ESTUDIO DEL CONTROL DE CEROS EN BIQUADS REALIZADOS CON AMPLIFICADORES OPERACIONALES:

En el desarrollo de este estudio, vamos a analizar los dos tipos de realización de transmisión de ceros, pudiendo ver con estas técnicas como en un circuito cambiar de un tipo de filtro a otro.

Primeramente, vamos a analizar la forma de una función de transferencia de un filtro, que puede ser escrita como el cociente de dos polinomios de la forma:

El grado del denominador N es el orden del filtro. Para ser estable, M"N. El polinomio puede ser factorizado, y T(s) puede ser expresado en la forma:

Las raíces del numerador z1, z2,..., zM son los ceros; y las del denominador p1, p2,..., pN son los polos (o modos naturales)

Para un filtro de segundo orden, la ecuación general es de la forma:

donde 0 y Q determinan los modos naturales (polos) acorde a

donde Q es llamado factor de calidad del polo o simplemente polo-Q, (0 /2Q) es la distancia de los polos del j-th eje y o, la frecuencia natural de la función. Según los valores de los ceros se pueden obtener diversos tipos de funciones de segundo orden:

1º) Paso bajo (LP):

Se obtiene cuando en ecuación general se toman a2 = a1 = 0, a0 = k02 (siendo k la ganancia). La función de transferencia es de la forma

Tiene un máximo o resonancia en la frecuencia

cuyo valor es

La gráfica se muestra en la figura

Para valores elevados del factor de calidad Q, valen las aproximaciones que siguen:

y

de modo que Q puede interpretarse como la relación entre el pico de resonancia y la ganancia en continua.

2º) Paso alto (HP):

Corresponde al caso en que en la ecuación general se toma a1 = a0 = 0, a2 = k. La función de transferencia es, ahora,

En este caso la resonancia se produce en

y alcanza el mismo valor que en el caso del paso bajo. Valen las mismas aproximaciones que para el LP, con una interpretación similar. En la figura siguiente se muestra la posición de los ceros y polo, además de su correspondiente respuesta frecuencial.

3º) Paso banda (BP)

Se obtiene cuando a2 = a0 = 0, a1 = ko/Q. La función de transferencia es

En este caso la resonancia se da exactamente en

r = 0

y su amplitud es

|T(s)| = k

En la figura siguiente se muestra la posición de los ceros y polo, además de su correspondiente respuesta en frecuencia. Puede observarse que las asíntotas se cruzan en la frecuencia angular o.

Una interpretación interesante es que si se toma Amáx = 3 dB, entonces el ancho de banda relativo vale

Esto muestra que con un BP de segundo orden pueden obtenerse anchos de banda relativos tan estrechos como se desee (al menos idealmente). Esto no equivale, sin embargo, a que este filtro sea muy selectivo. En efecto, T(s) puede interpretarse como el resultado de aplicar la transformación

al LP de primer orden normalizado

y como ya se vio, fijados Amín y Amáx, la selectividad de T(s) coincide con la de este LP, que es baja por ser de primer orden.

4º) Rechaza banda:

Resulta al tomar a1 = 0, a2 = k, a0 = k02. Su función de transferencia es

En forma análoga al BP, este filtro se puede obtener mediante la transformación de frecuencia

aplicada al LP de primer orden

Puede concluirse, también, que el ancho de banda relativo es

B = l/Q.

Este filtro tiene la particularidad de tener polos de pérdida ubicados en ±jo, de modo que la frecuencia angular o se elimina por completo.

En la figura siguiente se puede observar la respuesta en frecuencia del rechazabanda bicuadrático.

Es interesante, asimismo, observar que

T(s) = 1-TBP(s).

Esta ecuación simplifica la obtención de los polos de pérdida finitos no nulos en la práctica, que de otro modo serían difíciles de lograr. La técnica, ilustrada en el diagrama de bloques de la figura siguiente, es un caso particular de conexión feedforward.

