q = coeficiente de capturabilidad.

Sabemos que:

, luego al despejar queda:

Por lo tanto: B° = p h(t) - c E

Se transforma en:

La ecuación diferencial del crecimiento de la biomasa es:

que restringe la función objetivo anterior.

Así el Hamiltoniano se define como:

Las condiciones del máximo son:

pero, por la restricción biológica de extracciones sustentables se sabe que
, por lo que resulta:

(A)

Al reemplazar el valor de (t) que se obtiene en ii) en i), y despejar resulta:

(B)

Al igualar las ecuaciones (A) y (B) obtenemos la condición de explotación óptima del recurso:

(3.11)

Esta expresión es la regla fundamental de explotación de recursos naturales y es más fácil utilizar, ya que podemos reemplazar directamente los parámetros requeridos.

Con la siguiente información podemos comprobarlo.

q = 0,0016

c = 600.000

p = 7.000

 = 0,1

Para encontrar el valor de X* debemos construir la ecuación (3.11), para ello:

reemplazando los valores en la ecuación queda:

Simplificando las X's de la primera expresión y agrupando, resulta:

Factorizando:

La primera solución es: X1 = 0

Para encontrar las restantes soluciones, utilizamos la ecuación cuadrática:

X2 = - 256.693,4992

X3 = 83.479,21351

La segunda solución se descarta por ser negativa al igual que la solución trivial (X1), luego nos quedamos con X3.

Para encontrar el nivel de extracción reemplazamos en la siguiente función el respectivo valor de la biomasa:

El nivel de esfuerzo ejercido para lograr esta captura se obtiene de:

Reemplazando:

despejando:

E* = 24,72818644

El Beneficio Económico Neto se obtiene de:

Pero el esfuerzo pesquero se puede definir como:

Por lo que el Beneficio Económico Neto queda como:

B* = $ 8.283.131,16

Implicaciones del Modelo Dinámico de Explotación del Recurso Pesquero

El análisis dinámico incorpora una tasa de descuento que corresponde a la retribución que se obtendría cuando se extrae la biomasa y los recursos generados se invierten en el mercado en otra actividad. Luego, cada vez que se decide invertir o desinvertir en el recurso natural se está comparando la tasa de descuento social con la tasa intrínseca del recurso.

Aplicación 3.2

Para comprender lo que ocurre con el óptimo utilizaremos la Aplicación 2.4 como base y luego modificaremos la tasa de descuento social.

Los resultados de la sensibilización se presentan en la tabla y gráficos siguientes.

Supuestos:

Variable	Coeficiente
r	0,2
k	100
c	700
p	1.000
q	0,05

Resultados Sensibilización:

	X*	E*	h*	B* ($)
0%	57,00	1,72	4,902	3.698
1%	55,13	1,79	4,947	3.691
5%	48,14	2,07	4,993	3.541
10%	40,62	2,38	4,824	3.161
15%	34,65	2,61	4,529	2.699
100%	16,69	3,33	2,781	448
500%	14,49	3,42	2,478	84
1.000%	14,24	3,43	2,443	42
10.000%	14,02	3,44	2,411	4
100.000%	14,00	3,44	2,408	0,41
1.000.000%	14,00	3,44	2,408	0,04

Destaca en la tabla que cuando la tasa de descuento es cero -primera línea-, el óptimo que se obtiene es igual al Máximo Rendimiento Económico -ver cuadro resumen de la Aplicación 2.4- donde el beneficio económico -renta sustentable del recurso- se hace máximo como se observa en la quinta columna primera línea. En el caso estático, el rendimiento sustentable es la asignación con la cual se maximiza el idéntico beneficio neto en todos los períodos. Cualquier nivel de esfuerzo mayor conduce temporalmente a mayores capturas y beneficio neto pero éste, puede ser reemplazado por un beneficio neto reducido en el futuro, debido a que el stock ha disminuido.

En el otro extremo cuando la tasa de descuento tiende a infinito -última línea del cuadro- la solución óptima corresponde al equilibrio bionómico con libre acceso donde la renta del recurso se disipa.

