ANUALIDADES

índice

Introducción 1

Anualidades 2

Tipos de anualidades 3

Anualidad Cierta 3

Anualidad Contingente 3

Anualidad Simple 4

Anualidad General 4

Anualidad Vencida 4

Anualidad Anticipada 4

Anualidad Inmediata 4

Anualidad Diferida 6

Cálculo del Monto en la anualidad 7

Cálculo de Valor actual 9

Cálculo de la Renta 10

Cálculo de la Tasa de Interés 11

Conclusiones 15

Bibliografía 16

introducción

El termino anualidad, no es nada ajeno a la vida diaria, ya que cualquier persona tiene vigente por lo general algún tipo de anualidad por ejemplo: La mayoría de la gente al comprar una casa, lo hace con dinero prestado que se compromete a liquidar mediante pagos mensuales durante un lapso que varía generalmente entre los 10 y 30 años. Calcular uno por uno el interés o el descuento entre los 120 o 360 pagos que se deben efectuar resulta muy laborioso. Se han desarrollado fórmulas y tablas que convierten la solución de problemas que involucran a un número muy alto de pagos, algo tan sencillo como es el manejo de una cantidad única.

A las series de pagos mensuales equivalentes que la persona efectúa al comprar una casa se le denomina anualidad. El pago de intereses sobre bonos, las primas de seguros y los pagos sobre gastos de instalación, son típicos ejemplos de lo que es una anualidad. En general, todo conjunto de pagos de igual denominación, a efectuarse en iguales intervalos, constituye una anualidad.1

A continuación ahondaremos más sobre el tema de las anualidades y como es que se calculan:

ANUALIDADES

En general como describimos anteriormente de denomina anualidad a un conjunto de pagos realizados a intervalos iguales de tiempo, Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago.2 Algunos ejemplos de anualidades son:

• Los pagos mensuales por renta

• El cobro quincenal o semanal de sueldos

• Abonos mensuales a una cuenta de crédito

• Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida

Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último. Renta es el nombre que se le da al pago periódico que se hace. También hay ocasiones en las que se habla de anualidades que, o no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos en intervalos iguales. Estas aplicaciones se manejan en forma especial.

TIPOS DE ANUALIDADES

La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas. Conviene por ello clasificarlas de acuerdo con diversos criterios:

CRITERIO TIPOS DE ANUALIDADES

a) Tiempo Ciertas contigentes

b) Intereses Simples, generales

c) Pagos Vencidas, anticipadas

d) Iniciación Inmediatas, diferidas

Este criterio de clasificación se refiere a las fechas de iniciación y de terminación de las anualidades:

• Anualidad Cierta. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano, Por ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último.

• Anualidad Contingente. La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas no se fijan de antemano; depende de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuándo. Un caso común de este tipo de anualidad son las rentas vitalicias que se otorgan a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge y se sabe que éste morirá, pero no se sabe cuando.

b) En este segundo criterio (intereses) tenemos lo siguiente:

• Anualidad Simple. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Un ejemplo sería: el pago de una renta mensual “x” con intereses al 18% anual capitalizable mensualmente.

• Anualidad General. A diferencia de la anterior, el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual capitalizable trimestralmente.

c) De acuerdo con los pagos:

• Anualidad Vencida. También se le conoce como anualidad ordinaria y, cono su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

• Anualidad Anticipada. Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo.

d) De acuerdo con el momento en que se inicia:

• Anualidad Inmediata. Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo que sigue inmediatamente a la formalización del trato: hoy se compra a crédito un artículo que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (anticipada o vencida).

Ejemplo de anualidades inmediatas según diferentes empresas a para ofrecerlas a sus clientes en seguros.

Straight Life annuity es un programa que provee un flujo de dinero constante por el resto de la vida del comprador. Los pagos se terminan con la muerte del comprador.

Ingreso de por vida con periodo seguro Life Income with period certain

Esta anualidad le provee un flujo de dinero por el resto de la vida del comprador y le garantiza que el pago se le hará al beneficiario por un periodo de tiempo aun cuando el comprador muera antes del final del periodo seleccionado. Los periodos pueden ser de 5, 10, 15, o 20 años.

Ingreso de por vida con reembolso

Esta anualidad le provee un flujo de dinero por el tiempo que el comprador viva y le garantiza que por lo menos el precio de compra de la anualidad será pagado en beneficios al beneficiario nombrado, si el comprador muere antes de que el número total de beneficios pagados sea igual al precio de compra.

Joint and Survivor

La anualidad Joint and survivor le provee una serie de pagos periódicos a dos o más individuos hasta que ambos o todos de ellos mueran.

Periodo seguro/Periodo fijo

Esta anualidad le provee que en un periodo específico de tiempo, el ingreso de la anualidad termina.

¿Por qué comprar una anualidad inmediata?

Provee un flujo de dinero estable

No conlleva riesgo ya que está garantizada de por vida por una compañía de seguros

• Anualidad Diferida. Se pospone la realización de los cobros o pagos: se adquiere hoy un artículo a crédito, para pagar con abonos mensuales, el primer pago habrá de hacerse 6 meses después de adquirida la mercancía.

Existen dos tipos de anualidades diferidas: fijas y variables

¿Qué es una anualidad fija? En una anualidad fija la compañía aseguradora garantiza el pago de una tasa de interés mediante un contrato por un periodo de tiempo específico. La compañía asume el riesgo de inversión del contrato.

¿Qué es una anualidad variable? En una anualidad variable los fondos pagados son puestos en una cuenta aparte que se invierte en acciones, bonos y otros instrumentos de inversión. El valor de la cuenta fluctúa de acuerdo con el mercado. El dueño del contrato asume el riesgo de la inversión asociado con la misma.

¿Por qué comprar una anualidad diferida?

El interés o la ganancia del contrato es diferido de contribuciones. En otras palabras, usted no paga contribuciones en el interés que genera, hasta que retire el dinero de la cuenta. Su dinero crecerá más rápido ya que el interés es acreditado al principal, el interés es acreditado al interés y el interés es acreditado al ahorro contributivo.

Usted nombra su propio beneficiario. Esto simplifica todo el costo legal.

No está sujeto a reclamos del acreedor.

Liquidez (hasta 10% al año).

De todos los tipos de anualidades el más común es el de las simples, ciertas, vencidas en inmediatas que, por esa razón analizaremos a continuación:

MONTO

Dada su importancia, destacaremos casa una de las características de éste tipo de anualidades:

• Simples.- El periodo de pago coincide con el de capitalización.

• Ciertas.- Las fechas de los pagos son conocidas y fijadas con anticipación.

• Vencidas.- Los pagos se realizan al final de los correspondientes periodos.

• Inmediatas.- Los pagos se comienzan a hacer desde el mismo periodo en que se realiza la operación.

Los elementos que intervienen en éste tipo de anualidades son:

R La renta o pago por periodo

C El valor actual o capital de la anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento presente.

M El valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los pagos al final de la operación.

Fórmula para determinar el monto: M=R(1+i)n-1 i

Ejemplo:

¿Cuál es el monto de $20,000 semestrales depositados durante cuatro años y medio en una sola cuenta bancaria que rinde el 18% capitalizable semestralmente?

R = 20,000

i = 0.18 / 2 = 0.09

n = 4.5(2) = 9

M = 20,000[(1.09)9 -1] = 260,420.73

0.09

VALOR ACTUAL

Fórmula para calcular el valor actual:

C=R 1-(1+i)-n i

Ejemplo:

¿Cuál es el valor efectivo de una anualidad de $1000.00 al final de cada tres meses durante 5 años, suponiendo un interés anual del 16% convertible trimestralmente?

R = 1000

n = 5(4) = 20 (cuatro trimestres por cada año)

i = 0.16/4 = 0.04

C = 1000 1-(1.04)-20 = 13,590.33

0.04

RENTA

Se conoce como renta el pago periódico que se realiza con intervalos iguales de tiempo. Observemos el siguiente ejemplo:

Una persona adquiere hoy a crédito una computadora. La computadora cuenta $19,750 y conviene pagarla con 4 mensualidades vencidas. ¿Cuánto tendrá que pagar cada mes si le cobran 1.8% mensual de interés?

Fórmula para calcular renta:

R = Ai

1-(1+i)-n

Primero se determinan los datos que se conocen:

A = 19,750

R = ?

i = 1.8%

n = 4

R = Ai = 19,750(0.018) / 1-(1.018)-4 = $5,161.67

1-(1+i)-n

La renta o pago mensual sería de $5,161.67

TASA DE INTERÉS

Ahora veamos un ejemplo en dónde lo que interesa es determinar el interés que se paga.

Una persona debe pagar hoy $350,000. Como no tiene esa cantidad disponible, platica con su acreedor y acuerda pagarle mediante 6 abonos mensuales de $62,000, el primero de ellos dentro de un mes. ¿Qué tasa de interés va a pagar?

Determinemos los valores que se conocen:

R = $62,000

C = $350,000

n = 6

i = ?

350,000 = 62,000 1-(1+i)-6

i

1-(1+i)-6 = 350,000/62,000 = 5.645161

i

Como no es posible despejar i, se tiene que seguir un procedimiento de aproximación para encontrar su valor.

1.- Ensayar los valores en la expresión dónde se encuentra la:

i = 1-(1+i)-6

I

Para encontrar los valores de ella que estén cercanos a 5.645161, uno mayoy y otro menor.

2.- Entonces en primer lugar se ensayan los valores para 1-(1+i)-6

i

Si i = 0.02 1-(1+i)-6 = 1-(1.02)-6 = 5.601431

i 0.02

que es bastante cercano al valor de 5.645161 que se busca. Se continúa ensayando valores para aproximar más. Cabe destacar que, al disminuir la tasa de interés se incrementa el valor presente, y viceversa, al incrementar el interés disminuye el valor presente.

Si i = 0.017 1-(1.017)-6 = 5.658585

0.017

Éste es mayor que el valor que se busca; ahora un poco menor, para lo cual se incrementa la tasa de interés:

Si i = 0.018 1-(1.018)-6 = 5.639435

0.018

Si i = 0.0175 1-(1.0175)-6 = 5.639435

0.0175

Ahora ya se tienen dos valores muy cercanos al valor deseado, uno mayor y otro menor. Es segundo paso es interpolar entre estos dos valores para determinar en forma más exacta la tasa de interés que se necesita.

El razonamiento es el siguiente:

Se necesita encontrar el valor de i que haga que 1-(1+i)-6

i

sea igual a 5.645161, porque esta i es la que hace que se cumplan las condiciones planteadas en el ejemplo y es, por tanto, la i que se busca. Entonces concluimos que la tasa i que se busca está entre 0.018 y 0.0175

Para ilustrar el procedimiento se muestran condiciones descritas en los párrafos anteriores mediante un diagrama:

5.639435 5.645161 5.648998

0.018 i 1.0175

Lo que se hace a partir de este diagrama es encontrar el valor más preciso de i es plantear una proporción y, para comprender mejor lo que se hace se repasarán las relaciones existentes entre las cantidades que aparecen en el esquema anterior. Puede calcularse:

5.648998 - 5.639435 = 0.009563 es la “distancia total” entre estas dos cantidades

5.645161 - 5.639435 = 0.005726 también es la distancia que hay entre estas dos cantidades

Entonces:

0.005726 = 0.59876608

0.009563

Lo que significa que 0.005726 (el numerador) representa aproximadamente el 59.9% de la distancia total, y como esta proporción debe ser cierta también para la distancia total entre las tasas, entonces la tasa que se busca debe ser igual a 0.018% menos 59.7% de la distancia total entre las tasas.

0.018 - 0.598766(0.018 - 0.0175) = 0.017700

Se puede verificar que esta tasa da una mejor aproximación del factor:

1- (1.0177)-6 = 5.645169

0.0177

Que es prácticamente igual al valor que se busca. Por ello, entonces, la respuesta del ejemplo es que la persona pagará una tasa del 1.77% mensual.

CONCLUSIONES

El uso de los pagos en forma de anualidad, es muy conveniente en muchas ocasiones ya que por lo general una persona no tiene el dinero suficiente para cubrir un pago requerido al comprar por ejemplo una casa, un auto, o algún otro producto o bien cuyo costo sea elevado. El costo total de la deuda como vimos anteriormente, se divide en pagos a plazos con cierta tasa de interés, esto facilita por supuesto la adquisición de ciertos tipos de productos o bienes que pueden ser adquiridos de esta forma.

Concluimos entonces, que es de vital importancia el conocimiento sobre éste tema, ya que cualquier persona en algún momento de su vida ya sea al comprar una casa, o un auto, o la renta de algún bien inmueble, tendrá que pagar algún tipo de anualidad; por ello es conveniente para los intereses personales el conocer cómo es que se determinan, y de esta manera no estar sujetos a engaños por parte de la empresa o la persona física que reciba el dinero de esas anualidades. Así también poder determinar por si mismo qué tipo de anualidad conviene para un caso determinado o el plazo más conveniente para no pagar demasiados intereses, o simplemente determinar cual conviene más para la situación personal que se esté dando en ése determinado momento.

• Díaz Mata, Alfredo, Aguilera Gómez Víctor Manuel, Matemáticas Financieras, Ed. Mc Graw Hill Companies Inc., Tercera edición, 1999.

• Cissell, Robert, Cissell, Helen, Flaspohler, David C. Matemáticas Financieras, Ed. Compañía Editorial Continental, décima sexta reimpresión, 2002.

1 Hele Cissel, David C. Flaspohler, Matemáticas Financieras pp.177

2 Alfredo Díaz Mata, Víctor M. Aguilera Gómez, Matemáticas Financieras pp.125,126