Vectores

Matemáticas. Álgebra. Rectas. Relación de equipolencia. Espacio vectorial. Dependencia e independencia lineal. Coordenadas

  • Enviado por: Alej
  • Idioma: castellano
  • País: Venezuela Venezuela
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VECTOR es todo segmento orientado. El segmento orientado [a, b], de la figura es un vector; a indica el origen y b el extremo del segmento orientado.

A los vectores los denotamos con letras que indican su origen y su extremo, o también mediante una letra latina minúscula. Ejemplo;

'Vectores'

  • En la figura, podemos leer: Vector o también

vector a. Vector o también vector b.

ELEMENTO DE UN VECTOR en todo vector siempre podemos distinguir:

  • La Dirección, esta viene dada por la dirección de la recta que lo contiene. Ejemplo:

    • la dirección del vector b esta dada por la dirección de la recta R. En este caso la dirección es horizontal.

    • Los vectores a y b tienen igual dirección, ya que las rectas que lo contienen son paralelas.

    • Los vectores c y d tienen diferentes direcciones.

  • El Sentido, viene dado por la orientación de la flecha. Ejemplos:


    • En la figura, los vectores a y b tienen los

    sentidos que indican sus flechas, estos sentidos

    son diferentes.


              • En la figura, los vectores c y d tienen igual sentidos.

    • En esta figura los vectores m y n tienen

    sentidos opuestos.

  • Modulo, esta dado por la longitud del segmento orientado que define al vector. El modulo de un vector a lo denotaremos así: |a|

    • En la figura, la longitud del vector v es 4cm., y la longitud del vector u es 2cm., luego: |v|=4 y |u|=2

  • El Punto de Aplicación, lo determina el punto donde comienza el vector.

  • RELACION DE EQUIPOLENCIA EN EL CONJUNTO DE LOS VECTORES DEL PLANO Los vectores son equipolentes cuando tienen igual dirección, igual sentido e igual modulo.

    • En la figura, los vectores x e y son equipolentes, ya que cumplen con la definición de equipolencia.

    • En la figura a y b son equipolentes, pero a y c no son equipolentes |a| " |c|

    • Los vectores a, b, c, d, son equipolentes ya que todos tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo modulo.

    PROPIEDADES QUE CUMPLEN LA RELACION DE EQUIPOLENCIA

  • Propiedad Reflexiva: es todo vector del plano que tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que si mismo. Luego: para todo vector del plano a se cumple que: a R a.

  • Propiedad Simétrica: siendo a y b vectores cualesquiera del plano, observa que: si a tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que b, entonces b tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que a. Es decir; a r b ! b R a.

  • Propiedad Transitiva: siendo a, b, c, vectores cualesquiera del plano, si a tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que b y a su vez b tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que c, entonces a y c tienen igual dirección, igual sentido e igual modulo. Es decir, a R b " b R c ! a R c.

  • De estas tres propiedades se deduce que; la relación de equipolencia es una relación de “equivalencia”.

    VECTOR LIBRE está formado por un vector del plano y todos los vectores que sean paralelos a el y que tengan su mismo sentido y modulo.

    PROPIEDAD DE LA ADICION DE VECTORES

  • Asociativa: consideremos tres vectores cualesquiera a, b, c, de V2 , queremos efectuar la suma de ellos. Dicha suma la podemos determinar de dos manera;

  • Una Manera Otra Manera

    Efectuamos a + b Efectuamos b + a

    Le sumamos c a a + b Le sumamos b + c a a

    Conclusión: (a + b) + c = a + (b + c)

    De esta manera se observa que los vectores obtenidos son equipolentes, es decir:

    (a + b) + c = a + (b + c)

    Luego, podemos concluir que la adición de vectores es asociativa.

  • Elemento Neutro: o vector nulo se debe a que su modulo es cero. Si el origen coincide con el extremo, la longitud del segmento orientado será igual a cero, el segmento se reduce a un punto y en realidad no puede hablarse con propiedad de un vector. En este caso la dirección y el sentido no están determinados.