Estas observaciones indican que los equilibrios estáticos estimados en el capítulo anterior, son dos casos especiales de la solución dinámica de la economía pesquera y que son soluciones óptimas sólo en estas condiciones.

Gráfico 3.3

Biomasa Óptima y la Tasa de Descuento Social

Fuente: tabla anterior

Gráfico 3.4

Esfuerzo Óptimo y la Tasa de Descuento Social

Fuente: tabla anterior

Gráfico 3.5

Captura Óptima y la Tasa de Descuento Social

Fuente: tabla anterior

Gráfico 3.6

Beneficio Neto Óptimo y la Tasa de Descuento Social

Fuente: tabla anterior

La demostración matemática de lo comentado anteriormente se encuentra en Clark, C. (1976) que indica que cuando la tasa de descuento es creciente, los niveles de esfuerzo dinámicos son crecientes; y cuando se utiliza una tasa de descuento infinita, el nivel de esfuerzo corresponde al de beneficio cero -equilibrio con libre acceso. Tal como se observa en los gráficos anteriores.

Se observa que una vez que la tasa de descuento es introducida en el análisis, la explotación dinámica del recurso lleva a una biomasa menor que el MRE, niveles sustentables de captura menores, mayores niveles de esfuerzo y beneficios netos menores, por lo que, desde el punto de vista de la sociedad, la maximización de la renta sustentable del recurso implica una sobre inversión en el recurso.

Cuando la tasa de descuento es positiva, alta, pero no infinita, el nivel de biomasa óptimo es más bajo que el MRE. Este mismo resultado se obtiene cuando el costo por extracción de la biomasa es más bajo o cuando el precio de venta del pescado es más alto.

El MRS es óptimo cuando la tasa de descuento social y el costo marginal son cero. En otras condiciones este equilibrio no es óptimo desde la perspectiva dinámica.

Aplicación 3.3

El siguiente paso es analizar qué ocurre con el óptimo cuando el costo marginal de extracción (c) se modifica.

La sensibilización toma como referencia la información del Aplicación 2.4 con una tasa de descuento social del 15% anual, el costo marginal parte en cero y se va incrementando. Los resultados obtenidos se presentan en la tabla y gráficos siguientes.

Supuestos:

Variable	Coeficiente
r	0,2
k	100
	15%
p	1.000
q	0,05

Resultados de la Sensibilización:

c ($)	X*	E*	h*	B* ($)
0	12,50	3,50	2,188	2.187,50
100	17,73	3,29	2,917	2.588,23
200	21,48	3,14	3,373	2.745,36
300	24,63	3,01	3,713	2.808,72
400	27,43	2,90	3,982	2.820,60
500	30,00	2,80	4,200	2.800,00
600	32,39	2,70	4,380	2.757,35
700	34,65	2,61	4,529	2.699,05
1.000	40,86	2,37	4,833	2.467,08
1.300	46,48	2,14	4,975	2.192,03
2.000	58,25	1,67	4,864	1.523,91
5.000	100,00	-0,00	-0,000	0

Gráfico 3.7

Biomasa Óptima y los Costos

Fuente: tabla anterior

Gráfico 3.8

Esfuerzo Óptimo y los Costos

Fuente: tabla anterior

Gráfico 3.9

Captura Óptima y los Costos

Fuente: tabla anterior

Gráfico 3.10

Beneficio Neto Óptima y los Costos

Fuente: tabla anterior

En general, cuando los costos de extracción son bajos y tasa de descuento es alta, comúnmente el nivel dinámico de esfuerzo eficiente excede el nivel de esfuerzo asociado con el máximo rendimiento sustentable, tal como se observa en las simulaciones anteriores.

Cuando los costos totales de extracción no dependen de la biomasa -costos marginales de extracción cero- y la tasa de descuento es cero, la política óptima de administración del recurso será el MRS. Si la tasa de descuento social es mayor que la tasa de regeneración de la biomasa en forma persistente, el recurso renovable puede tender a su eliminación. Con costos totales de extracción que no dependen de la biomasa y tasa de descuento positiva, el nivel dinámico de esfuerzo eficiente, necesariamente, excede al nivel estático de esfuerzo eficiente (MRE) y el esfuerzo asociado con el MRS.