5º) Funciones “muesca” (notch):

Son similares a las funciones rechaza banda, sólo que las frecuencias naturales del numerador y el denominador son diferentes. Resulta al tomar a1=0, a2 =k02/n2, a0 =k02. Su función de transferencia es de la forma

La función rechaza banda es un caso particular cuando n = o. Este tipo de funciones presenta un polo de pérdida en la frecuencia angular r y tiene un pico de resonancia en

cuyo valor es

Si Q es alto, es decir, 1 / (2Q2) << 1, entonces

r "o

y

T(jr) = | 1- (o / n)2| Q

Si, en cambio, Q es bajo, puede no existir resonancia si o y n no difieren suficientemente.

En la figura siguiente se muestra la posición de los ceros y polo, además de su correspondiente respuesta en frecuencia

Además del caso particular del rechaza banda, hay dos tipos de funciones notch, que se comentan a continuación.

a) Paso bajo Notch (LPN)

Se tiene para o < n. A diferencia del LP ordinario, no tiene polos de pérdida en ". Ello se debe a que dichos polos se han trasladado a ±jn. Dado que el mayor provecho de los notch se tiene cuando o y n no difieren mucho, se ve que la atenuación en  = " no es muy alta. Si se requiere mayor atenuación se debe aumentar el orden.

En la figura de más abajo se da un ejemplo de un pasa bajo notch bicuadrático.

b) Paso alto Notch (HPN)

Se verifica para n < o. Rescribiendo el numerador como

(s2 + n2) / o2

(es decir, multiplicando HN(s) por la constante n2 / o2) se logra que para alta frecuencia la ganancia sea l. Análogamente al LPN, los polos de pérdida en 0 se han trasladado a ±jn y, por lo tanto, la atenuación en 0 no es muy alta.

Las funciones notch en general forman parte de filtros de mayor orden que requieren polos de pérdida finitos y no nulos en la banda de atenuación, como en las aproximaciones de Cauer (filtros elípticos).

6º) Funciones Paso todo (AP):

Se obtienen cuando se adoptan a0 = k02, a1 = -ko/Q, a2 = k. Se caracterizan por tener sus ceros (polos de pérdida) ubicados en el plano real positivo, simétricamente a los polos:

Como resultado de ello se tiene

|T( j)| = 1

para todo .

Estas funciones se utilizan como correctores de fase. Se tiene

La aparente discontinuidad en  = o surge de que la arco tangente representa el argumento sólo si éste está comprendido entre -/2 y /2. Dicho inconveniente se supera considerando el retardo de grupo:

ya que todas las ramas de la arcotangente (considerada como función multivaluada) tienen la misma derivada.

El retardo de grupo () tiene un máximo en

Para Q elevado, valen las siguientes aproximaciones:

M"o

Puede observarse que el pico es 2Q2 veces mayor que el retardo en baja frecuencia (ver figura siguiente), lo cual significa un salto bastante brusco en la fase en la región de transición, para Q elevado. Cuando es infinito, el retardo de grupo es impulsivo, y la fase tiene un salto de 2 en o que puede considerarse como inexistente ya que equivale a un salto de 0. Esto es lógico, ya que en ese caso desaparece el término central y la función de transferencia es idénticamente igual a l.

En la figura siguiente se muestra la posición de los ceros y polo, además de su correspondiente respuesta en frecuencia

FILTRO BIQUAD:

Antes de empezar con los ceros de transmisión voy a comentar brevemente el filtro biquad. Se llama filtro biquad a los filtros de segundo orden, aunque se suele llamar así al también denominado filtro resonador o filtro de Tow-Thomas. Este filtro consiste en dos integradores, uno con perdidas y otro sin ellas, y un amplificador de ganancia unidad, aunque se pueden hacer otras combinaciones.

