CIRCUITOS RESONANTES, CIRCUITOS OSCILADORES A CRISTAL

Introducción:

En este trabajo presento dos estudios que son bastante útiles en su realización práctica ambos basados en la utilización de materiales piezoeléctricos para circuitos osciladores y resonantes. Espero que este trabajo pueda dar una buena aportación en el estudio práctico de osciladores de cristal ó por lo menos sirva como una base para la realización proyectos sobre estos temas de una manera mas profunda, sin desestimar por supuesto la profundidad de los estudios propuestos.

ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DE UN CRISTAL PIEZOELÉCTRICO. ANALOGÍA CON CIRCUITOS RESONANTES

[A] Introducción

El principal interés de los fenómenos piezoeléctricos reside en una analogía electromecánica característica de ciertos cristales. Al someter un cristal piezoeléctrico a deformaciones mecánicas, aparece en él una polarización que da origen a un campo eléctrico. Análogamente, la aplicación de un campo eléctrico se acompaña de vibraciones elásticas del material, consecuencia del denominado efecto piezoeléctrico inverso. De este modo, al excitar uno de estos cristales con un campo eléctrico alterno, el cristal oscilará con la misma frecuencia de excitación que el campo, y su amplitud tomará valores extremos para ciertas frecuencias, denominadas “de resonancia”.

Llegados a este punto, la analogía con los circuitos RLC se hace inevitable (aunque frente a esta comparación, el cristal piezoeléctrico presenta mayor estabilidad de frecuencia, es decir, un pico de resonancia más estrecho que el que podríamos obtener empleando componentes electrónicos comunes). Si bien el modelo del circuito RLC Serie surge a priori como el indicado

para describir el fenómeno, algunas consideraciones acerca del montaje experimental dan lugar a otro modelo algo similar, el de un circuito RLC montado en Paralelo con un capacitor C'. Nuestra tarea se vio entonces orientada a comparar los datos experimentales con los teóricos para determinar cuán buena podía resultar cada modelización.

[B] Desarrollo experimental

Se usaron para este experimento :

• un generador de tensión alterna sinusoidal de frecuencia y amplitud variables.

• un osciloscopio de dos canales.

• un dispositivo pre-armado con resistencias R1 y R2 y el cristal piezoeléctrico montado entre electrodos, dentro de un cilindro de acrílico.

• un multímetro digital

El circuito fue montado como lo indica la fig.1.

El canal 1 mide directamente la señal

constante en frecuencia y amplitud de la fuente, es decir el voltaje de entrada V1.

El canal 2 mide el voltaje de salida V2 del piezoeléctrico, y por consiguiente, también la corriente I sobre R2.

En posición dual, el osciloscopio asigna una componente del plano a cada canal, y así permite determinar el desfasaje entre la señal de entrada y la de salida del cristal, mediante las figuras de Lissajous.

La metodología experimental adoptada consistió en:

- hacer un barrido en frecuencia a fin de detectar la(s) frecuencia(s) de resonancia y antiresonancia del circuito.

- Elegir dos de tales frecuencias (una de resonancia y otra contigua de antiresonancia), en torno a las cuales fuera mayor la densidad de datos que

pudiéramos tomar.

- Relevar mediciones de V2 y del desfasaje alrededor de dichas frecuencias.

- Medir las resistencias R1 y R2

Estos datos nos permitieron graficar las curvas de Resonancia y de Desfasaje, así como las de Susceptancia, Conductancia e Impedancia en función de la frecuencia, que presentamos en el párrafo siguiente.

[C]Mediciones realizadas

Durante nuestras mediciones, la fuente arrojó una amplitud máxima V1= (0.9 ± 0.02) Volt

Asimismo obtuvimos:

R1= (9.46×103 ± 0.01×103) Ohm

R2= (9.61×103 ± 0.01×103) Ohm

Del Gráfico 1 se desprenden las dos primeras frecuencias de resonancia fs y antiresonancia fp (máximo y mínimo de corriente, espectivamente) de nuestro cristal piezoeléctrico, a saber:

fs = 50095.5 Hz

fp = 50282.0 Hz

siendo las frecuencias cuadrantales para la resonancia serie (Gráf. 2) :

fs- = 50093.3 Hz ; fs+ = 50097.8 Hz

y el factor de calidad Q = 11132.33

En la resonancia serie, la corriente es máxima con un valor I = 34.3ð10-6 Amp mientras que en la antiresonancia la corriente es casi nula.

