Condición para que 3 puntos estén alineados.

Estarán alineados cuando los vectores y tengan la misma dirección, esto ocurre cuando son proporcionales.

Punto medio de un segmento.

Punto medio = M Extremos =

Ecuaciones de la recta.

Ecuación vectorial:

O es el origen

X es un punto de la recta

es un vector posición que nos sitúa sobre la recta

es el vector dirección (paralelo a la recta)

k es un parámetro. Al variar t, varía X sobre la recta.

Ecuaciones paramétricas:

En la ecuación vectorial sustituimos los vectores por sus coordenadas:

Y expresamos las variables por separado:

Ecuación paramétrica

Ecuación continua de la recta:

Despejamos k e igualamos:

Ecuación implícita o general:

Cambio de variables: [ ]

El vector (A, B) es perpendicular a la recta r

Ecuación explícita de la recta r.

Cambio de variables: [ ]

Pendiente:

Para obtener la pendiente de una r a partir de 2 puntos:

Puntos: y

Forma punto pendiente de la ecuación de una recta:

Conocemos un punto y su pendiente , la ecuación es:

Simétrico de un punto respecto de otro.

Punto , El punto de simetría , y el punto a averiguar :

Angulo entre dos rectas:

Se coge el más pequeño y se obtiene a partir de los de las dos rectas.

Paralelismo:

Si es un de la recta r y k0,

Cualquier recta con = o proporcional , es paralela o coincide con r.

Perpendicularidad:

Cualquier recta con = o proporcional es perpendicular a r.

Ángulo de dos rectas a partir de la pendiente:

• Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente

• Si las rectas don , entonces: o bien:

• En general:

Posición relativa de rectas dadas en forma general:

y

• Si tiene solución única, las rectas se cortan.

• Si no tiene solucion, las rectas son paralelas.

• Si tiene soluciones infinitas son la misma recta.

Posición relativa de rectas dadas :

Dadas las rectas

Para hallar su posición relativa resolvemos el sistema con 2 incognitas, k y s:

Igualamos las x y las y de las 2 rectas.

• El sistema tiene solución única , las rectas se cortan en un punto cuyas cordenadas se obtienen sustituyendo en r, por , o bien en s, por .

• El sistema no tiene solución, las rectas son paralelas.

• El sistema tiene infinitas soluciones, son la misma recta.

Distancias

La distancia entre dos puntos , es el módulo del vector :

La distancia de un punto a la recta es:

TEMA 5:

Producto escalar

Es un número. ||

||

Módulo de un vector:

Es un número

Cos del ángulo de 2 vectores:

Es un número

Combinación lineal (CL):

Vectores e

Escalares y

Vector CL de e =

Coordenadas del vector CL