Realizando un análisis como el realizado en clase nos salen las funciones retransferencia:

REALIZACIÓN DE TRANSMISIÓN ARBITRARIA DE CEROS

El KHN biquad (filtro de variables de estado) realiza las funciones de paso bajo, paso alto y paso banda, mientras el Thomas y el Ackerberg-Mossberg biquads realizan las funciones de paso banda y paso bajo. Estos tres tipos de filtros son aceptados en la práctica y son muy utilizados, pero tienen el problema de que cada uno esta limitado a las funciones especificadas anteriormente. Los circuitos están de hecho demasiado limitados para ser útiles en muchas aplicaciones prácticas que requieren la realización de ceros de transmisión en cualquier parte en el plano-s. Lo que se requiere es una función de segundo-orden para realizar la función del bicuadrático.

Nos gustaría deducir biquads basados en los buenos circuitos de filtro nombrados previamente sin destruir sus excelentes propiedades. Debido a que estas propiedades dependen de los polos, esto implica que nosotros debemos poder generar el numerador, por ejemplo, los ceros de transmisión, sin cambiar las posiciones de los polos de los circuitos. El numerador es determinado por el nodo de la salida que nosotros escogemos en el filtro. Vimos un ejemplo en el biquad de la página anterior dónde un paso banda y un invertido y no invertido paso bajo están disponibles en las salidas de los diferentes nodos. También, el numerador depende de la situación de la entrada es decir los ceros de transmisión dependen en dónde en el circuito y a través de que componentes nosotros conectamos la señal de entrada. Es nuestra meta mostrar cómo los ceros de la transmisión arbitrarios y, por consiguiente, unos filtros más versátiles pueden generarse fuera de las estructuras discutidas anteriormente sin afectar sus polos. Emplearemos dos métodos generalmente útiles para lograr esta tarea. La primera técnica usa la suma de las diferentes salidas del filtro. El segundo método inyecta la señal de entrada en los nodos apropiados y por eso genera los numeradores del segundo-orden enteros en las secciones del segundo-orden.

Estos métodos son el método de la suma y el método feedforward respectivamente.

1º) POR MÉTODO DE LA SUMA

El método de la suma es bastante popular, especialmente con el KHN biquad. Consiste en formar la suma pesada de las salidas paso bajo, paso alto y paso banda usando un cuarto amplificador sumador. Esta técnica esta ilustrada en la siguiente figura. Se han deducido formulas para los valores de las resistencias según el método de la suma para el Thomas el biquad.

El desarrollo de este método de la suma es el siguiente:

1ª Parte (sumador-restador):

Calculamos las tensiones V- y V+ y seguidamente las igualamos:

Con lo que:

2ª Parte (integrador):

Tenemos dos integradores en el circuito. Igualamos las intensidades en el punto de tierra virtual:

y en el otro

Aplicamos la transformada de Laplance a las ecuaciones anteriores:

y en el otro

3ª Parte (sumador):

Igualamos las intensidades en el punto de tierra virtual:

Operando:

Una vez que tenemos todo esto, saco primeramente el valor de VHP/VS:

llamando
, resulta la función de transferencia:

Una vez que tengo esta ecuación la uso para hallar la relación entre Vout/VS:

De esta ecuación, es fácil encontrar los valores de R1, R2 y R3 para realizar los ceros de transmisión dados. Para las funciones del filtro especiales, estos valores son los siguientes:

LP:
R2= " R3= "

BP: R1= "
R3= "

HP: R1= " R2= "

Muesca (cualquier clase):
R2= "

Paso-Todo:

2º) POR MÉTODO FEEDFORWARD

El método feedforward utiliza las tierras virtuales disponibles como nodos de suma y de esta manera no requiere ningún amplificador adicional. En lo siguiente, nosotros desarrollaremos las ecuaciones del diseño para el Thomas biquad con el feedforward. Unas ec. similares pueden desarrollarse para el Ackerberg-Mossberg biquad y se hará al final.

