Tema 1

CAPITALIZACION SIMPLE

CÁLCULO DE INTERESES

I₁ = I₂ = I₃ ………………………………. = I_n = C_o.i

Si el tiempo que dura el préstamo es (n) años, el interés total (I) será la suma de los intereses de cada período, es decir I = I₁ + I₂ + I₃ + ………………… + I_n = C_o.i en cada uno de años o lo que es lo mismo I = C_o.i + C_o.i + C_o.i + …………………… + C_o.i , entonces

I = C_o. i . n

Cuando el tiempo venga expresado en otra medida distinta al año, ya sean meses, días, trimestres, etc… , es necesario transformar dicho tiempo a años para que exista una correlación entre el tanto y el tiempo (siempre tienen que estar en la misma medida de tiempo)

I = C_o (capital).i ( tanto anual). n (años)

Si el tiempo viene dado en meses n / 12 meses

Si es en días n / 360 año comercial o 365 año natural

Si es en trimestres n / 4 trimestres

Si es en cuatrimestres n /3 cuatrimestres

Si es en bimeses n / 6 bimeses

Si es en semestres n / 2 semestres

• Hallar el interés que produce en 7 años un capital de 20000€ restado al 9% simple anual

n= 7 I = (20000.0,09.7) = 12600€ intereses que se lleva el

i= 0,09 prestamista a lo largo de 7 años

C_o= 20000 Al año se lleva C_o.i = 1800€

• Calcular el interés de un capital de 120000€ colocado al 10% anual durante 9 meses

C_o= 12000€

i = 0,10 I = (12000.0,10.0,75) = 900€

n = 9 meses = 9 / 12 = 0,75

CÁLCULO DEL CAPITAL , DEL TANTO Y DEL TIEMPO

Capital , tanto y tiempo en función del interés I = C_o.i.n

I I I

C_o = i = n =

i.n C_o.n C_o.i

-1-

• Averiguar el capital que presté al 8 % simple anual durante 3 años, si me han pagado de interés 3000€

I= 3000€ 3000

i= 0,08 C_o= = 12500€

n = 3 años (0,08.3)

• Hallar durante cuánto tiempo expresado en días presté un capital de 10000€ al 12% anual simple si el interés recibido es de 174,25€, año natural.

C_o= 10000€

i = 0,12 I = C_o.i.n/365; 174,25 = (10000.0,12.n/365)

I = 174,25 174,25 = (1200/365).n

n? n = 174,25 / 3,287 = 53 días

CÁLCULO DEL MONTANTE

Montante (C_n) es el valor de un capital en el momento (n), es decir, es la suma del capital prestado más los intereses producidos en el tiempo que dura el préstamo

C_n = C_o + I = C_o + (C_o.i.n) → C_n = C_o( 1+ i.n )

• Hallar el montante que alcanza un capital de 20000€ al 8% anual simple durante 3 años.

C_n= 20000 ( 1+ 0,08.3) = 24800 €

El prestamista le presta los 20000€ y el prestatario le devolverá los 20000€ + 4800€ de intereses.

CÁLCULO DEL CAPITAL, DEL TANTO Y DEL TIEMPO EN FUNCIÓN DEL MONTANTE

C_n C_n 1 C_n 1

C_o = i = - n = -

1 + i.n C_o n C_o i

• Hallar el capital que invertido al 9% anual simple durante 5 semestres alcanzó un montante de 40000€

C_n = 40000€ I = C_o.i.n/2

n = 5 semestres 40000 40000

i = 0,09 C_o = = = 32653,06

C_o? 1+0,09.5/2 1,225

• Hallar el tanto de interés unitario al que se prestó un capital de 40.000€ durante 5 años si el montante que alcanzó fue de 46.000€

C_o= 40.000 i = 0,15/5

n = 5 46.000 = 40.000(1+i.5); 46.000/40.000 = (1+i.5);

C_n= 46.000 1,15 – 1 = 5i ; i = 0,03

-2-

FRACCIONAMIENTO DEL TANTO DE INTERÉS

Tanto y tiempo siempre tienen que estar en las mismas unidades de medida, si no me lo dan anual entonces es (i_k ), k es el nº de partes en que dividimos el año.

