Algunas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli

Introducción:

La ecuación de Bernoulli es uno de los pilares fundamentales de la hidrodinámica; son innumerables los problemas prácticos que se resuelven con ella:

• se determina la altura a que debe instalarse una bomba

• es necesaria para el calculo de la altura útil o efectiva en una bomba

• se estudia el problema de la cavitación con ella

• se estudia el tubo de aspiración de una turbina

• interviene en el calculo de tuberías de casi cualquier tipo

Salida por un orificio: ecuación de Torricelli

El deposito de la figura contiene un liquido, y tiene en la parte inferior un orificio (O) provisto de una tubería (T) que termina en una válvula (V):

• la superficie libre del deposito se mantiene a una altura (H) constante con relación al plano de referencia (Z = 0) gracias a que en el deposito entra un caudal (Q) igual al que sale por la tubería

• el área de la superficie libre es suficientemente grande para que pueda considerarse la velocidad del fluido (V1 = 0)

• en el punto 1, la energía geodesica (Z1 = H)

• se despreciaran las perdidas

1

2

Ecuación de Torricelli: V = V2 =

Apliquemos entre los puntos 1 y 2 la ecuación de Bernoulli:

P1/Pg + Z1 + V21/ = P2/Pg + Z2 + V22/ 2g

O sea

O + H + O = O + O + V22/ 2g

Porque en 1 y 2 reina la presión atmosférica o barométrica que es igual a O (presión relativa)

Esta velocidad:

• es igual a la que adquiriría una partícula de fluido al caer desde una altura H.

• Es independiente del peso especifico del fluido.

• Es la velocidad teórica de salida en condiciones ideales

Tubo de Pitot

El tubo de Pitot fue ideado para medir la presión total, también llamada presion de estancamiento (suma de la presión estática y la dinámica)

P1 = Pt = P0 + V20

Pg Pg Pg 2g

Pt : presion total o de estancamiento

P0, V0 : presion y velocidad de la corriente imperturbada

Presion total o de estancamiento: Pt = Pg (l)

Donde: Pt = P0 + P V20

2

Instrumentación de medida de velocidades

Entre los instrumentos para medir la velocidad de un fluido, figura el tubo de Prandtl, cuyo fundamento es la ecuación de Bernoulli.

Es una combinación del tubo de Pitot y un tubo piezometrico; el de Pitot mide la presion total, el piezometrico mide la presion estática, y el tubo de Prandtl mide la diferencia entre las dos, que es la presion dinámica.

Al ser introducido en el fluido produce una perturbación, que se traduce en la formación en 1 de un punto de estancamiento, así:

P1 = Pt V1 = 0

Por ser el tubo muy fino y estar la corriente en 2 prácticamente normalizada después de la perturbación en 1, se tendrá, despreciando también las perdidas:

V2 = Vot

P2 = Po

Vot : velocidad teórica en la sección O

Ecuación de Bernoulli entre 0 y 1 (Z0 = z1, V1 = 0 - punto de estancamiento):

P0 + P Vot2 = P1

2

y según Ecs. P1 - P2 = p Vot2

yendo de 1 a 2 por el interior del manómetro, se podrá aplicar la ecuación fundamental de la hidrostática:

P1 = P2 + pga + pmgl - pgl - pga

Se deduce finalmente:

P V2ot = (pm - p) g l

2

despejando:

Vot = 2g(pm -p) l

P

Anemómetro de eje vertical

El fundamento de este instrumento es el siguiente: cuatro casquetes esféricos están dispuestos en los extremos de una cruceta, que puede girar libremente. Se comprueba que la resistencia al aire en la parte cóncava es aproximadamente tres veces mayor que en la convexa, lo que da origen a un par de giro. La velocidad del viento es aproximadamente proporcional al numero de revoluciones de la cruceta.

Anemómetro de eje horizontal

El anemómetro de paletas, no es mas que una turbina hélice accionada por el viento, que puede girar libremente en el interior de una caja cilíndrica. La velocidad del aire es aproximadamente proporcional y en todo caso, función del numero de revoluciones.

Molinete hidráulico

Consiste en una hélice de 6 a 12 cm de diámetro que arrastra por intermedio de un tornillo sinfín una rueda dentada provista de un contacto eléctrico, el cual cierre el circuito de un timbre o de un registrador de banda de papel. La velocidad del fluido es directamente proporcional al numero de revoluciones de la hélice, e inversamente proporcional al tiempo entre los timbrazos.

Anemómetro de hilo caliente

Consiste en un conductor de metal inerte soldado a dos electrodos. Uno de los conductores se introduce en la corriente de fluido y se calienta mediante una resistencia eléctrica. La corriente de fluido que baña el conductor la calienta, con lo que su resistencia eléctrica varia, esta variación, permite medir la velocidad del fluido.

El sifón

El dibujo representa un sifón que descarga agua por encima de una presa.

La altura total en la sección 1 es:

H = P1/pg + Z1 + V21/2g

Pero: P1/pg = 0 V1 = 0

Luego O + Z1 + O = H

La constante de Bernoulli vale, por tanto: H = Z1

Al despreciar perdidas, la altura total en el punto 2 valdrá:

H = P2/pg + Z2 + V22/2g

Pero

P2/pg = 0

Luego

O + Z2 + V22/2g = H

V22/2g = H - Z2

V = 2g (H - Z2)

Si el sifón es de sección transversal constante V2 = V será la velocidad del agua en todo el sifón.

En el punto A que es el mas alto del sifón, la H valdrá:

PA + ZA + V2 = H

Pg 2g

Y:

PA = H - ZA - V2

Pg 2g

Y siendo V2 = V

PA = H - ZA - H + Z 2= -(ZA - Z2) < 0

pg

El eyector

El eyector acelera o desacelera una corriente de fluido produciendo una depresión o compresión. Se llama inyector si se usa para producir una depresión y eyector para vacío

P1/pg + V21/2g = P2/pg + V22 /2g

P2/pg = Pt/pg - V22 - V21

2g

aplicando la ecuación de continuidad:

V2 = 4Q V1 = 4Q

d2 D2

donde Q = caudal de aire, y por tanto:

V12/2g = 8Q2 V22/2g = 8Q2

g2d4 g2D4

llevando estos valores a la ecuación tendremos:

P2 = P1 - 8Q2 D4 - d4

pg pg g2 D4 d4

Instrumentación de medición de volúmenes

Instrumentos volumétricos:

Miden el volumen en un intervalo de tiempo. Los principales se clasifican en:

• tanques volumétricos

• tanques gravimetricos

• contadores de volumen gastado

los dos primeros son los únicos medidores primarios.

Entre los contadores de volumen gastado se distinguen dos tipos:

• contadores de desplazamiento positivo: se construyen de muchos tipos; el rotor y la cámara de medición son de un fenol resinico muy resistente

• contadores de turbina: el rotor es igual al de una turbina hidráulica accionada por el mismo caudal

Instrumentación de medición de caudales

Los instrumentos para medir caudales se llaman caudalimetros y son un instrumento que mide el flujo instantáneo.

Se pueden medir en flujo cerrado o tuberías o en flujo abierto o canales.

Caudalimetros de flujo cerrado: se reúnen en dos grupos:

• de área de paso constante: es el mas importante, consta de un elemento deprimogeno y un manómetro diferencial. El caudal es proporcional a la raíz cuadrada de la caída de presión. Los elementos deprimogenos mas importantes son:

• tubo de Venturi: su función es crear diferencia de presiones, consta de tres partes: una convergente, una divergente y otra de sección mínima

• toberas de medida: son conductos divergentes en la dirección del flujo que producen un aumento de velocidad y una disminución de la presión.

• Diafragmas: es una placa de metal que lleva un orificio circular concéntrico con el eje de la tubería.

• Otros elementos deprimogenos: codos, cámaras espirales, válvulas

• de área de paso variable: los mas importantes son los rotametros, que consta de un tubo cónico vertical abierto por arriba y abajo un flotador, el cual tiene ranuras inclinadas en su periferia

• electromagnéticos

• de ultrasonido

Índice:

• Ecuación de Torricelli

• Tubo de Pitot

• Instrumentación de medida de velocidades

• Instrumentación de medición de volúmenes

• Instrumentación de medición de caudales

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