DEFINICION DE FUERZA AXIAL.

Cuando suponemos las fuerzas internas uniformemente distribuidas, se sigue de la estática elemental que la resultante P de las fuerzas internas debe estar aplicadas en el centroide de C de la sección. Esto significa que una distribución uniforme de esfuerzos es posible únicamente si la línea de acción de las cargas concentradas P y P´ pasa por el centroide de la sección considerad. Este tipo de carga se conoce como carga axial centrada y supondremos que se produce en todos los elementos sujetos a dos fuerzas que encontramos en cerchas y en estructuras conectadas por articulaciones.

DEFINICION DE ESFURZOS CORTANTES.

Debe existir fuerzas internas en el plano de la sección y que su resultante debe ser igual a P. estas fuerzas internas elementales se llaman fuerzas cortantes y la magnitud P de su resultante es el cortante en la sección. Dividiendo la fuerza cortante P por el área A de la sección obtenemos en el esfuerzo cortante promedio en la sección. Los esfuerzos cortantes se presentan normalmente en pernos, pasadores y remaches utilizados para conectar varios miembros estructurales y componentes de máquinas.

DEFINICION DE MOMENTO FLEXIONANTE.

Un diagrama de fuerzas cortantes o un diagrama de momentos flexionantes es una grafica que muestra la magnitud de la fuerza cortante o momento flexionante a lo largo de la viga.

¿CUANTOS TIPOS DE INDETERMINACIONES HAY?

En la discusión de las vigas estáticamente indeterminadas es conveniente referirse al grado de indeterminaciones. El grado de indeterminaciones es el número de reacciones redundantes de la viga. Se determina restando el número de componentes reactivas que puede colocarse por medio de la estática, del número total de componentes reactivas de la viga. Por ejemplo en la figura 8.1 (b), hay cuatro componentes reactivas (RAX, RAY, RBY, RCY), tres de las cuales puede determinarse mediante las ecuaciones de la estática. La viga de la figura 8.1 (b) se dice que es indeterminada de primer grado y que los cuatro reactivos menos las tres determinadas por la ecuaciones de estática dan una reacción redundante. Análogamente la viga de la figura 8.1 (c) es indeterminada de segundo grado y la figura 8.1 (d)es indeterminada de tercer grado.

¿CUANTOS TIPOS DE APOYO, NUDOS O SOPORTES SE PUEDEN IDENTIFICAR O CONSTRUIR UNA ESTRUCTURA?

Vigas simplemente apoyadas: las reacciones de la viga ocurren en sus extremos.

Vigas en voladizo: un extremo de la viga esta fijo para impedir la rotación; también se conoce como un extremo empotrado, debido a la clase de apoyo.

Vigas con voladizo: uno o ambos extremos de la viga sobresalen de los apoyos.

Vigas continuas: una viga estáticamente indeterminada que se extiende sobre tres o más apoyos.

Sin carga: la misma viga se considera sin peso (o al menos muy pequeño con las demás fuerzas que se apliquen).

Carga concentrada: una carga aplicada sobre un área relativamente pequeña (considerada aquí como concentrada en un punto).

Carga uniformemente distribuida sobre una porción de la longitud de la viga.

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

Es un método muy versátil para calcular desplazamientos en las estructuras. Estos desplazamientos pueden ser debidos a cargas de cualquier tipo, cambios de temperatura, contracciones en al material estructural o errores de fabricación. La expresión básica para el trabajo virtual es:

Trabajo virtual = trabajo virtual interno

We = Wi

En la ecuación anterior se puede expresar el primer término como el producto de una carga desconocida por el desplazamiento buscado. El segundo termino se puede expresar en función de los elementos mecánicos de la estructura lo cual se hará en seguida:

Considérese la armadura mostrada en la fihura, la cual esta sujeta a un sistema de cargas P, y en la cual se desea calcular el desplazamiento vertical
en el punto A.