  • El vector libre nulo será entonces la clase formada por todos los vectores que tienen modulo cero. Los elementos del vector libre nulo corresponden a puntos del plano. Al vector libre nulo, lo representamos por cero 0. ejemplo:

    • Los puntos a, b, c, d, son algunos elementos del vector libre nulo.

    Por todo lo dicho se deduce fácilmente que si a es un vector cualquiera de v2, entonces:

    a + 0 = 0 + a = a

  • Elemento Simétrico: tiene igual dirección, igual modulo, pero de sentidos contrarios. Para efectuar la adición de a y b, copiamos un vector b' equipolente con b que tenga su origen en el extremo del vector a.

    • El vector suma de a y b es el vector nulo puesto que el origen del vector coincide con el extremo de b' (o sea que el vector suma se reduce a un punto),

    Luego; a + b = 0

    A los vectores a y b los llamaremos “vectores opuestos”. Diremos que a es el vector opuesto a b, y que b es el vector opuesto al vector a. Para indicar el opuesto del vector a escribimos: -a.

    Ejemplo: * El vector u es el opuesto del vector v, es decir: u = - v. Se cumple que: v + (- v) = 0

    * El vector x es el opuesto del vector y , es decir: x = - y. Se cumple que: x + (- y) = 0

  • Conmutatividad: sean a y b dos elementos de V2.

  • Vamos a determinar los vectores: a + b = b + a

    1) 2)

    Podemos verificar que los vectores obtenidos a + b y b + a son equipolentes, luego:

    a + b = b + a

    Como esto lo hemos hecho para dos vectores arbitrarios de V2, podemos generalizar diciendo que la adición de vectores en V2 es “conmutativa”.

    Luego, como (V2, +) es un grupo y la adición es conmutativa, podemos afirmar que,

    (V2, +) es un grupo conmutativo o grupo abeliano.

    SUSTRACCIÓN DE VECTORES dado los vectores m y n, llamaremos vector diferencia al vector que se obtiene sumándole a m el opuesto de s. Lo notaremos así:

    Aquí se observa como construimos el opuesto de s (o sea, -s) con origen en el extremo del vector m y luego efectuamos la suma de m y -s; es decir:

    M + (-s) = m - s

    Ejemplo:

    A - b y b - a

    1) 2) 3)

    MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR por un numero real. Tiene la misma dirección y sentido, pero su modulo es dos veces mayor del mismo. Es decir,

    |b| = 2 |a|

    En este caso decimos que el vector b lo hemos obtenido multiplicando el vector a por el numero 2, es decir: b = 2a

    De igual manera podemos comprobar que los vectores c y d.

    Tienen la misma dirección, sentidos opuestos y el modulo de d es dos veces el modulo de c, es decir: |d| = 2 |c|

    En este cas decimos que el vector d lo hemos obtenido multiplicando el vector c por el numero -2, es decir: d = 2c

    PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN NUMERO REAL

    La multiplicación de un vector por numero real es distributiva con respecto a la adición de vectores en V2.

    Dados los vectores a y b de V2

    Vamos a determinar los vectores 2(a + b) y 2a + 2b

    1) 2)

    Podemos comprobar fácilmente que los vectores obtenidos: 2(a + b) y 2ª + 2b, son equipolentes; por lo tanto podemos escribir: 2(a + b) = 2a + 2b

    EL ESPACIO VECTORIAL V2

    La adición de vectores libres y la multiplicación de un numero real por un vector verifica las siguientes propiedades:

    P1

    (x + y) + z = x + (y + z)

    " x, y, z " V2

    P2

    x + 0 = 0 + x = x

    " x " V2

    P3

    x + (-x) = (-x)+ x = 0

    " x " V2

    P4

    x + y = y + x

    " x, y " V2

    P5

     (x + y) = x + y

    "  " R y " x, y " V2

    P6

    ( + ) x =

    " ,  " R y " x " V2

    P7

     (x) = () x

    " ,  " R " x " V2

    P8

    1 . x = x . 1 = x

    " x " V2

    Decimos entonces que los conjuntos V2, con la adición y la multiplicación por un numero real, tiene una estructura de espacio vectorial real.

    Ejemplo: si  es un numero real, determina el vector  - 0

     - 0 =  (x - y) ya que x - x = 0

    =  [x + (x)] ya que x - x = x + (-x)

    =  x +  (-x) por la propiedad P5

    =  x -  x ya que  (-x) = - x

    = 0 por la propiedad P3

    COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

    Si x, e y son vectores de V2 y ,  dos números reales, la expresión  x + y es también un vector de V2. ejemplo:

        • sean x e y dos vectores de V2; entonces: 2x + 3y, 5x + y, 0x + 0y, 4x + 6y ... son combinaciones lineales de los vectores x e y.

    De una forma general, si se tienen los vectores x, y, z, u, la expresión  x y + z + u es una combinación lineal de los vectores x, y, z, u.

    La expresión x + y + z es una combinación lineal de los vectores x, y, z.

    La expresión x es una combinación lineal del vector x.

    DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

    a) Dos o mas vectores son linealmente dependiente si uno cualquiera de ellos es combinación lineal de los restantes.

    b) Si dos vectores no nulo tienen diferentes direcciones, entonces son linealmente independientes.

    Ejemplo a:

    Para determinar dos vectores linealmente dependientes, basta con tomar una pareja de vectores que tengan igual dirección. Observemos x, y, z, de la figura:

        • los vectores x e y son lineal mente dependientes

        • los vectores x y z son lineal mente dependientes

        • los vectores y, z son lineal mente dependientes.

    Ejemplo b:

    Dado los vectores x e y de la figura, si |x| =2 y |y| = 4, vamos a determinar:

        • |y| + (-2) |x|

        • y - 2 x.

        • Encontrar un numero real  tal que y = x

    Solución:

    a) |y| + (-2) |x| = 4 + (-2) 2 = 4 - 4 = 0

    b)

    c) no es posible encontrar un numero real  tal que verifique la igualdad y = x ya que x e y no tienen la misma dirección.

    Entonces dichos vectores son linealmente independientes.

    COORDENADAS DE UN VECTOR

    Para establecer una bisección entre el conjunto V2 de los vectores libres y planos real R2, a cada elemento x de V2 se le hace corresponder un único par (x1, x2) " R2, y recíprocamente a cada par (x1, x2) le corresponde un único elemento x de V2.

    Sea x un elemento arbitrario de V2, y tomemos un sistema de coordenadas en un plano:

        • Podemos tomar como representante del vector libre x otro vector perteneciente a esa clase de equipolencia y que tenga su origen en 0; a ese vector lo llamaremos el representante canónico del vector x.

        • Al vector x lo vamos hacer corresponder como imagen el par de números reales que constituyen las coordenadas del punto extremo de su representante canónico.

    En este caso de la figura, el vector x tiene como imagen el par (3, 4); es deci:

    Al par (3, 4) lo llamaremos coordenadas del vector x.

    La aplicación que todo elemento x de V2 le hace corresponder las coordenadas del punto extremo de su representante canónico, es biyectiva.

    En vista de que todo vector libre x tiene asociado un par de números reales (x, y) que son sus coordenadas respecto a un sistema dado podemos identificar el vector x con sus coordenadas y escribir: x = (x1, x2).

    'Vectores'

    X

    Y

    a

    b

    c

    c

    d

    a

    b

    a

    a

    b

    a

    b

    c

    a

    c

    b

    c

    a

    b

    a

    b

    a

    a + b

    b + c

    b

    c

    (a + b) + c

    A + b

    c

    a + (b + c)

    a

    b + c

    b

    d

    c

    a

    b'

    .

    x

    y

    x

    y

    X

    (3, 4)

    (3, 4)

    Y - 2x

    - 2x

    Y

    Y

    X

    b

    a

    a

    b

    a + b

    b + a

    a

    b

    m

    s

    s

    -s

    m - s

    m

    b

    a

    a

    a

    b

    b

    a

    b

    c

    d

    a

    b

    a

    b

    a + b

    2 (a + b)

    2a + 2b

    2b

    2a

    b

    a

    x

    y

    x

    y

    z

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