Con costos de extracción crecientes, la biomasa tiende a su nivel de equilibrio sin explotación, ya que se hace más costosa la extracción de la biomasa, y se generan niveles de beneficio neto crecientes hasta alcanzar un máximo y luego se tornan negativos -lo que lleva a que la especie no se explote en forma comercial.

La tasa de crecimiento del recurso determina la intensidad del esfuerzo de conservación. Con tasas de crecimiento de la biomasa mayores a la tasa de descuento social, las futuras generaciones pueden ser fácilmente satisfechas, ya que el incentivo será a no desinvertir en el recurso natural.

Por otro lado, cuando la tasa de crecimiento -tasa de regeneración- es baja, es mayor el sacrificio en que incurren las generaciones actuales para conservar la biomasa para las generaciones futuras, tal como muestra Clark, C. (1987) en el caso de la explotación de las ballenas, donde lo óptimo, desde la perspectiva económica, es la depredación de la especie, ya que los ingresos que se obtienen de su explotación obtienen una mayor retribución en el mercado que dejando las ballenas en el mar.

En el caso límite, cuando la tasa de crecimiento del recurso natural es cero, se dispone de una oferta fija del recurso, y por lo tanto, no hay diferencia con el caso de un recurso agotable. La depredación total puede ocurrir cuando el precio asignado al recurso es alto con relación al costo marginal de la extracción de la última unidad.

Así cualquier estrategia de conservación y adecuado manejo del recurso debe tener en cuenta los puntos anteriores.

3.2.3 La Explotación del Recurso Pesquero y la Extinción

La extinción de una especie se puede producir porque:

Las extracciones realizadas por el hombre llevan a la especie al nivel mínimo de sobrevivencia producto de la existencia de la propiedad común y al libre acceso del recurso. Berck, P. (1979) señala que la extinción de la especie va depender de la relación entre el tamaño mínimo viable de la biomasa y el tamaño mínimo de la biomasa que permite explotaciones que generen beneficio.

La tasa de extracción excede a la tasa de regeneración del recurso en forma persistente en el tiempo; es decir, no se cumple con las condiciones del estado estacionario de explotación sustentable del recurso.

La tasa de regeneración de la biomasa es muy baja y es sobrepasada por la tasa de descuento social. Es decir, se crean los incentivos para reducir el stock de biomasa a cero, mientras la tasa intrínseca del activo sea menor que el costo de oportunidad del capital, por lo que desde el punto de vista de la sociedad es óptima la extinción. Esta consideración supone que no existen externalidades.

Las extracciones se efectúan con costos muy bajos y en una situación de libre acceso.

La extracción de la especie afecta a otras especie que son capturadas en forma incidental, y no se toman las medidas para evitarlo porque se percibe que no tienen un valor económico. También es posible que se elimine la especie con lo que se afecta el ciclo biológico como ocurre en las pesquerías multi-especies: especies con coexistencia competitiva, especie con exclusión competitiva y especies interdependientes.

El precio que se observa no mide adecuadamente el precio sombra del recurso; es decir, no se toma en cuenta el valor de preservación de éste, con lo que la extracción afecta el hábitat, y en algunos casos estos efectos son irreversibles.

Las condiciones económicas y biológicas en las cuales la extinción de una especie es adecuada se encuentran en el trabajo de Clark. C. (1973).

3.3 Modelos no Autónomos

En esta sección se analiza cómo se modifican las condiciones óptimas de explotación de los recursos pesqueros cuando los costos y el precio se modifican en el tiempo; por ello se denominan modelos no autónomos, pero se sigue manteniendo el supuesto de linealidad.

En la primera parte se determina la regla fundamental de explotación de los recursos naturales renovables, cuando cambian los precios en el tiempo. En la segunda, cuando el precio y el costo se modifican en el tiempo.

3.3.1 La Regla para los Recursos Renovables cuando cambian los precios

La regla fundamental de explotación para los recursos pesqueros es:

(3.7)

y supone que el precio de la biomasa extraída (p) está dado y no depende del tiempo; es decir, es un parámetro. El mundo real nos muestra sin embargo, que los precios tienden a modificarse en el tiempo, así se incorpora la siguiente extensión.

