Matemáticas
Álgebra. Matrices
MATRICES
- Determinar 
- Dadas las matrices, comprobar que (B•A)T = AT•BT :
- Decir, cuales de estas matrices son multiplicables y obtener el producto:
- Si A = (aij) = (i-j) y B =(bij) = [ (-1)i+j + 2j+1 ], calcular las matrices: A+B , 2A-3B y A•B siendo A,B " M3.
- Sea A " Mn . Probar que :
B = A + At es una matriz simétrica. ( Bt = B)
C = A - At es una matriz antisimetrica ( -Ct = C)
Si S = 1/2(A + At) y H = 1/2(A - At) entonces S + H = A.
- Determinar x é y para que 
. Sol : x=1 y=4
- Resolver el sistema matricial : 
; 
- Calcular X2 - Y2 siendo 
; 
- Hallar la matriz A tal que: 
- Encontrar las matrices cuadradas que conmutan con
- Demostrar que las matrices de la forma 
y 
conmutan para cualquier valor de a, b,c, d.
- Demostrar que las matrices 
y 
conmutan.
- Sean A,B y C tres matrices cuadradas de orden n. ¿ Son ciertas las igualdades siguientes ? Justifícalo.
(A+B)2 = A2 + 2 AB + B2
(A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A+B+C)(A+B-C) = (A+B)2 - C2
- Sean 
y 
. Determínese C para que B = C•A.
- Determinar A " M2 tales que
A2 = I c) A2 = 0
A2 = A ( matriz idempotente ) d) At•A = 0
- Sea A una matriz tal que A2 = A, si B = 2A-I probar que B2 = I.
- Demostrar que si A es una matriz idempotente, es decir A2 = A , entonces B = I - A es idempotente y además A"B = B"A = 0.
- Sea A una matriz cuadrada tal que A2 = A. Demuéstrese que An=A.
- Calcular las potencias n-esimas de las matrices siguientes :
- Dada la matriz 
, hallar B = A + A2 + A3 + .... + An.
- Dada la matriz 
, calcular S = I + A2 + A3 + ..... + An + ......
- Si A"B = A"C . ¿ Podemos asegurar que B = C ?
Si A"B = 0 . ¿ Podemos asegurar que A = 0 ó B =0 ?
- Si M satisface que M"P = P"M y M"N = N"M. ¿ se cumplirá que (P"N) "M = M" (P"N) ?
- Probar que todas las potencias de una matriz diagonal también son diagonales.
- Probar que :
El producto de dos matrices simétricas no es en general una matriz simétrica.
Si C = { A"M2 / A = At y a11 = a22} el producto de dos matrices de C es una matriz de C.
- Demostrar que la matriz 
es inversa de si misma.
- Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que A2 + A + I = 0. Probar que A es inversible y calcular su inversa.
- Si 
, demostrar que A2-4A-5I = 0 y calcular A-1. (NOTA : comprobar este ejercicio 28)
- Sea A una matriz cuadrada tal que A2 = A + 2I. Se pide:
Probar que A posee inversa.
Hallar las matrices diagonales de orden 2, que verifican esta relación.
- Hállese B tal que A"B = I siendo 
¿Es A inversible?
- Dada la matriz 
. Hallar la inversa a derecha de A. ¿ Es A invertible ?
- Dada la matriz: 
en la que se verifica que x2 + y2 + z2 = 1 , determinar:
i) M2 ii) P = M2 + I iii) P"M iv) Comprobar que P es idempotente.
DETERMINANTES
- Determinar el valor de los siguientes determinantes:
a)%-1 2 3 % b)%-1 0 0 % c)%3 -1 4 5 % d)% a b c % e)% 1 -1 6 %
% 4 5 1 % % 2 1 6 % %1 -1 2 3 % %-1 2 3 % % 2 1 4 %
% 6 3 1 % % 4 1 3 % %0 9 6 7 % % 4 1 6 % %-3 0 a %
%2 0 0 3 %
- Calcular los determinantes por el método de Sarrus, desarrollando por los elementos de una línea y haciendo ceros.
%1 -1 3% %4 2 3%
%1 -3 7% %8 2 1%
%2 0 -1% %2 0 1%
- Calcular, usando la definición de determinante:
- Determinar el valor de "a" en los siguientes casos:
a) % a -7 4 % b) %a+1 -7 0 %
%-1 a 3 % = 0 % 4 0 1 % = 6
% 2 0 1 % % 3 2 a-2%
- Probar que : 
para todo a"R.
- Desarrollar los determinantes de Vandermonde:
- Demostrar que 
es múltiplo de 13, sin desarrollar el determinante.
