EXAMEN PRIMER PARCIAL ALGEBRA 2001

TEORIA

1.-Demostrar por inducción que el número de elementos de un álgebra do Boole es 2n

2.-Demostrar que el Kerf e Imf son subespacios vectoriales

PROBLEMAS

1.- En Egipto se celebra una cumbre para tratar de llegar a un acuerdo de paz entre Palestina e Israel. Se reúnen Egipto, Siria, Jordania, Palestina, Israel, Estados Unidos, Rusia y Unión Europea.

Se conviene aceptar cuando haya mayoría, y cuando haya empate cuando Palestina e Israel estén a favor.

Se tiene: Siria y Estados unidos se llevan la contraria

Jordania==Egipto==Unión Europea

Palestina ==Rusia

Hacer el circuito de interruptores que contenga a todos los países.

2.- Tenemos las actividades desde A....K y todas ellas duran 2 horas

Relación:

J después de A y E B antes de G y H E y D después de C J después de D, H, I

F antes de K

K después de G

J se acabó

D sólo lleva 1 hora

Y el resto igual

3.- Consideramos los subespacios de siguientes:

E1 ={(1,2,1,3) (0,2,1,1) (0,0,1,4)}

E2={(x,y,z,t)/ 2x+y-2z=0, y-z=0, t=0}

E3={}

E4={(x,y,z,t)/x+2y+t=0, y+z=0, x+3y+z+t=0}

E2 y E4 ¿son suma directa? ¿son suplementarios?

(d) Ampliar E2 a un total y calcular una base de

4.-

¿Existe alguna relación entre F y G?

TEST ÁLGEBRA ENERO DE 2001

1.- Se define en N la relación XY x+y=3x, entonces:

2.- Sea una aplicación lineal tal que f(1,0)=. Entonces:

3.- Sea una aplicación lineal tal que kerf=<(0,1,2,1), (1,3,4,2)> Entonces:

4.- Sea {e1,...,e6} un conjunto de vectores de y sea una aplicación lineal Entonces es:

5.- Sea E=<(0,1,2,1),(1,3,4,2)>. Las coordenadas del vector (2,1,-2,-1) respecto de la base E son:

6.- Sea A={(x,y); }. Se define en A la siguiente relación:

. El elemento (4,4) es:

7.- Sean a y b dos elementos de un álgebra de Boole. Entonces

8.- Sea definida por: Entonces:

9.- Sean U y V dos subespacios de un espacio vectorial E de dimensión 4. Sean dim(U)=2 y dim(V)=3, respectivamente. Entonces:

10.- Sea una aplicación lineal tal que f(1,1)=(1,2,3), Kerf=<(2,0)> Entonces, f(4,1) es:

EXAMEN SEGUNDO PARCIAL ALGEBRA 2001

TEORÍA:

1.- Teorema de reflexividad

2.- Cambio de base frente a endomorfismos

PROBLEMAS:

1.- Sea Pn[x] el espacio vectorial de los polinomios de grado n. Sea la aplicación lineal f(x) de P1[x] en P2[x] tal que . Sean las bases B1={7, 3+x} de P1[x] y B2={x2, 2x-2, 3x2+2} de P2[x]. Calcular:

2.- Se considera el espacio euclídeo con el producto escalar usual. Dada la base B={e1=(-1,1,0), e2=(2,0,1), e3=(1,0,0)} y los vectores y , Calcular:

3.- Resolver, si es posible el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales para a=2:

4.- La imprenta “El Monegasco Feliz” se dedica a producir diariamente el periódico “Monaco Matin”, del cual vende todos los ejemplares. También imprime diariamente la revista “Monaco Nuit” que igualmente agota su producción. Las máquinas pueden producir como mucho 25.000 ejemplares del periódico y 15.000 ejemplares de la revista, pero no más de 30.000 ejemplares de ambos conjuntamente al día. Así mismo la cantidad de papel que se puede utilizar es de 100.000 pliegos. Una revista esta compuesta de 5 pliegos de papel y un periódico de 2 pliegos. El precio de venta de cada revista es de 2 euros y el de cada periódico es de 1 euro. ¿Cuántas revistas y periódicos conviene producir por día para obtener el máximo beneficio?

TEST SEGUNDO PARCIAL ALGEBRA 2001

1.- Dadas las bases de B={(1,0),(0,1)}, B'={(3,2),(0,1)}, el determinante de la matriz de cambio de base B' a la base B es:

2.- Sea la aplicación cuya matriz en una base {e1, e2, e3} es A=, y sea B la matriz de T en la base { e1, 2e2+e3, e1-e2+7e3}. Entonces:

3.- Sea T el endomorfismo definido por la matriz T=

4.- Sea tal que F(x,y)=(y,0)

5.- Sea T un endomorfismo de que verifica:

T diagonaliza; el vector propio (1,1) tiene valor propio -2, Ker(T)={(x,y); x+y=0}. Las ecuaciones del endomorfismo T son:

6.- Sea una forma lineal no nula.