Consideremos que el precio está en función del tiempo, es decir, p = p(t). La regla fundamental de explotación se transforma en:

Para comprender mejor lo que representa esta condición, supongamos que la extracción de la biomasa es poco costosa, es decir, C(X)=0. Con este supuesto y sin pérdida de generalidad, la condición anterior se transforma en:

(3.12)

F'(X*), el primer componente del lado izquierdo de la regla de explotación de los recursos pesqueros es equivalente al producto marginal del recurso y, el segundo,
, es la tasa de incremento en el precio real de la cosecha del recurso -que se puede interpretar como el cambio porcentual en el precio real del pescado desembarcado. Así, el consumir el recurso muy rápidamente puede disminuir la ganancia de capital que se obtendría por los incrementos en el precio que puedan ocurrir en el futuro.

La ecuación (3.12) indica que el producto marginal del recurso más el crecimiento marginal de la ganancia de capital debe igualar la tasa de descuento social. De esta forma si el valor del activo está creciendo más rápidamente que la tasa de descuento, se paga para dejar el activo en el mar, o sea, se invierte en el recurso pesquero. Por lo tanto, cuando se trata de recursos renovables, la explotación óptima en el tiempo busca alcanzar las ganancias de los aumentos de precios y del crecimiento natural del activo.

Se tienen dos reglas generales para los recursos renovables:

En el primer caso se debe invertir en el recurso permitiéndole crecer hasta alcanzar el nivel de biomasa óptimo (X*) y así, obtener las ganancias del capital.

En el segundo, se debe desinvertir en el recurso, es decir, extraer hasta que el stock se aproxime a X*.

Estas dos reglas generales corresponden a los controles bang-bang, presentados en el modelo dinámico simple.

3.3.2 La Regla para los Recursos Renovables cuando cambian los precios y los costos

En este modelo se sigue suponiendo que el precio y los costos de la pesca son lineales con respecto al nivel de captura y estarán sujetos a cambios continuos en el rango de tiempo
, es decir, las sendas temporales futuras del precio y de los costos se conocen por completo.

Al hecho de que el precio dependa del tiempo se agrega que la función de costos totales sea del tipo:

C(X,t) = (t) C(X(t))

Donde (t) " 0 es un coeficiente variable que nos permite tomar en cuenta los cambios en la función de costos.

La regla de óptima de explotación del recurso natural se transforma en:

(3.13)

Si se supone que existe una solución única de X* en cada punto del tiempo, entonces X*(t) puede representar el comienzo de una senda temporal óptima para el stock de biomasa.

El nuevo elemento que aparece en el lado derecho de la ecuación (3.13),
, representa el cambio porcentual instantáneo en el precio de oferta del capital. Esta expresión permitirá capturar -por ejemplo-, si se espera que el precio de oferta del capital suba debido a un incremento esperado en el precio del pescado o a una caída exógena esperada en los costos de pesca, o de ambos factores simultáneamente. El efecto de anticipar el incremento inmediato en el precio de oferta, llevará a un incremento en el nivel del stock óptimo en el período t, ya que se reducirá la tasa de extracción del recurso en el período presente para obtener mayores beneficios con las mayores extracciones que se realicen en el futuro.

Esta nueva regla de manejo del recurso renovable es miope en el sentido en que es independiente del pasado y del futuro, excepto en la medida en que uno pueda anticipar el cambio inmediato en el precio de oferta del capital. Luego, los requerimientos de información impuestas por la regla anterior son limitados. No obstante el hecho que los precios y los costos puedan estar fluctuando estacionariamente en el tiempo implica que la única información requerida para determinar el stock óptimo son el producto marginal, el precio del pescado y los costos en el período t más las tasas de cambio instantáneas de p(t) y C(t).

La regla miope funciona mientras las restricciones sobre la variable de control no se vuelvan limitantes. Esto significa que los ajustes en el nivel de stock óptimo provocados por los cambios en el precio de oferta no son significativos como para llevar las capturas instantáneamente de un nivel cero a un nivel máximo. Si por el contrario las restricciones se vuelven limitantes, entonces el nivel del stock X(t) está temporalmente forzado a estar fuera de la senda singular X*(t).