También obtuvimos en el gráfico 3 la

dependencia del desfasaje vs frecuencia (desfasaje en la tensión provocado por el piezoeléctrico), el cual ya anticipa una contradicción del modelo RLC Serie : el desfasaje cero no corresponde a la frecuencia de resonancia.

Hallamos también otras “parejas” de

frecuencias resonantes y antiresonantes, tales como*:

fs1= 50095.5 Hz Q1= 11132

fp1= 50282.0 Hz

fs2= 150155 Hz Q2= 42502

fp2= 150217 Hz

fs3= 248287 Hz

fp3= 248327 Hz

fs4= 427417 Hz

fp4= 427673 Hz

*estas últimas dos parejas de frec. con menor amplitud

[D]Análisis de datos y modelización

Llegados aquí, tenemos todos los datos necesarios para hallar los parámetros de cada modelo.

!Circuito RLC Serie

En la frecuencia de resonancia,

el circuito se hace puramente resisitivo, así que conociendo Imax , R2 , y Ve (tensión de la fuente), hallamos que la resisitencia equivalente del cristal vale

R = 1.659ð104 ð 0.143ð104 Ohms

(R = 9%)

Además, sabemos que en un circuito RLC Serie se cumple para la frecuencia de resonancia:

y para el factor de calidad Q :

siendo el ancho cuadrantal.

De (1) y (2) se despejan los valores de L y C,

inductancia y capacidad del cristal, con

L = 926.96 153.05 Henry (%L = 17%)

C = 1.088E-141.733E-15 Farad (%C = 16%)

!Circuito RLC Paralelo

La “única” diferencia concreta que este modelo presenta con respecto al anterior, es una segunda capacidad C', introducida debido a que los electrodos metalizados que tienen al cristal como dieléctrico pueden muy razonablemente ser considerados como un segundo capacitor en paralelo con el sistema.

Ya hallados los valores de R, L y C, en el párrafo anterior, la frecuencia de antiresonancia nos permite calcular C' por la fórmula

donde fp representa dicha frecuencia. Así,

C' = 1.452ð10-12 ð 4.375ð10-11 Farad (!!!)

El error en la determinación de C' es un orden de magnitud mayor que el propio C'! Este será un gran inconveniente a la hora de comparar los dos modelos, ya que un margen de error tan grande de por sí le quita confianza al modelo. La magnitud del error se debe a la propagación de errores involucrada en el cálculo de C' (Apendice).. En efecto, este error recoge todos los demás errores.

!Comparación de los Modelos con el

Experimento

Para ver mejor en qué modo difieren

los dos modelos teóricos propuestos con el experimento y entre sí mismos, graficamos algunas funciones dependientes de la frecuencia, y cuyas propiedades matemáticas nos son conocidas.Dada una impedancia Z(w), su inversa Y(w) = Z(w)^-1 es llamada admitancia, con Y(w) = G(w) + j B(w)

donde G(w) es la conductancia y B(w) es la susceptancia.

G(w) es una misma función de la frecuencia tanto en el caso Serie como en el Paralelo, siendo

B(w), en cambio, difiere según de cuál modelo se trate, ya que:

• en RLC serie:

• en RLC paralelo:

Los resultados obtenidos se grafican a continuación.

De la comparación de estos gráficos experimentales con los de ambos modelos, se desprende inmediatamente que el modelo RLC serie no puede ser una buena aproximación del comportamiento de nuestro cristal, ya que no contempla de ninguna manera el máximo en la impedancia para frecuencias de antiresonancia (ver Gráfico7). Para corroborar estadísticamente esta afirmación, podemos recurrir también a la prueba del 2, que da una idea de cuán bien se ajustan las mediciones a los valores deterministas de un modelo teórico. El mejor ajuste es el que minimiza 2. Lo calculamos para los modelos serie y paralelo de la impedancia y obtuvimos:

siendo

donde Z es la impedancia, es el error de Z

Es importante aclarar que en algunas frecuencias, el error del modelo serie alcanza a ser 10^7 veces mayor que el del modelo paralelo(s.10-6 contra p.10-13) en cuanto al ajuste de los datos medidos. Sin embargo, se podría esperar mirando el gráfico 7 que el 2 del modelo serie fuera mucho mayor al del modelo paralelo debido a la discrepancia en la zona de la antiresonancia. El hecho es que en esa zona el  de la impedancia se hace tan grande que este último termina predominando por sobre el error de ajuste de cada modelo.