Considérese ahora la misma armadura sujeta a una carga F en el punto A en la dirección de
.

Si se denomina como N de las fuerzas axiales en los elementos debidas al sistema de carga P, y como n a las fuerzas axiales en los elementos debidas a la carga F, se tiene, según BETTIQUE:

Donde el termino con paréntesis es el alargamiento o acortamiento de cada elemento de la estructura debido a la aplicación de la carga F. por lo tanto:

Si se da a F el valor unitario (puede ser cualquier valor) se tendrá:

En forma semejante se puede establecer las expresiones del trabajo virtual interno para los demás elementos mecánicos y se obtiene:

BARRA	LONGITUD	L/EA
EC	500	.234X10-4	.93X10-3	-1.25	-0.027	O	0
DA	300	.140X10-4	.56X10-3	0.75	0.006	1.0(-)	0.008
DC	400	.187X10-4	.75X10-3	0	0	0	0
ED	300	.140X10-4	.56X10-3	-0.75	-0.006	1.0(-)	0.008
AC	500	.234X10-4	1.87X10-3	1.25	0.0547	0	0
CB	300	.140X10-4	1.69X10-3	1.50	0.034	0	0
AB	400	0	0	0	0	0	0

=0.06cm

ENERGIA DE DOFORMACION PARA CARGAS AXIALES

La barra simple de la estructura de la figura 13.4 tiene una carga Q aplicada gradualmente. Si el sistema se conserva elástico, el trabajo externo es Q D/2.

La figura 13.5 indica una barra sujeta a la aplicación gradual de una carga P. la barra experimentará un alargamiento total
. La deformación interna de un segmento de la barra, de longitud dx (figura 13.5 b) es igual a la fuerza promedio por el cambio de longitud de dx.

La energía total de deformación para toda la barra es la suma de las energías de deformación para cada segmento:

ENERGIA DE DEFORMACION PARA CARGAS CORTANTES

La figura 13.11 (a) indica una viga de sección transversal rectangular. Las cargas extremas producen una fuerza cortante interna V. El esfuerzo cortante no esta distribuido uniformemente. Sobre la sección transversal, si no que varia según la ecuación como
. Consideremos una fibra tal como lo indica la figura 13.11 (b). El trabajo que se realiza mientras que la fibra de longitud dx esta siendo distorsionada es trabajo =
.

El movimiento
es igual A
ya que los ángulos son pequeños y

El área dA es igual a bdy, segunda Fig.13.11(c). el ángulo
representa la deformación unitaria por cortante.

ENERGIA DE DEFORMACIONES PARA CARGAS DE FLEXION

La fig. 13.7 indica una viga con una carga concentrada actuando en B. el trabajo externo involucra el movimiento de la fuerza Q a travez de la deflexion
de la viga. El trabajo externo es igual a
, y recomendamos otra vez la relacion lineal carga-deflexion.

La energia interna de deformación para un segmento de longitud dx se determina sumando la energia de deformación dU para cada fibra que existe en dx. Primero considerando la deformación en una sola fibra localizada a una distancia y a partir del eje neutro(fig. 13.8b).

ENERGIA DE DEFORMACIONES PARA CARGAS DE TORSION

La fig. 13.12 indica una flecha circular sujeta a un par de torsión T. el trabajo externo involucra el movimiento del par T a traves de la rotacion
. El trabajo externo es
.