Para ver como funciona la regla miope, consideremos el efecto de un gran incremento discreto en el precio de oferta del capital ocurrido en el período T. Se supone que el precio se mantiene constante antes y después de ese período. Idealmente el stock de biomasa debería aumentar al máximo biológico, X = XMáx, en el instante antes de T cuando
y luego debe reducirse inmediatamente a
en el período T.

Esto es imposible, porque el nivel de capturas no puede ser reducido por debajo de cero, ni incrementado por encima del nivel máximo. Es decir, las restricciones sobre la variable de control se vuelven limitantes.

Si el nivel de biomasa en el período en que se produce el cambio es mayor que el nivel óptimo,
, entonces en algún punto del tiempo t1 < T, la pesca debe reducirse para permitir que el nivel de stock se incremente. El período de tiempo t1 " t " T corresponde a un intervalo cerrado, ya que se está forzado a estar fuera de la senda singular, y es la única forma que permite alcanzar el nivel de biomasa necesario para aprovechar el cambio en el precio. En el tiempo T, el nivel de captura no puede ser reducido instantáneamente a
-corresponde al nuevo nivel óptimo de la biomasa-, luego, se debe pescar a la tasa máxima hasta que
se alcance en algún punto t2 > T. Así, el período T " t " t2 constituye el segundo intervalo cerrado.

Gráficamente tenemos:

Gráfico 3.11

Senda Temporal Óptima

Por lo tanto, mientras más lejano esté t1 del origen, menor será el período de sacrificio durante el cual la sociedad prohibe la pesca. En el extremo en el que t1 = T, no habrá período de sacrificio. Además, mientras más lejano esté t1 de T, menor será X(T) y menor el beneficio derivado de la pesca a mayor precio de oferta.

3.4 Estrategia de Inversión Óptima

Los modelos desarrollados hasta el momento no hacen alusión alguna al capital físico necesario para desarrollar las actividades en la industria pesquera. Esta es una limitación al momento de determinar la tasa de explotación óptima del recurso, sobre todo cuando inversiones como las embarcaciones y aparejos son específicas a la actividad.

Debemos agregar que al no incorporar la inversión en capital hecho por el hombre dejamos fuera la depreciación que sufren estos activos, con lo que la tasa de inversión en el recurso natural ya no es la simple regla que se determinó en las páginas anteriores.

La siguiente figura muestra los elementos de una pesquería cuando se incorpora la inversión en capital físico hecho por el hombre.

Gráfico 3.12

Estructura de una Pesquería

Fuente: Clark, C. (1987: 76)

En el caso de la pesquería, la inversión inicial en capital -naves, instalaciones portuarias, plantas de procesamiento, maquinarias, por ejemplo- se puede recuperar a través de los ingresos generados por la pesca, que dependen de las capturas y capacidad de procesamiento. Al incorporar los elementos anteriores, la regla fundamental de recursos naturales renovables se modifica, tal como se desprende del siguiente modelo:

Los participantes de la pesquería buscan determinar la estrategia de inversión, I(t), junto con la estrategia de esfuerzo, E(t), de forma de maximizar el valor presente del beneficio neto. En términos dinámicos se trata de:

donde: cf denota el costo unitario de la inversión.

Las restricciones a las que está sujeta esta maximización son:

La primera ecuación es la restricción biológica y representa el comportamiento dinámico de la biomasa.

La condición (ii) define los límites entre los cuales es posible ejercer esfuerzo pesquero. Sin esfuerzo pesquero este es cero, pero el máximo esfuerzo que se puede ejercer en la actividad está limitado por la capacidad pesquera, K(t), existente en el momento t.

La tercera ecuación, muestra la evolución dinámica de la capacidad pesquera K(t), la cual se incrementa por la tasa de inversión I(t) y se reduce a una tasa de depreciación constante  " 0.

Los niveles iniciales de X(t) y K(t) son conocidos e iguales a:

X(0) = X0

K(0) = K0

En este modelo se tienen dos variables de estado, X(t) y K(t), y dos variables de control, E(t) e I(t).

