Si la masa efectiva de un electrón es el doble de la de un hueco, calcular la distancia ( en electrón voltios) del nivel de Fermi en un semiconductor intrínseco del centro de la banda prohibida, a la temperatura ambiente.

En un semiconductor a bajas temperaturas la banda de valencia se encuentra completamente llena y la de conducción vacía. El tamaño de la banda de energía prohibida es muy pequeño, y por eso, a temperatura ambiente algunos electrones adquieren energía térmica suficiente para abandonar la banda de valencia e ir a la banda de conducción.

En un semiconductor intrínseco por cada electrón que deja la banda de valencia y salta a la banda de conducción, se forma un hueco en la banda de valencia. Por eso, la concentración de electrones en la banda de conducción n, coincide con la de huecos en la capa de valencia p.

La n viene expresada por la siguiente integral:

n = "Ec N(E) f(E) dE

como f(E) = e[-(E-Ef)/KT)] n = "Ec g ( E - Ec)1/2 e -( E - Ef ) / KT dE

n = Nc e -(Ec - Ef ) / KT

Y la p por:

p = "-" g ( Ev - E)1/2 e -(Ef - E) / KT dE

p = Nv e -(Ef - Ev ) / KT

donde Ev es la energía del último nivel de la capa de valencia.

Ef la energía del nivel de Fermi.

Ec la energía del primer nivel de la capa de conducción.

Si igualamos la concentración de electrones en la capa de conducción con la de huecos en la capa de valencia, tenemos:

n = p

Nc e -(Ec - Ef ) / KT = Nv e -(Ef - Ev ) / KT

Nc = e -(Ef - Ev ) / KT

Nv e -(Ec - Ef ) / KT

Ln Nc = Ln(e) ( Ev + Ec - Ef)

Nv KT

Despejamos Ef, y obtenemos:

Ef = Ev +Ec - KT Ln (Nc/Nv)

2

Si Nc = 4'82x1021 (mn / m)3/2 T3/2

Nv = 4'82x1021 (mp / m)3/2 T3/2

Si tenemos en cuenta que mn = 2mp

Ef = Ev +Ec - KT Ln 4'82x1021( 2mp/m)3/2 T 3/2

2 2 4'82x1021( mp/m)3/2 T 3/2

Ef = Ev + Ec - KT Ln 23/2

2 2

El sumando Ev +Ec representa la mitad dela banda de energía prohibida.

2

Y el sumando - KT Ln(2)3/2 indica la distancia entre el nivel de Fermi y el centro de la banda 2 prohibida. Si el sumando es positivo indica que esta por encima de la mitad de la banda de energía prohibida, y si es negativo , por debajo.

• D = -KT Ln (2)3/2

2

K: cte. de Boltzman D = -( 8'62x10-5ev/k)(300K)(Ln 23/2)

T: temperatura en Kelvin 2

D = - 0'01344eV.

Es decir, la distancia entre el nivel de Fermi en un semiconductor intrínseco y el centro de la banda de energía prohibida es de 0'01344 eV hacia abajo. La situación sería:

__________

__________

Banda de conducción.

Banda de energía prohibida

Banda de valencia.

2. Calcular la resistividad del germanio intrínseco a 300K.

La conductividad eléctrica d, es la magnitud que nos mide la facilidad de corriente eléctrica para atravesar una unidad de volumen de un material. Y viene dada por la expresión :

d = (n mn + p mp) q

La conductividad es la inversa de la resistividad r. r = 1/d

En un semiconductor intrínseco la concentración de electrones en la capa de conducción, es la misma de la de huecos en la capa de valencia. Por lo que, si n = p = ni

r = [ni q ( mn + mp ) ]-1

r = [ (2'5x 1013)(1'62x10-19)(3 800 + 1 800)]-1

r = 44  cm

Es decir, la resistividad del germanio intrínseco a 300 K es de 44  cm.

Calcular la resistividad del germanio a 300K si se añade una impureza donadora en la proporción de un gramo por 108 átomos.

La concentración de electrones en la capa de conducción, y la de huecos en la de valencia nos son relacionadas por :

La ley de acción de masas. n p = ni2

La ley de neutralidad. Nd + p = Na + n

donde Nd son las cargas positivas por m3 de iones donadores.

Na son las cargas fijas negativas por m3 de iones aceptores.

n la concentración de electrones en la capa de conducción.

p la concentración de los huecos en la banda de valencia.

Como estamos en el caso de un semiconductor extrínseco del tipo-n. La situación gráfica será :

__________

__________

Banda de conducción.

Banda de energía prohibida

Banda de valencia.