La energia interna de deformación dU para un segmento dx en la figura 13.12b es

la energia de deformación en toda la longitud de la flecha se obtiene sumando la energia de deformación para cada segmento. Este se convierte en

MODULOS DE ELASTICIDAD Y RAZONES DE POISSON

MATERIAL		MODULO DE ELASTICIDAD				MODULO DE ELASTICIDAD CORTANTE			RAZON DE POISSON
		Ksi	Gpa			Ksi		Gpa
Hierro Fundido		12000-5000			83-170	4600-10000		32-69			0.2-0.3
Concreto (compresión)		2500-4500 baja-2600 alta-4400			17-31 18 30						0.1-0.2
Piedra Granito, mármol Cuarzo, piedra caliza		6000-14000 3000-10000			40-100 20-70						0.2-0.3 0.2-0.3
Acero		28000-30000			190-210	10800-11800		75-80			0.27-0.30
Madera (flex) Pino douglas Roble Pino del sur		1600-1900 1600-1800 1600-2000			11-13 11-12 11-14
Tugsteno		50000-55000 14000			340-380 97	21000-23000 5600					0.2 0.25

MOMENTO POLAR DE INERCIA

Puede determinarse un momento de inercia usando coordenadas polares en vez de las coordenadas rectangulares de las secciones anteriores el momento polar de inercia se define como:

donde:

d = momento polar de inercia

r = distancia radial del elemento de area

dA = area elemental considerada en m2.

Usando el teorema de Pitágoras

pero
, entonces

por definición

por consiguiente

OBTENCION DE LA ENERGIA DE DEFORMACION

Carga axial. Datos:

fuerza cortante

momento flexionante

EJERCICIO

datos:

EJERCICIO

CALCULO DE LAS FUERZAS EN LOS SEGMENTOS DE LA ESTRUCTURA (TODOS LO SEGMENTOS ESTAN ARTICULADOS)

CALCULO DE LAS REACCIONES

(ángulos a 45 grados)

BARRA	LONGITUD	L/EA	N	N2L/EA
A-B	3	0	0	0
B-C	3	7.14X10-6	-5	0.18X10-3
D-E	3	14.29X10-6	5	0.36X10-3
A-D	3	14.29X10-6	-10	1.43X10-3
D-B	4.24	4.04X10-6	-7.1	0.20X10-3
E-B	3	2.86X10-6	-5	0.07X10-3
E-C	4.24	20.19X10-6	7.1	1.02X10-3

EJERCICICIO

PARA EL CASO DEL ESTUDIO DEL GIRO EN X=L/4

Del equilibrio se tiene

DIAGRAMAS DIAGRAMAS

CORTANTE CORTANTE(virtual)

DIAGRAMAS DIAGRAMAS

MOMENTO MOMENTO(virtual)

CONTRIBUCION DE CORTANTE

CONTRIBUCION POR FLEXION

EJERCICIO

CALCULAR EL DESPLAZAMIENTO MÁXIMO EN LA ESTRUCTURA

Solución

Calculando las reacciones

para conocer
se aplica el método de carga virtual unitaria

De la estática se obtiene que

Obtención de

MOMENTOS DE INERCIA

de la relación fuerza-desplazamiento se tiene que

OBTENER LOS VALORES DE

RESOLVER EL SIGUIENTE MARCO POR EL METODO DE RIGIDECES

Solución particular

Solución complementaria

Los momentos de empotramiento en los nudos 1 y 2

los valores de las rigideces en los nudos para los diferentes estados de deformación supuestos, son:

las ecuaciones de equilibrio son:

sustituyendo los valores

resolviendo el sistema de ecuaciones anterior

una vez determinados los giros y desplazamientos en marco, se calcularan los momentos reales en dicho marco

las reacciones y diagramas de momento, fuerza cortante y normal se determinan como sigue

reacciones en el marco

diagrama de fuerza normal

diagrama de fuerza cortante

diagrama de momentos

Para la estructura que se indica, se requiere conocer los valores de las reacciones y los diagramas de fuerzas axiales, cortante y momentos flexionantes.

I

Vigas secundarias

3m

Trabes y estructura particular

5m rígida

I'

La estructura se presenta de la siguiente forma:

Corte I - I'

3m 5m

Se considera que:

REDUNDANTES

ESTRUCTURA PARTICULAR

3m 1.5 2 1.5

Solución complementaria

C-1

C-2