Del gráfico 7 uno estaría tentado de aceptar el modelo paralelo. Sin embargo, analizando los demás gráficos, aparece un corrimiento importante entre lo experimental y ambos modelos. La diferencia es tal que aún siendo distintos entre sí, los modelos serie y paralelo aparecen solapados frente a lo experimental, más distante de estos. Sin embargo, como la forma de las curvas es muy similar, podemos atribuir este corrimiento a un problema de desfasaje constante. En el gráfico 8, aparece en verde la curva experimental a cuya fase se le ha sumado un . arbitrario para que se acople lo experimental a lo teórico. Como este término es pequeño (0,3) y constante, lo podemos atribuir a desfasajes por efectos capacitivos e inductivos de otros elementos del circuito no tenidos en cuenta (cables, por ejemplo)..

En el gráfico de G(w) y de B(w) vs G(w) se observa que G toma valores negativos, lo cual no concuerda con la teoría (ver ecuación (4)). Esto es porque nuestras mediciones de G se realizaron en base a la fórmula

de donde vemos que si, por ejemplo,  = /2, G<0. La susceptancia B está también definida por una fórmula similar. Este fenómeno también podría explicar el corrimiento de nuestros resultados frente a los dos modelos teóricos.

Otro fenómeno interesante que observamos que el de la distribución del espectro de frecuencias. En efecto, las tres primeras frecuencias de resonancia serie -detectables- f1=50KHz, f2=150KHz, f3=250KHz, aparecen equiespaciadas en 100 Khz, siendo este número un múltiplo de la fundamental (f1). Sin embargo, esta relación especial sólo dura para estas tres primeras frecuencias, ya que las frecuencias resonantes siguientes valen f4=427KHz y f5=615KHz, con lo cual tenemos que descartar la hipótesis de que sean armónicas superiores de la fundamental. Aún así, esto nos advierte que los dos modelos vistos son apenas una simplificación de lo que sucede en realidad, ya que sólo admiten una frecuencia de resonancia y una de antiresonancia, y por ende, sólo son válidos alrededor de las frecuencias que fueron estudiadas. No se explica por ellos el fenómeno “multiresonante” observado.

[E]Conclusiones

La modelización del comportamiento de un cristal piezoeléctrico excitado por un campo eléctrico alterno, se puede aproximar por dos modelos bastante similares entre sí: el de un circuito RLC serie y otro en paralelo con un capacitor. Una mera observación del dispositivo experimental daría más crédito al segundo modelo, los electrodos del cristal actuando como un condensador de placas paralelas. Pero además, los gráficos comparativos, en particular el de la impedancia, y la prueba estadística de la 2 confirmarían esta hipótesis, además de refutar definitivamente el modelo serie. Sin embargo, el modelo paralelo resulta poco confiable debido al enorme error de C', diez veces mayor que su propio valor. Esto se debe a la gran propagación del error, ya que C' fue obtenido de forma indirecta a través de todas las demás variables que entran en juego en la antiresonancia. Un método alternativo para obtener C' que minimice este error indirecto, sería midiendo este parámetro de manera directa ya que representa la capacidad de los electrodos del cristal. Además, el modelo RLC paralelo no parece ser el óptimo para describir el comportamiento del cristal; las múltiples frecuencias resonantes lo evidencian.

A pesar de esto,era de esperar que este comportamiento fuera algo más complicado que el de un simple circuito RLC, debido a que es un sólido que vibra, con lo cual existen distintos modos normales de oscilación, hecho que podría explicar las distintas frecuencias de resonancia.

Un punto interesante a analizar hubiera sido el de hacer un análisis del espectro de frecuencias del cristal para tener una mejor idea de la distribución espacial de las frecuencias resonantes y antiresonantes, así como el de evaluar el factor de mérito en cada resonancia, y estudiar la dependencia de los parámetros equivalentes con la frecuencia.