Para encontrar la solución del problema de optimización seguiremos los pasos indicados por Conrad, J. et al. (1987).

El análisis parte con la pregunta, ¿Qué restricciones pueden ser impuestas a la inversión, I(t)?

Si la inversión es específica al sector, suponemos que I(t) " 0, donde no es fácil definir el límite superior de ella, con lo que se puede permitir que I(t) sea arbitrariamente alta y, en el extremo, infinita. El último caso representaría un salto instantáneo en la capacidad, K(t).

Observemos que este problema de optimización es lineal en ambas variables de control, además las soluciones singulares dependen de E(t) e I(t), por lo que los cálculos se simplifican si se reescribe la función que refleja el esfuerzo pesquero:

Ahora las variables de control son: (t) e I(t).

Así el respectivo Hamiltoniano se expresa como sigue:

donde: (t) y (t) son las variables de co-estado.

Agrupando términos:

Para encontrar la regla de explotación del recurso natural renovable -cuando existe inversión- se analiza lo que ocurre con las variables de control singular, expresiones que se encuentran dentro de los paréntesis de llave.

Se estudian cinco casos: (i) (t) singular, (ii) (t) e I(t) ambas singulares, (iii) (t) singular, I(t) " 0, (iv) singular I(t), (t) " 0 y finalmente, (v) I(t) singular, (t) " 1.

Caso i: (t) singular

Al aplicar las condiciones del máximo:

(a)

(b)

Al despejar :

Este mismo resultado se puede obtener igualando a cero el primer paréntesis de llave del Hamiltoniano.

Para cumplir con las condiciones del máximo se deriva la expresión anterior respecto del tiempo, resultando:

Pero el segundo componente del lado derecho de la ecuación es la restricción biológica, que en condiciones de extracciones sustentables es igual a cero, resultando:

(A)

Al reemplazar el valor de (t), en el desarrollo de la condición (a) del máximo:

(B)

Igualando las expresiones (A) y (B) y simplificando, resulta:

De las restricciones se sabe que
y cuando la extracción es sustentable
, con lo que
.

Entonces,

Corresponde a la ecuación (3.11) obtenida en las secciones previas.

Que es la solución para X*1 cuando en el modelo no se incorpora la inversión en capital físico.

Caso ii: (t) e I(t) ambas singulares

Las condiciones del máximo son:

(a)

(b)

Al despejar :

Este mismo resultado se puede obtener igualando a cero el segundo paréntesis de llave del Hamiltoniano.

Al derivar respecto del tiempo:

(C)

Al reemplazar los valores de (t) y (t) en la primera condición del máximo de este caso queda:

(D)

Al igualar (C) con (D) y simplificar:

pero
y
, lo que nos lleva a una contradicción.

Por lo tanto ambos, (t) e I(t) no pueden simultáneamente ser cero.

Caso iii: (t) singular, I(t) " 0

El Hamiltoniano queda como:

Las condiciones del máximo son las mismas que en el caso i, por lo que X(t) = X*1. A diferencia del caso i, en el caso iii el resultado obtenido es un equilibrio temporal.

Con I(t)"0, tenemos
, tal que la capacidad de captura puede declinar eventualmente bajo el nivel requerido para la captura de rendimiento sustentable, F(X*1).

Caso iv: I(t) singular, (t) " 0

El Hamiltoniano queda como:

Las condiciones del máximo son:

(a)

(b)

Este mismo resultado se puede obtener igualando a cero el segundo paréntesis de llave del Hamiltoniano. Al despejar :

Al derivar respecto del tiempo:

(E)

Al reemplazar el valor de  en la primera condición del máximo de este caso:

(F)

De igualar (E) con (F) nuevamente encontramos la contradicción:
, por lo que deja este caso fuera del análisis.