En capitalización simple dos tantos unitarios anual y k-esimal serán equivalentes cuando aplicados al mismo capital durante el mismo tiempo nos produzcan el mismo interés o generen el mismo montante, es decir el tanto anual (i ) aplicado al interés simple.

I = C_o .i . n → anual I = C_o. i_k. n.k → k-esimal

si subdividimos C_o . i_k . n.k = C_o . i_k .n.k → i = i_k.k → i_k = i / k ej: i₁₂ =i/12

Tanto mensual : i / 12 tanto cuatrimestral: i / 3

Tanto bimestral : i / 6 tanto trimestral: i / 4

Tanto semestral : i / 2

Por tanto, son proporcionales

• Hallar el interés que produjo un capital de 10.000€ invertido al 0,09 simple anual durante 13 cuatrimestres.

C_o= 10.000

i = 0,09

n = 13 cuatrimestres I = (10.000 . 0,09 . 13/3)

I = 900 . 4,333 = 3.900

i_k= i / k ; i₃ = i / 3 = 0,09 / 3 = 0,03

I = (10.000 . 0,03. 13) = 3.900

INTERÉS NATURAL, INTERÉS COMERCIAL

Hay ocasiones en que hay que hallar el interés que produce un capital durante un tiempo expresado en días , para pasar esos días a años podemos hacerlo considerando el año natural de 365 días o el año comercial de 360 días(12 meses de cada año)

I_n → interés natural I_n = C_o. i . n/365

I_c → interés comercial I_c = C_o. i. n/360

I_c > I_n porque el denominador es menor en el comercial que en el natural

El uso del año comercial lo decide quien realiza los cálculos, los bancos cuando calculan los intereses a favor del cliente lo hacen en función del año natural y cuando es a favor suyo lo hacen con el comercial.

• Hallar el interés natural y comercial que produce un capital de 10.000€ invertido al 12% anual durante 57 días

C_o= 10.000 I_n= 10000.0,12.(57/365) = 187,39€

i= 0,12 I_c= 10000.0,12.(57/360) = 190€

n = 57

-3-

RELACIÓN ENTRE INTERÉS NATURAL E INTERÉS COMERCIAL

Dividiendo interés comercial entre interés natural obtenemos:

I_c C_o . i . n/360 1/360 365 73

= = = =

I_n C_o . i . n/365 1/365 360 72

I_c 73

= sabiendo uno obtenemos es otro

I_n 72

• Hallar el ( I_n) que produjo un capital sabiendo que el ( I_c ) es 1300.

1300 / I_n= 73 / 72 ; I_n = 1300/(73/72) = 1282,19

• La diferencia entre el I_C y I_n de un préstamo es de 55€. Hallar el I_c , I_n y capital que se prestó si el tanto fue del 12% simple anual y duró 40 días.

I_c - I_n = 55 I_c > I_n

n = 40 I_c = I_n+ 55

i = 0,12 I_c 73 Sistema de 2 ecuaciones

= resolvemos por sustitucción

I_n 72

I_n + 55 73

= multiplicamos en cruz y obtenemos 73I_n+ (72.55)

I_n 72 73I_n= 72I_n+ 3960 ; I_n= 3960

I_c= 3960 + 55 = 4015

I_n= C_o. i . n/365 ; 3960 = C_o. 0,12 . 40/365 ; C_o= 301.125

INTERESES DE VARIOS CAPITALES COLOCADOS AL MISMO TIEMPO

Sean varios capitales C₁ , C₂ , C₃ ……………C_n colocados todos a un mismo tanto unitario anual simple y respectivamente durante diferentes días (t₁ , t₂ , t₃ ……..t_n ) ; queremos saber el interés total (I) que nos produce. Habrá que averiguar el interés de cada uno I₁ , I₂ , I₃ ,…….I_n

Y después sumarlos I = I₁+ I₂+ I₃+ …………. + I_n

Suponiendo que el año sea comercial resultará :

I₁ = C₁ . i . t₁/360 ;

I₂ = C₂ . i . t₂/360 ;

I₃ = C₃ . i . t₃/360 ………..