En la figura siguiente se muestra el Thomas biquad con el orden del inversor y el segundo integrador intercambiado, y con la señal de entrada Vi aplicada a las tres tierras virtuales a través de las resistencias de alimentación de entrada R1, R2 y R3. Como debe esperarse, los valores de las resistencias de alimentación de entrada determinarán la situación del par de ceros. Nota que todos los otros componentes del circuito tienen los mismos valores de antes. En particular, las constantes de tiempo de los dos integradores son iguales, una característica deseable para la sensibilidad mínima.

Vamos A destripar el circuito dividiéndolo en tres partes:

1ª Parte (integrador con pérdidas):

Igualamos las intensidades en el punto de tierra virtual:

Aplicamos la transformada de Laplance a la ecuación anterior:

Operando:

2ª Parte (sumador):

Igualamos las intensidades en el punto de tierra virtual:

Operando:

3ª Parte (integrador-sumador):

Igualamos las intensidades en el punto de tierra virtual:

Aplicamos la transformada de Laplance a la ecuación anterior:

Operando:

Una vez que tenemos todo esto, operamos las tres ecuaciones resultantes:

Si juntamos las dos ecuaciones dejando como incógnitas Vout2 y VS:

llamando
, resulta la función de transferencia:

De esta ecuación, es fácil encontrar los valores de R1, R2 y R3 para realizar los ceros de transmisión dados. Para las funciones del filtro especiales, estos valores son los siguientes:

LP: R1= " R2= "

BP:
R2= " R3= "

HP:

R3= "

Muesca (cualquier clase):

Paso-Todo:

Nota que K es una constante multiplicadora que puede ser elegida acorde con la ganancia requerida.

Una desventaja de este esquema feedforward es que se realizan las muescas a través de las substracciones señaladas, y por lo tanto requerimos estrechas tolerancias de los componentes. Una modificación de la disposición del feedforward, que salva este problema a través del uso de un condensador adicional, es mostrada en la figura siguiente:

Finalmente, debemos mencionar que el KHM biquad a sido modificado para obtener la compensación activa para el Q-mejorado.

FILTRO ACKERBERG-MOSSBERG

Para finalizar vamos a ver estos métodos con otro filtro, el filtro Ackerberg-Mossberg. Aplicando el método de la suma tenemos:

Vamos a ir analizando el circuito por partes. Tenemos un integrador con perdidas primero, después un integrador no inventor y por ultimo el sumador que hemos puesto para realizar este método de transmisión de ceros.

En el caso del integrador con perdidas, tenemos la siguiente función de transferencia:

Para el integrador no inversor tenemos la función de transferencia:

Con estas dos ecuaciones nos salen las siguientes funciones de transferencia:

y si pongo R=RA y llamo , entonces:

si sustituyo la ec. Del integrador no inversor:

Ahora calculo la ecuación del sumador:

y sustituyendo las ecuaciones sacadas anteriormente:

Con lo que hemos obtenido una función de transferencia de segundo orden. Dando valores a las constantes “a, b, c y d” podemos formar los filtros vistos anteriormente: paso bajo, paso alto, paso banda, muesca o paso todo. Por ejemplo, para paso alto tendremos

Por ultimo, vamos a ver el método de feedforward para este filtro:

Vamos a ir analizando el circuito por partes. Igualo intensidades en los puntos 1, 3 y4.

si pongo R=R5=RA y si llamo
, entonces:

y operando las ecuaciones sacadas anteriormente:

Con lo que hemos obtenido una función de transferencia de segundo orden. Dando valores a las constantes “a, b, c y k” podemos formar los filtros vistos anteriormente: paso bajo, paso alto, paso banda, muesca o paso todo. Por ejemplo, para paso alto tendremos que b=c=k=0.

CONCLUSIÓN

Como hemos podido ver a lo largo de todo este desarrollo, existen diversas formas de conseguir que un filtro que realice solamente alguno de los tipos de filtros, pueda convertirse en otro filtro que pueda realizar cualquier tipo de filtro, con lo que será mucho más versátil y útil.