Apéndice : Errores

donde V1 es la tensión de la fuente

I es la corriente en resonancia

donde f+ y f- son las frecuencias cuadrantales, f es el error de estimación en la frecuencia de la fuente

donde fs es la frecuencia de resonancia

donde fp es la frecuencia de antiresonancia

con

ARRANQUE RÁPIDO DE LOS OSCILADORES A CRISTAL (fast start-up)

[A]Introducción:

Este estudio se presenta un método de reducción del tiempo de inicio de un circuito oscilador de cristal despues del encendido de la fuente de D.C. Se muestra que un rápido inicio del circuito oscilador puede ser obtenido cambiando solamente la coneccion del cristal oscilador en el circuito. Este nuevo esquema puede ser aplicado al usual oscilador Colpitts a cristal, al oscilador Cascode a cristal, y además al oscilador overtone a cristal.

El oscilador a cristal juega un papel importante en la parte de la configuración de telefonos portatiles (telephone-set). En el telephone-set el encendido y apagado son repetidos constantemente para mantener la carga de las baterias. Como el factor de calidad Q del resonador es muy alto, el comportamiento de encendido del oscilador de cristal en el circuito electrónico del telephone-set es muy lento. Por lo tanto el método de reducción del timpo de arranque es deseado por los diseñadore de circuitos telefónicos.

[B]Comportamiento de arranque del oscilador a crista

La configuración usual del oscilador Colpits a cristal se muestar a continuación en la Figura 1.

Figura 1. Oscilador colpitts a cristal

De acuerdo al análisis en computador de este circuito, el comportamiento de arranque del encendido para el estado estable de oscilación puede ser dividido en tres intervalos de tiempo desde la condición de operación del transistor. Los tres intervalos son los siguientes: (1) El primer intervalo es desde el encendido hasta cuando el transistor alcanza el punto de operación en la región activa, este intervalo es muy corto. (2) El segundo intervalo es el periodo en el que la amplitud de oscilación es muy pequeña, el transistor se puede analizar con el modelo equivalente a pequeña señal, este intervalo es largo. (3) El tercer intervalo es el periodo en el que la amplitud de oscilación empieza a hacerse muy grande, ahí el transistor se puede analizar con el modelo a gran señal, como el modelo Gummel-Poon.

La amplitud de oscilación del oscilador a cristal puede ser expresada por la amplitud de la corriente a alta frecuencia del cristal la cual es proporcional a la amplitud de la vibración del cristal. Referente a los tres intervalos mencionados anteriormente, la amplitud de la corriente de alta frecuencia del cristal varia de la sigiente manera. En el primer intervalo, la amplitud de la corriente se mantiene en un valor constante. En el segundo intervalo, la corriente incrementa exponencialmente con el tiempo. En el tercer intervalo, la corriente del resonador se aproxima gradualmente al estado es table de oscilación. Como un ejemplo de estas caracteristicas en un oscilador de 10Mhz se muestra el la figura 2.

Figura 2. Caracteristicas de arranque de la corriente del resonador en un cristal oscilador de 10Mhz

La coriente inicial del resonador Io en el prime intervalo puede ser calcualda aproximadamente por la siguiente ecuación.

(1)

donde C1 y L1 son equivalentes a la capacitancia “motional” y la inductancia “motional ” del cristal resonador respectivamente, Vt es la amplitud del voltage que aparece a travez del resonador por el encendido de la fuente. En el caso del oscilador olpitts Vt esta dado a travez de la capacitancia base-colector Co del transistor, por tanto, el valor de Vt es muy pequeño. Si hacemos el valor de Vt alto, la corriente inicial del resonador empieza a agrandarse y el tiempo de inicio se hace corto.

[C]Principio de reducción del tiempo de inicio

En el caso del oscilador Colpitts, uno de los lados de los pines se encuentra aterrizado como se muestra en la figura 1. Si cambiamos la conección del pin aterizado, a la fuente de D.C. como se muestra en la figura 3, la amplitud de Vt empieza a hacerce mas o menos igual a Vcc.

Figura 3 Arranque rápido del oscilador Colpitts a Cristal

En el segundo intervalo, donde la corriente de resonador incrementa exponecialmente con el tiempo, la relación entre el tiempo t despues del encendido y la corriente de resonador puede ser expresada por la siguiente ecuación.

(2)

donde, Rn es la resistencia negativa del transistor en la operación a pequeña señal, y R1 es la resistencia “motional” equivalente del cristal resoonador.