I_n = C_n . i . t_n/360

el interés total será : C₁ . i . t₁/360 + C₂ . i . t₂/360 + C₃ . i . t₃/360 ……. C_n . i . t_n/360

sacamos factor común: i/360 ( C₁.t₁ + C₂.t₂ + C₃.t₃ ………….C_n.t_n ), entonces

Mf = i / 360 I = Mf . ∑ Ch.th ∑Ch.th es suma de nºcomerciales

Si i / 360 lo dividimos entre el mismo nº i/i = 1 = 1

360/i 360/1 Df

Df = 360 / i DIVISOR FIJO I = ∑Ch.th / Df

-4-

• Calcular el interés total que producen los siguientes capitales colocados al 10% simple anual ( año natural no bisiesto)

Capital desde hasta días

50.000	5 enero	30 junio	176
30.000	10 febrero	30 junio	140
25.000	15 marzo	30 junio	107
32.000	20 marzo	30 junio	102
50.000	10 mayo	30 junio	51

∑ Ch.th = 8.800.000 + 4.200.000 + 2.675.000 + 3.264.000 + 2.550.000 = 21.489.000

Mf = 0,10 / 365 = 0,000273972 ;

I = 0,000273972 . 21489000 = 5.887,3971

(Si lo hago con Df me tiene que dar lo mismo)

TANTO MEDIO DE COLOCACIÓN DE VARIOS CAPITALES

Sean C₁ , C₂ , C₃ ………… C_n varios capitales invertidos a los distintos tantos de interés i₁ , i₂ , i₃, ……… i_n durante un tiempo de (t) años, el tanto medio (i) de colocación de dichos capitales será aquel que aplicado a los capitales C₁, C₂, C₃, ……….C_n durante (t) nos ofrezca el mismo montante o nos produzca el mismo interés.

C₁.i₁.t + C₂.i₂.t + C₃.i₃.t + ……………………….C_n.i_n.t = C₁.i.t + C₂.i.t + C₃.i.t + ……………..C_n.i.t ;

t ∑ Ch.ih = i.t. ∑ Ch ∑ Ch . ih

i =

CAPITALES TANTOS ∑ Ch

Haciendo la fórmula del montante tiene que salir lo mismo.

• Tengo unos ahorros colocados del siguiente modo

20.000 € al 7% anual en el banco A

30.000 € al 10% simple anual en el banco B

5.000 € al 6,5% simple anual en el banco C

¿Cuál es el tanto medio de interés que me producen mis ahorros si todas las inversiones están a plazo de 1,5 años?

(20000 . 0,07) + (30000 . 0,10) + (5000 . 0,0605) 1400 + 3000 + 302,5

i = =

550000 55000

i = 0,0855

-5-

EQUIVALENCIA DE CAPITALES

Cualquier operación financiera implica una serie de prestaciones y contraprestaciones que hay que comparar . De este modo en un préstamo comparamos el capital que recibe el prestatario con el montante que tendrá que devolver al prestamista.

En una operación de compraventa se puede comparar el importe de la operación al contado con el importe de la operación a plazos.

Como son cuantías y vencimientos diferentes habrá que valorarlos todos en un mismo momento y aun mismo tipo de interés para compararlos por lo que dos capitales son iguales si tienen la misma cuantía y el mismo vencimiento, pero pueden ser equivalentes con distinta cuantía y distinto vencimiento.

C₁ y C₂ a los tiempos t₁ y t₂ son equivalentes cuando valorados a un mismo tanto (i) en un mismo momento (t) tienen la misma cuantía.