Si el semiconductor es tipo-n, Na=0 ya que las impurezas son donadoras no aceptoras. Y como en un semiconductor donador el número de electrones en la capa de conducción n, es mucho mayor que la concentración de huecos en la banda de valencia p. Por lo que, p<<n y de este modo, la ley de neutralidad será :

Nd + p = Na + n

Nd = n

Sustituyendo en la ley de acción de masas la ecuación anterior, podemos hallar el valor de p:

n p = ni2

p = ni2/ n

Como n = Nd p = ni2/ Nd

Para encontrar Nd (átomos donadores por m3) llamamos X al número de átomos de germanio por m3 :

X= 6'023x1023 x 1 mol x 5'33gramos

1 mol 72'60g 1 m3

X= 4'42x1022 átomos/m3.

Si por cada 108 átomos de germanio hay un átomo donador :

Nd = 4'42x1022atomos de Ge x 1 átomo donador

1 m3 108 átomos de Ge

Nd = 4'42x1013 átomos donadores por m3

Nd = 4'42x1019 átomos donadores por cm3

Como la resistividad viene dada por :

r = [ (n mn + p mp) q] -1

Como n = Nd y p = ni2/ Nd

r = 1 / [( 4'42x1019 ) (3 800) + ( 2'5x1013 )(1 800) ] x 1'62x10-19

r = 3'67 x 10-5  cm

Es decir, la resitividad del germanio entrínseco tipo-n a 300 K será 3'67x10-5  cm.

Determinar la concentración de electrones y huecos en una muestra de germanio a 300 K que tiene una concentración de átomos donadores igual a 2x1014 átomos/cm3 y una de aceptores de 3x1014 átomos/cm3.

La concentración de electrones en la capa de conducción, y la de huecos en la de valencia nos son relacionadas por :

La ley de acción de masas. n p = ni2

La ley de neutralidad. Nd + p = Na + n

donde Nd son las cargas positivas por m3 de iones donadores.

Na son las cargas fijas negativas por m3 de iones aceptores.

n la concentración de electrones en la capa de conducción.

p la concentración de los huecos en la banda de valencia.

Despejamos n en la primera ecuación, y sustituimos el valor de ni = 2'5x1013

n = 2'5x1013

p

Sustituimos el valor de n en función de p en la segunda ecuación, y teniendo en cuenta que Nd = 2x1014 y Na = 3x1014, tenemos:

2x1014 + p = 3x1014 + 2'5x1013

p

2x1014p + p2 = 3x1014 p + 2'5x1013

p2 - 1x1014p - 2'5x1013 = 0

P = 1x1014 P = 0

La solución P =0 no tiene interpretación física ya que implicaría que no hubiera huecos en la capa de valencia.

Por lo que la solución será : p = 1x1014

Y como n = ni2 /p n = 2'5x1013

1x1014

n= 0'25

Calcular la concentración de electrones y huecos en el germanio tipo-p a 300K si l a conductividad es 100 ( cm)-1.

Las sustancias aceptoras son elementos con tres electrones de valencia como el B, Al, Ga,…

Si introducimos una impureza trivalente en el semiconductor intrnseco, solamente podrn rellenarse tres enlaces covalentes, originndose huecos por no completarse el cuarto enlace. Tales impurezas dan origen a portadores positivos disponibles para la conduccin, puesto que crean huecos al aceptar electrones.

Cuando al semiconductor intrnseco se le agregan impurezas aceptoras aparece un nivel de energa aceptor por encima de la banda de valencia, en la zona prohibida. Es un nivel de energa discreto. Para que un electrn abandone la banda de valencia y ocupe el nivel de energa introducido por los aceptores, es necesaria una cantidad muy pequea de energa. Por eso el mayor nmero de portadores en el material semiconductor sern los huecos generados por estos electrones de la banda de valencia.

La situación sería:

__________

__________

Banda de conducción.

Banda de energía prohibida

Banda de valencia.

A una temperatura de 300K el germanio se comporta como un conductor. Al ser tipo-p su concentración de átomos donadores Nd=0.

Y como la concentración de electrones en la capa de conducción es mucho menor que el número de huecos en la capa de valencia, n << p.

Nd + p = Na + n

p = Na

Si utilizamos la ley de acción de masas, el valor de n será:

n p= ni2

n = ni2

p

n = ni2

Na

Sabemos que la conductividad es 100 ( cm)-1 . Y como la conductividad viene expresada por:

d = (n mn + p mp)q

Entonces:

d = [ (ni2)(3800) + (Na)(1800)] (1'62x10-19

Na

0 = 1 800Na2 - Na d + 3 800ni2

1'62x10-19

Na = 3'47x1017 Na = 3'8x109

La solución 3'8x109 no tiene interpretación física, ya que en semiconductores extrínsecos tipo-p n<<p.

p = 3'8x109

n = 1'64x1017

Por lo que, la concentración de huecos en la capa de valencia p, y la de electrones en la banda de conducción n es respectivamente:

p = 3'47x1017

n = 1'8x109

Una muestra de germanio se impurifica con 1014átomos donadores/cm3 y 7x1013 átomos aceptores/cm3. A la temperatura de la muestra la resistividad del germanio puro es 60  cm. Si se aplica un campo eléctrico de 2V/cm, calcular la densidad de corriente total de conducción.

La resistividad para semiconductores intrínsecos viene dada por:

r = 1 / (n mn + p mp)q

Como en un semiconductor intrínseco la concentración de electrones en la banda de conducción n, y la de huecos en la banda de valencia son iguales. n = p = ni

r = 1 / ( mn + mp)q ni

La ni depende dela temperatura a la que nos encontremos, y como conocemos todos los valores. Podemos encontrar el valor de ni a la temperatura de la muestra.

ni = 1 / ( mn + mp)q r

ni = 1 / (1'62x 10-19)(3800+1800) (60)

ni = 1'837x1014

Si se impurifica la muestra el valor no se altera porque la temperatura sigue constante, pero el valor de la concentración de electrones en la b. conducción y de huecos en la b. valencia varía.

Para obtener el valor d ella nuevas concentraciones planteamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que nos relacione ambas concentraciones.

Na + n = Nd + p

n p = ni2

1014 + n = 7x1013 + p (1)

n = (1'837x1014)2 (2)

p

Sustituimos (2) en (1) y tenemos que:

p2- 9'3x1014p - (1'837x1014)2 = 0

p = 9'65x1014 p = -3'5x1013

La solución negativa no tiene interpretación física, porque la concentración de huecos no puede tener un valor negativo.

Por lo que la concentración de huecos en la banda de valencia será:

p = 9'65x1014

Y la de electrones en la banda de conducción:

n =3'49x1013

La resistividad a la temperatura de la muestra del germanio extrínseco es:

r = 1 / (n mn + p mp)q

r = 1 / [(3'49x1013)(3800)+(1800)(9'65x1014)](1'62x10-19)

r = 3'30  cm

Como la densidad de corriente viene dada por la siguiente expresión:

J = E / d

Y E = 2 V/cm, la densidad de corriente será:

J = 2 V/cm / (3 `30  cm )

J = 0'60 A/cm2.

En una muestra de germanio tipo-n la concentración corresponde a 1 átomo por 108átomos de germanio. Suponer que la masa efectiva del electrón es igual a la mitad de su masa verdadera. A temperatura ambiente ¿a qué distancia del borde de la banda de conducción está el nivel de Fermi?

El número de átomos de Germanio es:

X = 6'023x1023 x 1 mol x 5'33gramos

1 mol 72'6g 1 cm3

X = 4'42x1022 átomos de Ge x 1 cm3

1 cm3 1x10-6m3

X = 4'42x1028átomos de Ge/m3

Como por cada 108átomos de germanio hay un átomo donador la concentración de Nd es:

Nd = 4'42x1028 átomos de Ge x 1 átomo donador

1 m3 108 át0mos de Ge

Nd = 4'42x1019 átomos donadores / m3.

Si las impurezas son donadoras, el material es semiconductor extrínseco tipo-n, y Na = 0, y p<<n. Por la ley de neutralidad:

Na + n = Nd + p

Nd = n

n = 4'42x1019

Otra forma de expresar la concentración de electrones en la capa de conducción es: n = "Ec N(E) f(E) dE

como f(E) = e[-(E-Ef)/KT)] n = "Ec g ( E - Ec)1/2 e -( E - Ef ) / KT dE

n = Nc e -(Ec - Ef ) / KT

donde Nc = (4  mn K T / h2) 3/2 y K es la cte. de Boltzman en J/K

K = 8'62x10-5eV x 1'62x10-19 J

1 K 1 eV

K = 1'40x10-23 J/K

Si mn = m/2 => Nc = (2  m K T / h2) 3/2

Nc = [(2  )(9'1x10-31)(1'40x10-23)(300)]3/2

[6'625x10-34]3

Nc = 1'27x1025electrones / m3

Sustituimos el valor de Nc en n y aplicamos Ln a ambos lados de la ecuación:

L(n/Nc) = ( - Ec + Ef)

KT

Ec - Ef = - K T Ln n

Nc

Ec - Ef = - (8'62x10-5)(300) Ln 4 '42 x 1019

1'27x1025electrones/m3

Ec - Ef = 0'325 eV

La situación es:

__________

__________

Banda de conducción.

Banda de energía prohibida

Banda de valencia.