- Justificar sin desarrollar que:
a) % 1 1 1 % b) %a-b-c 2a 2a %
% a b c % = 0 % 2b b-a-c 2b % = (a+b+c)3
%b+c a+c a+b% % 2c 2c c-a-b%
- Demostrar sin desarrollar que:
% 1 a b+c% % 1 3 5 7 %
a) % 1 b a+c% = 0 b) % 3 5 7 9 %
% 1 c a+b% % 5 7 9 11%
% 7 9 11 13%
- Calcular :
a) %0 -1 0 0 % b) %-1 2 3 0 %
%1 1 -1 0 % % 8 0 0 1 %
%0 1 0 1 % % 0 1 0 0 %
%0 0 1 0 % %-1 0 3 -1 %
- Demostrar aplicando las propiedades de los determinantes que
iii) 
- Calcular los determinantes: %a b c 1%
a) %x y 0 0% b) %x y 0 .... 0% iii) %b c a 1%
%0 x y 0% %0 x y .... 0% %c a b 1% = 0
%0 0 x y% %............% %b+c a+c a+b %
%y 0 0 x% %0 0 0 .. x y% %%%% %%% %%% 1%
%y 00 ... 0 x% % 2 2 2 %
- Sea 
. Razonar que su desarrollo es un polinomio de grado menor o igual que 4. Resolver la ecuación p(x) = 0 sin desarrollar el determinante.
- Razonar que el determinante
es nulo para x=-1 , x=2 y x=3. ¿ es nulo para algún otro valor de x ?
- Demostrar que 4 es el valor máximo que puede tomar un determinante de tercer orden cuyos términos son todos +1 ó -1.
- Determinar el rango de cada una de las siguientes matrices:
- TEORIA. Demostrar que det (A-1) = 1 / det (A)
- Calcular la inversa de cada una de las matrices:
a) %1 2% b) %2 0% c) %a b% d) %5 2 0% e) %1 0 0%
%3 4% %0 1% %c d% %4 2 6% %0 1 0%
%2 3 6% %0 0 4%
f) % 1 3 4% g) %-2 1 4%
%-2 1 0% % 0 -4 2%
% 7 7 12% % 3 0 2%
- Calcular utilizando sistemas de ecuaciones la inversa de las matrices:
%2 0 1% %1 0 0% %3 2 1%
A = %1 2 1% B = %0 -3 8% C = %0 -1 2%
%0 0 1% %0 -2 5% %1 0 2%Solucion : %2 4 -5%
- Dada la matriz 
. Se pide :
Determinar el rango (A)
Comprobar que A2 - 2A + I = 0
Calcular A-1
- Determinar en función de ß, el rango y las inversas de las matrices:
%1 1 1 % %1+ß 1 0% %3 -2 1 %
A = %ß 1 ß-1% B = % 1 1 1% C = %ß 1 ß+2%
%1 ß 1 % % 0 1 2ß% %0 ß+3 4 %
%ß 3 -1% %ß ß+3 1% %2ß+2 3 ß %
D = %0 ß+1 2% E = %2 4 -1% F = %4ß-1 ß+1 2ß-1%
%4 0 1% %1 -6 0% %5ß-4 ß+1 3ß-4%
F=3-62+11-6; =1,2,3
- Calcular el rango, según los valores de a y b:
- Estudiar para que valores del parámetro "k" son linealmente independientes los vectores : u(6,18,-k) , v(7,-2,-4) y w(4,10,-6). Sol : k=10
- Probar, sin desarrollar, que no puede ser dos el rango de la matriz:
- Una matriz de 3 filas y 5 columnas. ¿ Puede ser 5 su rango ? ¿puede se 2? ¿ Puede variar el rango si se suprime una columna ?
- Una matriz tiene 3 filas y 3 columnas y su rango es 3. ¿ Como puede variar el rango si le quitamos una fila ? Si quitamos una fila y una columna ¿ podemos asegurar que el rango de la matriz resultante sea 2 ?
- Dar ejemplos de matrices A " M4x3 de forma que rango(A) = 2, 3 y 4 respectivamente.
- Si a todos los elementos de una matriz se le suma un numero ¿ Puede variar su rango ?
SISTEMAS DE ECUACIONES
- Estudiar y resolver los sistemas que se proponen como ejemplo:
2x - 3y + z = 0 % x - 2y + z = 0 % x - 2y + z = 0 %
2x - y + 3z = 4 % 3x + 2y - 3z = 2 % -x + 3y - z = 1 %
4x + 2y - z = 5 % 2x + 4y - 4z = 2 % -x + 3y - z = 7 %
S. comp. deter. S. comp. indet. S. incompatible
2x + y - z = 0 % x - y + z - t = 1 % x+y-z=0 %
2y + 3z = 5 % 2x + 3y - 2z + t = 3 % 2x-y+z=0 %
4z = 4 % S. doblemente indet 4x+y-z=0 %
S. triangular S. homogéneo
- Estudiar y resolver los sistemas siempre que sea posible:
a) 3x-2y+z=-1 % b) 2x-y=1 % c) x+3y=3 % d) 3x-y+3z=-1 %
2x+y-z=2 % x+3y=-2 % 3x+5y=7 % x+y-5z=2 %
x-3y+z =0 % 5x-4y=7 % 2x+4y=5 %
e) x+y-z+t=4 % f) 3x-4z=-2 % g) 7x-2y+11=0 %
2x-y+3z+2t=-1 % 4y+3z=1 % 5z-y+x=0 %
-4x+5y-11z-4t=11 % x+6y+5z=8/3 % 2z-x-7=0 %
2x+y-11z+33=0 %
- Resuelve el sistema a11x + a12y = b1 %
a21x + a22y = b2 %
y comprueba que la solución coincide con la obtenida por el método de Cramer. ¿En que condiciones?
- Resolver aplicando la regla de Cramer :
a)2x+y=4 % b) 2x-3y=8 % c) x+y+z=6 % d) 3x+y+z=2 % e) x-y+2z=18 %
3x-y=2 % x+y=6 % x-y+2z=5 % 2x+2y+z=5 % 2x+4y-z= 0 %
x+y-z=0 % x-y+z=0 % x-y-z= 0 %
- Dado el sistema 3x1 + 2x2 + x3 = 3
-x2 + 2x3 = 1
x1 + 2x3 = 0
Obtener la inversa de la matriz de coeficientes.
Resolver el sistema dado.
Comprobar que X = A-1.BSolucion: 2 4 -5 10
- Estudiar y resolver los sistemas:
a) x +y +z +t = 6 b) 2x+3y-z = 1
x -y +z -t = -2 x -y -z = 2
3x-y +3z- t = 2 -x-y+3z = 0
7x-5y+7z-5t = -6
- Resolver por el método de Gauss los sistemas:
a) x-y-z = 6 b) 2x-5y+3z = -12
x+y-2z = 0 3x+2y-5z = 1
x+y+z = 12 7x-4y+2z = 0
- Resolver por el método de Gauss los sistemas:
a) 3x+2y+z=1 % b) x1 + 2x2 + x3 - x4 + x5 = 5 %
5x+3y+4z=2 % 2x1 - 5x2 + 4x3 + x4 - x5 = -3 %
x+y-z=1 % x1 - 4x2 + 6x3 + 2x4 + x5 = 10 %
% %
% % %x% % % % % % % % %
c) %-1 2 3 0% %y% %-1% d) %-5 3 5% %x% %-3%
% 4 1 2 -1% %z% = % 2% % 8 6 7% %y% = % 5%
% 2 1 3 4% %t% % 5% % 4 -1 2% %z% % 4%
% % % % % % % % % % % %
% % % % % % % % % % % %
e) %4 -1 5% %x% %0% f) % 5 12 % %x% %-1%
%3 2 1% %y% = %0% % 6 13 % %y% = % 3%
%6 4 5% %z% %0% % 1 -5 % % % % 2%
% % % % % % % % % %
- Discutir y resolver en su caso los siguientes sistemas
a) x-2y = 2 b) y +at = 1
x+y = 3 y+z+t = 2
x+ay = 4 x+y = 3
- Discutir los sistemas de ecuaciones según el valor del parámetro "a" y resolverlo en los casos en que corresponda:
a) ax-2y = -1 b) x +y = -2 c) x +az = -a
2x-y-az = 1 3x+y = 2a x+y+3z = 5
-x +2z = 1 3x+ay =-1 2x+ay = 0
d) (a-1)x+ (a-1)y = a e) x+2y-5z+at = 0 f) x +az = -a
ax + (a-1)y = a-l 2x-3y+2z+3t = 0 x-y-3z = 5
ax-7y+z-6t = 0 2x-ay = 0
- Hallar "c" para que el sistema sea compatible. Resolverlo en ese caso.