Se plantean 3 casos:

1. t < t₁ < t₂ t está en un momento anterior al vencimiento de t₁ y t₂ Ct C₁ C₂

(actualizar)

t t₁ t₂

Ct = C₁ C´t = C₂

1 + i (t₁ – t ) 1 + i (t₂ – t )

Si Ct = C´t entonces C₁ y C₂ son equivalentes en el momento( t)

2. t₁ < t < t₂ t está en medio de los dos vencimientos

( t₂ actualizar ) C₁ Ct C₂

( t₁capitalizar )

t₁ t t₂

Ct = C₁ 1+ i ( t – t₁) C´t = C₂

1 + i ( t₂ – t)

Si Ct = C´t entonces C₁ y C₂ son equivalentes en el momento( t)

3. t₁ < t₂ < t t está en un momento posterior al vencimiento de t₁ y t₂

C₁ C₂ Ct

( capitalizar)

t₁ t₂ t

Ct = C₁ 1 + i (t – t₁) C´t = C₂ 1 + i ( t – t₂ )

Si Ct y C´t son iguales, entonces (C₁ , t₁ ) y ( C₂ , t₂ ) son equivalentes en (t)

Fórmulas de capitalizar y de actualizar

-6-

Cn = Co (1+i.n ) Co = Cn / 1+i.n

Co Cn Co Cn

0 n 0 n

Cuando dos capitales son equivalentes en un momento no pueden ser en ningún otro momento , excepto cuando resulte el momento t₁+ t₂- t , es decir si sumando el momento 1 al momento 2 y restando el momento 0 el resultado es el momento que te piden

Ej: los momentos del los ejercicios siguientes, el momento 5 + momento 3 te da el momento 8 que es el que te pide el enunciado, por tanto si son equivalentes en el momento 8. El siguiente(3 + 10 – 0 = 13) por lo que no da el que te pide el enunciado, no son equivalentes en el momento 8

• Dado un capital de 13000 € que vence dentro de 3 años y otro de 15000 € que vence dentro de 5 años y a un tipo de valoración del 10% simple anual. Comprobad que son equivalentes en el momento 0.

C´t Ct 13000 15000

0 3 5

13000

Ct = = 10.000

1+0,10(3-0)

15000

C´t = = 10.000

1+0,10(5-0)

Entonces (13000 , 3) y ( 15000 , 5) al 0,10 son equivalentes en t = 0

• Averiguar si dentro de 5 años son equivalentes 862,07 € que vencen dentro de 3 años y 1400 € que vencen dentro de 10 años al 8% anual simple

862,07 Ct C´t 1400

3 5 10

Ct = 862,07(1 + 2i) = 1000

C´t = 1400 / 1+ 5i = 1000

Entonces (862,07 , 3 ) y ( 1400 , 10) al 8% son equivalentes en t = 5

• Determinar si son equivalentes dentro de 12 años 5000€ que vencen dentro de 3 años y 6500 € dentro de 7 años si el tanto de valoración es el 12% simple anual.

5000 6500 Ct C´t

3 7 12

-7-

Ct = 5000 ( 1+0,12 . 9) = 10.400

C´t = 6500 ( 1+ 0,12 . 5 ) = 10.400

Entonces ( 5000 , 3 ) y ( 6500 , 7 ) son equivalentes al 12 % en t = 12

• Determinar si los capitales propuestos en los ejercicios anteriores son equivalentes en el momento 6. Al 10% , 8% y 12%.

1) 13000 15000 Ct C´t

3 5 6

Ct = 13000 (1+0,10 . 3 ) = 16900

C´t = 15000 ( 1+0,10 . 1) = 16500

No son equivalentes en t = 6 al 10 %

2) 862,07 Ct C´t 1400

3 6 10

Ct = 862,07 ( 1+0,08 . 3) = 1068,96

C´t = 1400 / 1+ 0,08 . 4 = 1060,60

No son equivalentes en t = 6 al 8 %

3) 5000 Ct C´t 6500

3 6 7

Ct = 5000 ( 1+0,12 . 3 ) = 6800

C´t = 6500 / 1+0,12 . 1 = 5803,57

No son equivalentes en t = 6 al 12 %

COMPRAVENTA A PLAZOS

Ej : un artículo se vende al contado por 10.000 € o sino pagando un único plazo a los 4 meses.

Averiguar el importe que habrá que pagar a los 4 meses si por la financiación se exige un 9% simple anual

1000

0 4 meses

Cn = 10000 (1+0,09 . 4/12) = 10.300

Pasado a años

-8-

• Un comerciante vende al contado un artículo por 2.500€ o sino pagando 1.000€ en el momento de la compra y otra cantidad a los 6 meses.

Averiguar cuál será el importe del pago a los 6 meses si por el aplazamiento exige el vendedor un 12€ de interés simple anual y desea que sean equivalentes la venta al contado y la venta a plazos.

2500 C₁=1000 C₂

0 0 6

C₂? i = 0,12

C₂ C₂

2500 = 1000 + ; 2500 = 1000 + ;

1+0,12.6/12 1+0,12.1/2

2500 – 1000 = C₂/ 1.06 ; 1500 = C₂/ 1.06 ; C₂= 590€

• Un comerciante vende un artículo al contado por 3.000€ o a plazos exigiendo 3 mensualidades de 1.050€ pagaderos transcurridos 1 , 2 y 3 meses desde la fecha de la operación , ¿son equivalentes ambas operaciones si el tanto de interés de valoración es del 14% simple anual?

3000 1050 1050 1050

0 0 1 2 3

Vamos a ver si en el momento 0 de ambos es lo mismo 3.000 que 1.050 en 3 plazos, para ello actualizamos

1050 1050 1050

3000 = + +

1+0,14.1/12 1+0,14.2/12 1+0,14.3/12

3000 = 1038,575 + 1026,392 + 1014,492

3000 = 3079,459 por tanto no son equivalentes

APLICACIONES PRÁCTICAS EN QUE SE USA LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE

Son aquellas en las que el tiempo es ≤ 1 año. Hay operaciones de compraventa a plazos, imposiciones a plazo fijo inferiores o iguales al año, etc………..

Ej : una entidad financiera ofrece por un depósito de 10.000€ a un año , un interés del 10% anual y pago trimestral. Si contrato la operación ¿qué cobraré al final de cada trimestre y qué me devolverán al final de la operación?

C_o = 10.000 i = 0,10

I = C_o . i . n I = 10000 . 0,10 . 1 = 1.000€/año

En un trimestre será 1000 . ¼ = 250 €/trimestre

Entonces al final de la operación nos darán los 10.000€ + los 250€ de intereses al trimestre, es decir 1.000 €/año

-9-

• Compro obligaciones de 100€ nominales que emite una sociedad a la par y libre de gastos para el suscriptor. Dichos títulos producen un 10% anual pagaderos semestrales y se amortizan a la par al cabo de 3 años.

I = 100 . 0,10 . 1 = 10 €

I_semestral = 10/2 = 5 €/semestre

• Ejercicio 1 (pág. 47)

C_n? C_o= 72.000 i = 0,07 simple anual

n = 2 años , 3 meses y 20 días = (360 . 2) + (3 . 30) + 20 = 830 días

C_n = 72000 ( 1+0,07 . 830/360) = 83.620 €

• Ejercicio 2

C₀= 80.000€ i₂= 0,045 I = 2.300 € n(días)?

I = C₀. i₂. n/360 . (2) ; 2300 = 80000 . 0,045 . 2n/360 ; n = 115 días

• Ejercicio 3

C₀? i = 0,065 C_n = 30.975€ n = 6 meses

C_n = C₀( 1+ i . n/12 ) ; 30975 = C_O( 1+0,065 . 6/12)

30975 = C_o. 1,0325 ; C_o= 30.000

• Ejercicio 4

I₂ = 500 / semestre

C_o= 10000

i₂? I₂= C_o. i₂. n ; 500 = 10000 . i₂. ½

i₂= 500 / 10000 . 0,5 ; i₂= 0,10 = 10%

• Ejercicio 5

i = 0,08

C_o = 35000 C_n= C_o( 1+i.n)

C_n= 44100 n = C_n/ C_o– 1 / i

n?