Si dejamos I1 como el valor de la corriente inicial del resonador de lafigura 3. Entonces, entonces la reducción del tiempo puede ser obtenida de la ecuación (2) haciendo I=I1 y t=. El resultad es el siguiente.

(3)

En el caso del circuito mostrado en la figura 3, el similar efecto de reducción puede ser obtenido cambiando la conección del capacitor CB en lugar del resonador.

[D]Aplicación de un nuevo esquema

En los recientes telefonos portatile, El circuito oscilador a cristal tipo cascode, mostrado en la figra 4, es ampliamente usado. Este circuito tiene una mejor estabibildad de frecuencia contra la variación de la impedancia de carga. Sin embargo, como el efecto de encendido de la fuente de D.C. es transferido a travez de los dos transistores al cristal, la corriente inicial del resonador es extremadamente baja, y el arranque es muy lento comparado con el del oscilador Colpitts usual. En el caso de este circuito, la corriente inicial del resonador puede hacerse muy grande cambiando la conección del pin aterrizado del resonador o la del capacitor CB a la linea de Vcc.

Figura 4. Oscilador a cristal Cascode

Otro ejemplo es la aplicación del nuevo esquema del oscilador a cristal overtone. En el oscilador Colpitts de la figura 1 y el cascode de la figura 4, los cristales son usados para vibrar en sus modos fundamentales. En unrango de muy alta frecuencia los osciladores tipo overtone están usandose ampliamente. Un ejemplo del oscilador tipo overtone se muestra en la figura 5. En el caso de este circuito tambien, la corriente inicial del resonador puede hacerse grande cambiando la conección del pin aterrizado del resonador, a la linea de la fuente.

Figura 5. Circuito oscilador a cristal Overtone

[E]Vericicación, Análisis en el computador

El efecto del nuevo esquema ha sido examinado en un oscilador cascode a cristal de 10Mhz por medio del programa SPICE. Los parámetros del circuito de la figura 4 estan colocado sen la Tabla 1, y los parámetros del circuito equivalente del cristal usado son enunciados en la Tabla 2.

Tabla 1 Parámetros del circuito Figura 4

RA	RB	RC	RD	RE	CA	CB	CD
68	62	1.8	47	5.1	180	220	10^4

R:k, C:pF, Vcc=5[V], QA & QB:2SC1359

Tabla 2 Parámetros del circuito equivalente del cristal

Fs[MHz]	L1[mH]	C1[fF]	R1[]	Co[pF]
10.017	18.7	13.5	11.9	2.75

Analizamos las caracteristicas de arranque de las dos configuraciones del circuito, la conección usual y la conección de arranque rápido del resonador. Evaluamos el tiempo de inicio como el intervalo de tiempo desde el encendido de la fuente hasta cuando la amplitud de la corriente del resonador alacanza el 90% del valor para el estado estable de oscilación. La corriente inicial del resonador y los tiempos de inicio de los dos circuitos son mostrados en la Tabla 3.

Tabla 3 Corriente inicial del resonador y tiempos de arranque de los dos circuitos

circuito	corriente inicial	Tiempo de arranque
Usual Fast start-up	0.16 [nA] 3.89 [uA]	33.6 [ms] 16[ms]
Razón	2.4E4	48%

Se muestra en la tabla 3 que la coriente inicial del resonador se hace extremamente grande cambiando la conección del resonador, y el tiempo de arranque puede ser reducido en aproximadamente ½. En la Tabla 3, La diferencia del tiempo de aaramque entre los dos circuitos es 17.6 ms. La reducción del tiempo calcualada por la ecuación (3) es 17.3 ms, se ha obtendo una buena concordancia.

[F]Conclusiones

Se concluye que un rápido arranque del circuito oscilador a cristal puede ser fácilmente otenido cambiando solamente la conección del resonador de cristal. El nuevo esquema puede ser aplpicado para el oscilador a cristal Colppits usual, para el oscilador a crista Cascode y además para el oscilador a cristal overtone.

ELECTRÓNICA lll

TRABAJO SOBRE OSCILADORES A CRISTAL:

Estudio de las propiedades de un cristal piezoeléctrico. Analogia con circuitos resonantes

Arranque rápido de los circuitos osciladores a cristal (Fast start-up)

Presentado a:

Presentado por:

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER UIS

E3T

BUCARAMANGA

2001