x - 3y = 1
2x + y = 3
3x - 2y = c
- Determinar el valor de b para que el sistema sea compatible:
a) bx+y-z = 1 b) bx+y+z = b2 c) 2x-2y-2z+14 = 0 f) 2x-by+4z = 4
-x+by+z = 1 x- y+z = 1 5x-2y +z -4 = 0 x +z = 2
x-y+bz = 1 3x-y-z = 1 x +y +z -9 = 0 x+ y+ z = 2
6x-y+z = 3b 2x -y+2z -b = 0
- Estudiar según los distintos valores del parámetro ß los sistemas y resolver cuando sea posible:
a) x + 2z + t = 1 % b) 3x + y + ßz = 2% c) 5x - 11y + 9z = ß%
3x - y + t = ß % -x + y + z = 1 % x - 3y + 5z = 2%
2x - y - 2z = 6 % x + 2y + 3z = 3% 2x - 4y + 2z = 1%
- Discutir según los diferentes valores de los parametros:
a) 3x - 2y +az = 2% b) ax + 2y + 3z = 1% c) ax + y + z = 1%
x - y + z = 0% 3x + ay + 2az = 0% x + ay + z = 1%
ax + 2y -2z =-3% y + 3z = 2% x + y + az = 1%
d) 3x - 2y + z = 0% e) 3x - 2y + 5z = 1%
2x + y - z = 5% ax - y + 3z = b%
-5x + 8y - 5z = b% x - y + z = 3%Solucion : e) %A%=5-3a % 3 a # 5/3 % 2 b = -1/3
- Discutir y resolver en los casos en que el sistema sea compatible:
a) 5x-11y+9z = k b)) (a+1)x + 6y = 9
x-3y+5z = 2 ax +(a+2)y = a+4
2x-4y+2z = 1
- Dados los sistemas:
a) x + 3y + z = 5% b) kx + y + z = 3 %
kx + 2z = 0% kx - y + z = 1 %
ky - z = 0% kx + y - z = k-1%
Determinar los valores de k para los que existe solución y para ellos hallar la solución.Solucion: b) %A%=4k ==> k # 0 (S.Cramer) k=0 rg(A)=2
Consideremos el sistema : 2x1 - 3x2 + 5x3 = 4 %
x1 - 2x2 + x3 = 0 %
x1 + x2 - x3 = 1 %
Comprobar si (8,4,0) es solución. (Ojo: no sale indeterminado)
Comprobar que x1=x2=x3=1 es solución.
Obtener la soluciones del sistema homogéneo asociado.
Obtener todas las soluciones.
Directamente.
Sabiendo que : S.T. = S.P. + S.H.
- Calcula el valor de p que hace compatible el sistema:
2x + y - 4z = p %
2y - z = p %
y + z = 6 %
3x - z = 11%
- Dado el sistema de ecuaciones
(m2-1)x+ (m+1)2y = m+1
(m+1)x + (m-1)y = m+1 Se pide:
a) Discutirlo, encontrando los posibles valores de "m" para que sea compatible y determinado, compatible e indeterminado e incompatible, respectivamente.
b) Resolverlo en el caso en que sea compatible y determinado.
- Dado el sistema :
ax+2y=1 %
x+2y=3 % Calcula a y b para que sea compatible determinado.
-x+3y=2 %
2x+by=0 %
- Estudiar el sistema :
qx + py = 1-qp2
pq(x+y) = -p2q2
px + qy = 1-pq2
- Discutir y resolver los sistemas homogéneos, según los valores de k:
a) 2x + ky + 4z = 0% b) 6x + 18y - kz = 0%
x + y + 7z = 0% 7x - 2y - 4z = 0%
kx - y + 13z = 0% 4z + 10y - 6z = 0%
- Determinar a para que el sistema tenga una solución distinta de la trivial y resolverlo:
a) 2x-y +z = 0 b) -ax-y-z = 0 c) x-2y+3z = 0 d) 2x-ay+z = 0 3x-2y+3z = 0 x+ay+2z = 0 ax+y-5z = 0 2x-2y+z = 0
ax-y+ z = 0 -x +y-z = 0 3x-5y+4z = 0 4x+2y+7z = 0
ax+2y-4z = 0
- Determinar a y b que hacen compatible el sistema:
x - ay + z = 0
x + y - z = 0
bx - 2y - 5z = 0
2x + y + z = 0 Resolverlo cuando sea posible.
- Determínese un sistema de tres ecuaciones lineales homogéneas con cuatro incógnitas que admita como soluciones a (1,1,0,0) , (0,1,1,0) , (1,2,1,0) u no admita como solución a (0,0,0,33).Solucion: Planteada la forma matricial AX=0 A (3x4) y X (4x1) se escriben las ecuaciones resultantes para cada solucion. Observese que la tercera es la suma de la otras dos.
- Hallar un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas que admita como soluciones a (1,2,1) y a (3,-1,2).
- Dictar problema del tipo : S.G.=S.P.+S.H.
Añadir problemas de eliminación de parámetros.
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| Enviado por: | Javier Yañez |
| Idioma: | castellano |
| País: | Argentina |
Todos los derechos reservados.