Caso v: I(t) singular, (t) " 1

El Hamiltoniano respectivo es:

Las condiciones del máximo son:

(a)

(b)

Despejando :

Al derivar respecto del tiempo:

(G)

Reemplazando el valor  en la primera condición del máximo en este caso:

(H)

Igualando las ecuaciones (G) y (H), simplificando y despejando  obtenemos:

Derivando respecto al tiempo:

(I)

La otra condición del máximo es:

(c)

al reemplazar el valor de :

Al igualar las expresiones (I) y (J), y despejar la tasa de descuento social (
) queda:

Sabemos que cuando las extracciones se realizan de una forma sustentable:

F(X)= qXK

luego:

.

Sea: c1 = c + cf ( + ).

(3.14)

Esta es la regla de explotación de los recursos naturales renovables cuando se incorpora la inversión y define un stock de biomasa óptimo X*2. Como cf > 0 se tiene que X*2 > X*1.

Se han identificado dos soluciones singulares particulares X*2 y X*1; todas las que permiten conformar la senda de aproximación óptima usando los controles bang-bang  = 0 ó 1; I = 0 ó + ".

Nótese que la fórmula para X*1 involucra sólo la variable de costos de extracción, c, mientras X*2 involucra c1 = c + cf ( + ), el cual incluye la tasa de descuento social y la tasa de depreciación del capital. Ambas soluciones particulares dependen del nivel actual de la capacidad de pesca.

Si la capacidad actual es tan grande que no haya razón para incrementarla, entonces los costos fijos son irrelevantes, y X*1 es el nivel de stock óptimo. Pero si la capacidad actual es pequeña y la inversión adicional es necesaria, entonces los costos, c1, son relevantes para tomar decisiones, y X*2 es el nivel de stock óptimo. Claramente, la inversión puede ocurrir sólo si X"X*2. Sin embargo, el nivel de capital invertido K puede ser más grande o igual a
que es el nivel óptimo de capacidad pesquera. O sea, se requiere de una menor captura para alcanzar el rendimiento sustentable en X*2.

De lo expuesto en los párrafos anteriores se obtiene la regla de inversión:

Se debe invertir algún nivel de capacidad pesquera, K = K(X) " K*2, sólo si el nivel de biomasa actual es superior al nivel óptimo, X " X*2.

Aplicación 3.4

Suponga que el nivel de stock inicial X0 es mucho más grande que X*2; entonces se puede esperar que K(X0) puede ser más grande que K*2. El resultado puede ser una aparente sobrecapacidad inicial; sin embargo, esta puede eventualmente depreciarse -a menos que  = 0.

Una vez que la inversión inicial es realizada, X*1 alcanza el nivel objetivo; y una senda más rápida de aproximación se logra, E(t) " K(t) a menos que X(t) se reduzca a X*1.

Se presentan dos casos:

• Si K0 es pequeño, X(t) nunca puede alcanzar a X*1,

• Si K0 es grande, X(t) puede alcanzar X*1 y permanecer ahí temporalmente -a menos que  = 0.

La secuencia completa de inversión y explotación se muestra en el gráfico siguiente.

Gráfico 3.13

Secuencias Óptimas de Inversión y Esfuerzo para dos valores iniciales de stock, X0

Al considerar el mayor valor de X0, se pueden identificar seis fases:

La inversión inicial se incrementa sobre K0 = K(X0)

Se usa toda la capacidad E(t) = K(t) para reducir el stock a X*1 -la senda más rápida de aproximación-; mientras K(t) se deprecia a una tasa 

Se alcanza la solución singular X*1; E(t) = E*1 < K(t), tal que la capacidad es temporalmente excesiva

La capacidad no es excesiva; se usa toda la capacidad, pero el stock comienza a restablecerse

El stock alcanza X*2; inversión adicional efectuada permite alcanzar K*2

Equilibrio de largo plazo X = X*2; K = K*2; E = K*2; I =  K*2 -la inversión cubre la depreciación.

El gráfico anterior también indica la política óptima cuando ocurre que X0 < X*2; por ejemplo, declarar las 200 millas en t = 0 y el stock está inicialmente en un estado de agotamiento.

Si X*1 < X0 < X*2 se sigue la misma política, utilizando cualquier capacidad existente -a menos que X caiga a X*1- hasta alcanzar el equilibrio en X*2.

Para una severa reducción en el stock, X0 < X*1, las pesquerías no pueden capturar hasta que X(t) haya recuperado el nivel X*1.

El gráfico 3.13, representa un diagrama de retroalimentación que controla, específicamente las políticas óptimas de esfuerzo e inversión pesquera como funciones de las variables de estado: biomasa y capacidad.

Las reglas en las tres regiones son:

En la Región 1 invertir -instantáneamente- hasta K(X0)

En la Región 2 usar toda la capacidad E = K pero no invertir

En la Región 3 usar E = I = 0

Referencias Bibliográficas

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Existe traducción de este artículo por Rosa Morales en Barrantes, Roxana (editora) (1997) Hacia un nuevo dorado. Economía de los Recursos Naturales, Consorcio de Investigación Económica, Lima Perú.

Conrad, Jon M. y Clark, Colin W. (1987) Natural Resource Economic. Notes and Problems. Capítulo 1: Resource Allocation and Optimization y Capítulo 2: Renewable resources. Cambridge University Press.

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Pearce, David y Turner, Kerry (1990) Economics of Natural Resources and the Environment, capítulos 16-17, The Johns Hopkins University Press.

Reed, William J. (1994) Teoría del Control Óptimo, capítulo 5 en Azqueta, Diego y Ferreiro, Antonio (editores) Análisis Económico y Gestión de Recursos Naturales, Alianza Económica, Madrid.

Silberberg, Eugene (1990) The Structure of Economics. A Mathematicla Analysis. Segunda edición. Capítulo 18: Resource Allocation over time: Optimal Control Theory. Mc Graw-Hill, Inc.

Varela, Manuel M. y Surís R., Juan C. (1994) Modelo de Explotación de Recursos Pesqueros, capítulo 10 en Azqueta, Diego y Ferreiro, Antonio (editores) Análisis Económico y Gestión de Recursos Naturales, Alianza Económica, Madrid.

Traducción de Rosa Morales en Barrantes, R. (1997).

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Esta sección se basa en Azqueta, D. et al. (1994) capítulo 5.

También recibe el nombre de variable auxiliar.

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Mathematical Bioeconomics: the optimal Management of Renewable Resources, Wiley, New York.

Este supuesto y que el costo de extracción dependa linealmente del esfuerzo, definen que este problema de control óptimo se resuelva linealmente.

En economía esta regla también recibe el nombre de Regla de Oro de la Acumulación de Capital. Este nombre de regla de oro proviene de la regla de oro bíblica que dice: “tratad a los hombres como queráis ser tratados por ellos, aplicada entre generaciones”. También se llama regla de interés biológico, porque iguala la tasa neta de rendimiento del capital a la tasa exógena de crecimiento de la fuerza de trabajo, determinada por consideraciones biológicas, Argandoña, A. et al. (1997) Macroeconomía Avanzada II: 286.

Dado el supuesto de linealidad de los costos totales, el costo medio es igual al costo marginal. Por eso al multiplicar el costo medio con el nivel de capturas obtenemos el costo total.

Una ecuación de segundo grado del tipo: a X2 + b X + c = 0, se resuelve por medio de la ecuación cuadrática,

Las implicancias de la tasa de descuento en la conservación de los recursos y del medio ambiente, se encuentra en Fisher, A. et al. (1975) Resource Conservation, Environmental Preservation, and the Rate of Discount. The Quarterly Journal of Economics, Vol. LXXXIX, N° 3, agosto: 358-392.

Mathematical Bioeconomics: the Optimal Management of renewable Resources. Wiley, New York.

Esta sección se basa en el capítulo 17 de Pearce, D. et al. (1990).

Esta sección se basa en el trabajo de Clark, C. et al. (1982) y Pearce, D. et al. (1990: 257-258)

Esta sección se basa en la presentación que Conrad, J. et al. (1987: 81-87) realiza sobre el tema. Se debe precisar que el modelo originalmente fue desarrollado por Clark, C.; Clarke, F.H. y Munro, G.R. (1979) The Optimal Exploitation of Renewable Resource Stocks: Problems of Irreversible Investment. Ecometrica 47: 25-49.

Sabemos que:
, para 0 " E " K. Cuando E = K, resulta: