ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Trabajo Práctico Nº2

Práctica Nº5

4.a - Dada



, graficar su imagen

> r[t]:=[3*cos(t^3),3*t^3,3*sin(t^3)],t=0..(2*Pi)^(1/3),u=0..1;

> with(plots):

> plot3d(r[t],axes=normal,numpoints=5000);

21.a - Calcular el vector gradiente de la siguiente expresión:

en

> f:=(x,y)->exp(x*y)*cos(x)*sin(y);

> with(linalg):

> simplify(grad(f(x,y),[x,y]));

> eval(%,[x=Pi/4,y=Pi]);

25 - Una carga puntual, de valor q, ubicada en el origen, produce un potencial V:

a - Encontrar la ley V=V(r)

> V:=r->k*q/(abs(r));

> V:=(x,y,z)->k*q/sqrt(x^2+y^2+z^2);

b - Verificar que V es solución de la ecuación de Laplace:

> with(linalg):

> Vxx:=diff(V(x,y,z),x$2);

> Vyy:=diff(V(x,y,z),y$2);

> Vzz:=diff(V(x,y,z),z$2);

> Laplace:=Vxx+Vyy+Vzz;

> simplify(Laplace);

Con esto queda comprobado que:

31 - Para el punto
, el diferencial de la variable, dr, y las funciones que siguen a continuación, calcule el diferencial dz y compare con el correspondiente incremento de la función:

Diferencial de la función:

> z:=(x,y)->ln(x^2+y^2);

> with(liesymm):

> setup(x,y);

> dz:=d(z(x,y));

> eval(dz,[x=1,y=0,d(x)=-0.1,d(y)=0.31]);

Incremento de la función:

> Delta:=(z,x,y,dx,dy)->z(x+dx,y+dy)-z(x,y);

> Delta(z,1,0,-0.1,0.31);

Práctica Nº6

3 - Dada la función compuesta z=ln sen
, donde
, hallar z'=

> z:=(x,y)->ln(sin(x/sqrt(y)));

> r:=t->[3*t^2,sqrt(t^2+1)];

> with(linalg):

> zr:=dotprod(grad(z(x,y),[x,y]),diff(r(t),t),orthogonal);

> factor(zr);

> eval(%,[x=3*t^2,y=sqrt(t^2+1)]);

42 - Siendo "
" y "
" funciones de
e
obtenga
en el sistema:

> F1[1](x,y,u,v):=0;

> F1[2](x,y,u,v):=0;

> F1[1]:=(x,y,u,v)->u+x+y-v;

> F1[2]:=(x,y,u,v)->v*exp(u)+sin(x*v)-1;

> with(liesymm):

> setup(x,y,u,v);

> solve({d(F1[1](x,y,u,v))=0,d(F1[2](x,y,u,v))=0},{d(v),d(u)});

> collect(op([1,2],%),[d(x),d(y)]);

> u[y]:=eval(%/d(y),[d(x)=0]);

49 - Considerar que
e
son las variables independientes y que las demás variables quedan definidas en función de esas dos, a través del sistema que se indica a continuación. Obtener las derivadas parciales de primer orden de todas las demás variables dependientes del sistema.

> F[1](x,y,z,u,v):=0;

> F[2](x,y,z,u,v):=0;

> F[3](x,y,z,u,v):=0;

> F[1]:=(x,y,z,u,v)->a*cos(u)*cos(v)-x;

> F[2]:=(x,y,z,u,v)->b*sin(u)*cos(v)-y;

> F[3]:=(x,y,z,u,v)->c*sin(v)-z;

> with(liesymm):

> setup(x,y,z,u,v);

> dF:=solve({d(F[1](x,y,z,u,v))=0,d(F[2](x,y,z,u,v))=0,d(F[3](x,y,z,u,v))=0},{d(z),d(u),d(v)});

> dz:=collect(op([1,2],dF),[d(x),d(y)]);

> z[x]:=expand(eval(dz/d(x),[d(y)=0]));

> z[y]:=expand(eval(dz/d(y),[d(x)=0]));

> du:=collect(op([2,2],dF),[d(x),d(y)]);

> u[x]:=expand(eval(du/d(x),[d(y)=0]));

> u[y]:=expand(eval(du/d(y),[d(x)=0]));

> dv:=collect(op([3,2],dF),[d(x),d(y)]);

> v[x]:=expand(eval(dv/d(x),[d(y)=0]));

> v[y]:=expand(eval(dv/d(y),[d(x)=0]));

59 - Determine los puntos extremales y verifique si los mismos constituyen puntos de ensilladura, máximos o mínimos relativos:

> F:=(x,y)->x^2*y^2;

> with(linalg):

> G:=grad(F(x,y),[x,y]);

> solve({G[1]=0,G[2]=0},{x,y});

Combinando este resultado se obtiene:

> P[1]:=[0,0];

P[2]:=[0,y];

P[3]:=[x,0];

>MD2:=(f,x,y)->
matrix([[diff(f,`$`(x,2)),diff(f,x,y)],[diff(f,y,x),
diff(f,`$`(y,2))]]);

> eval(MD2(F(x,y),x,y),[y=0,x=x]);

> det(%);

> eval(MD2(F(x,y),x,y),[x=0,y=y]);

> det(%);

> eval(MD2(F(x,y),x,y),[x=0,y=0]);

> det(%);

Hay 3 extremos relativos, pero no se pueden determinar de esta manera, por lo tanto se procede a determinarlos en forma gráfica:

> with(plots):

> plot3d(F(x,y),x=-2..2,y=-2..2,view=-2..5,orientation=[-20,45],numpoints=2000,axes=normal);

Como se puede ver en la gráfica, los 3 extremos relativos encontrados son mínimos relativos, donde:

"(
)¹(0,0) Þ
\
es mínimo relativo

"(
)¹(
) Þ
\
es mínimo relativo

"(
)¹(
) Þ
\
es mínimo relativo

61 - Ídem al ejercicio anterior para:

> F:=(x,y)->x^2+y^2+2*x*y-x-y-5;

> with(linalg):

> G:=grad(F(x,y),[x,y]);

> solve({G[1]=0,G[2]=0},{x,y});

De este resultado se obtiene:

> P:=(x,-x+1/2);

> MD2:=(f,x,y)->matrix([[diff(f,`$`(x,2)),diff(f,x,y)],[diff(f,y,x),diff(f,`$`(y,2))]]);

> eval(MD2(F,x,y),[x=-y+1/2,y=y]);

> det(%);

Una vez más encontramos un extremo no determinable de esta manera, entonces se analiza la gráfica:

> plot3d(F(x,y),x=-10..10,y=-10..10,view=-6..5,orientation=[-110,60],numpoints=2000,axes=normal,style=patchcontour);

Se puede ver en la grafica que f(x,y) es constante a lo largo de toda una recta. Dicho valor constante es:

> simplify(F(P));

Se puede comprobar, completando cuadrados, que:

> F(x,y)=((x+y)-1/2)^2-21/4;

> F_1:=(x,y)->(x+y-1/2)^2-21/4;

> F_1(P);

Se puede ver a simple vista que si (
)¹
el primer miembro de la suma será mayor que cero (ya que está elevado al cuadrado).

\
Þ P es mínimo relativo, donde P es el conjunto de puntos pertenecientes a la recta

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