7.- Sea A una matriz tal que . Sea At su matriz traspuesta.

8.- Sea AX=B un sistema homogéneo

10.- Dada la ecuación en diferencias finitas

. La solución es:

FINAL DE FEBRERO 2001

PROBLEMAS:

1.-Una cadena de TV está preparando una gala especial desde el Caribe. Una vez realizado, durante una semana, un estudio sobre los contenidos de la gala se procederá a la contratación de las estrellas invitadas y de los operarios de control, sonido, ... en sendos plazos de tres días. Éstos (estrellas y operarios) serán trasladados hasta el Caribe en un viaje de cuatro días de duración. Allí procederán a los ensayos previstos de tres y dos días respectivamente. Dicho escenario no será montado hasta que sea limpiada la playa(en lo que se invertirán tres días). Dicha limpieza no se hará hasta que las estrellas hayan sido contratadas. Debido a las malas condiciones atmosféricas, que se prevén que durarán dos días, el traslado de estrellas y operarios no se realizará hasta que el tiempo mejore. Elaborar la tabla de precedencias, el grafo P.E.R.T y las rutas críticas. ¿Variaría la duración del proyecto si la limpieza se prolongara en dos días?.

2.- Consideremos el espacio vectorial y los siguientes subespacios del mismo:

3.- Consideremos dotado del producto escalar euclídeo, y sea una base del mismo. Si f es un endomorfismo de definido como

4.- Para mejorar el cultivo se necesita abonar el terreno, con al menos 8 Kg de nitrógeno y 12 Kg de fósforo. En el mercado hay distintos productos. El de marca M contiene 30 % de fósforo y 10 % de nitrógeno y su precio por Kg es 90 ptas. El de marca N contiene 20 % de fósforo y 20 % de nitrógeno y su precio por Kg es 120 ptas el kilogramo. ¿Qué cantidad de cada marca debemos utilizar para que el coste de abono sea mínimo.

Resolver la ecuación en diferencias: para todo

FINAL DE JUNIO 2001 PRIMER PARCIAL

PROBLEMAS:

1.- Consideremos las siguientes relaciones de precedencia: A antes de C. D y H; E y F después de B; C antes de G; D antes de I; K después de D, E, G y H; E y F antes de J; L después de I, K; J antes de M; N después de L, M. Calcular el grafo PERT asociado, las fechas, las holguras y las rutas críticas sabiendo que la duración de las actividades son: A(1), B(2), C(3), D(4), E(3), F(2), G(1), H(2), I(3), J(4), K(3), L(2), M(1), N(2)

A los 3 días se hace un control y se comprueba que K lleva 1 día desarrollándose. ¿ Cuál es la nueva duración del proyecto?

2.- Sea el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y consideremos los siguientes subespacios del mismo:

3.- Sean f(A,B,C) y g(A,B,C) dos proposiciones compuestas de tal forma que la proposición fg es siempre falsa. Construir la tabla de verdad para las proposiciones, y

Sea el espacio vectorial de las matrices de orden 2 con coeficientes reales. ¿Es el subconjunto tal que un subespacio vectorial de ?

4.- Escribir el circuito de interruptores más simplificado posible para la siguiente función booleana:

FINAL SEGUNDO PARCIAL ÁLGEBRA 2001

PROBLEMAS:

1.- Sea el espacio vectorial de los polinomios de grado n. Sea la aplicación lineal f(x) de en tal que: . Sean las bases de y de . Calcular:

2.- Sea A la matriz asociada al endomorfismo definido por:

3.- Consideremos el endomorfismo T de , definido por

4.- Calcular utilizando una ecuación en diferencias finitas, el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci: {3,4,11,18,29,47,...}

Resolver la ecuación diferencial;

FINAL ÁLGEBRA SEPTIEMBRE 2001

PROBLEMAS:

1.- Escribir el circuito de interruptores más simplificado para la siguiente función booleana:

Dados los subespacios de tales que:

Calcular:

2.- Sea M() el espacio vectorial de las matrices cuadradas simétricas de orden 2. Consideremos los siguientes subespacios de M()

3.- Sea A la matriz asociada al endomorfismo definido por:

4.- Demostrar que la siguiente aplicación es un producto escalar en

y calcular el ángulo formado por y

Resuelve la siguiente ecuación diferencial: