Trigonometría

Funciones trigonométricas. Seno, coseno y tangente. Inversas y recíprocas. Gráficas. Geometría. Análisis. Triángulos. Relaciones, razones. Grado

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INDICE

  • Definición de trigonometría…………………………………………………………....2

  • Estudio de las principales funciones…………………………………………………3

  • Sen x……………………………………………………………………..…..3

  • Cos x……………………………………………………………………..…..5

  • Tg x………………………………………………………………………..….7

  • Estudio de las funciones inversas para el producto……………………..………..9

  • y = cotg x……………………………………………………………………10

  • y = sec x………………………………………………………………….….11

  • y = cosec x…………………………………………………………………..12

  • Funciones reciprocas……………………………………………………………….…..13

  • y = arc sen x………………………………………………………..….……14

  • y = arc cos x…………………………………………………………………14

  • y = arc tg x…………………………………………………………………..15

  • Grafica de la función sen x - arc sen x………………………………..…………….16

  • Mas información…………………………………………………………………………17

  • 7. Bibliografía………………………………………………………………………..……….20

  • DEFINICION DE TRIGONOMETRIA

  • Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa `medida de triángulos'.
    Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.

    Funciones trigonométricas

    Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.

    En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.

    Trigonometría

    2. ESTUDIO DE LAS PRINCIPALES FUNCIONES

    2.1. Sen x

    En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo ð,que se designa por sen ð es igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

    Trigonometría

    Para explicar y definir todas las funciones, nos vamos a guiar por el siguiente triangulo:

    Trigonometría
    Figura 2.1

    sen ð: En un ángulo á de un triángulo rectángulo, ABC (figura 2.1), se llama seno de ð, y se escribe sen ð, al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

    Trigonometría

    O lo que es lo mismo:

    Seno (sen) ð = Cateto opuesto/ Hipotenusa

    Las razones trigonométricas toman valores positivos o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo ð. De esta manera el sen ð:

    El teorema del seno se aplica a los lados y ángulos de un triángulo cualquiera y relaciona cada dos lados con sus ángulos opuestos:

    Trigonometría

    La función = sen x describe la variación del seno de ángulos medidos en radianes. Es continua y periódica de periodo 2ð. Se denomina función sinusoidal.

    Trigonometría

    Dominio

    R

    Recorrido

    [1,-1]

    crece

    …(-p/2, p/2) …

    decrece

    …(p/2, 3p/2)…

    cotas sup.

    1, 2, 3…

    Ext. Sup.

    1

    Máx.

    1

    cotas inferiores

    -1,-2,-3…

    Ext. inferior

    -1

    min.

    -1

    Simetría

    impar

    Periódica

    de periodo 2p

    Continua

    en el Dom

    Asintotas H

    no tiene

    Asintotas V

    no tiene

    Asintotas O

    no tiene

    2.2. Cos ð

    En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo ð, que se designa por cos ð, es igual a la longitud del cateto adyacente al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

    Trigonometría

    O también:

    Coseno (cos) ð = Cateto contiguo/ Hipotenusa

    El coseno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es la abscisa del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:

    Trigonometría

    Las razones trigonométricas toman valores positivos o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo ð. De esta manera el cos ðð

    Trigonometría

    El teorema del coseno se aplica a los lados y ángulos de triángulos cualesquiera y relaciona los tres lados con uno de los ángulos:

    a2 = b2 + c2 - 2bc·cos A

    b2 = a2 + c2 - 2ac·cos B

    c2 = a2 + b2 - 2ab·cos C

    La función = cos x describe la variación del coseno de ángulos medidos en radianes.

    Trigonometría

    Dominio

    R

    Recorrido

    [1,-1]

    crece

    …(-ð, 0)…

    decrece

    …(0, ð)…

    Cotas sup.

    1, 2,3…

    Ext. Sup.

    1

    Máx.

    1

    Cotas inferiores

    -1,-2,-3…

    Ext. inferior

    -1

    min.

    -1

    Simetría

    impar

    Periódica

    de periodo 2ð

    Continua

    en el dom

    Asintotas H

    no tiene

    Asintotas V

    no tiene

    Asintotas O

    no tiene

    4. tg ð

    En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo ð, que se designa por tg ð, es igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud del cateto adyacente.

    Trigonometría

    O lo que es lo mismo:

    Tangente (tg) X = Cateto opuesto/ Cateto contiguo

    La tangente de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica, y se sitúa sobre la recta tangente a dicha circunferencia en el punto en que ésta corta a la parte positiva del eje X:

    Trigonometría

    La tangente no existe para los ángulos de 90º y 270º.

    Las razones trigonométricas toman valores positivos o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo ð. De esta manera el tg ðð

    Trigonometría

    La función = tg x describe la variación de la tangente de ángulos medidos en radianes. Es continua, salvo en los puntos de abscisa (ð/2) + , k entero, en donde no está definida. Es periódica de periodo ð:

    Trigonometría

    Dominio

    X e R| g(x) = ð/2+kð, Ke Z

    Recorrido

    R

    crece

    en todo el dom

    decrece

    no decrece

    Cotas sup.

    no tiene

    Ext. Sup.

    no tiene

    Máx.

    1

    cotas inferiores

    no tiene

    Ext. inferior

    no tiene

    min.

    -1

    Simetría

    impar

    Periódica

    de periodo ð

    Continua

    en el dom

    Asintotas H

    k

    Asintotas V

    no tiene

    Asintotas O

    no tiene

    3. ESTUDIO DE LAS FUNCIONES INVERSAS PARA EL PRODUCTO:

    cotg; sec; csc.

    A partir de las razones trigonométricas sen, cos y tg se definen la cosecante (cosec), la secante (sec) y la cotangente (cot) del siguiente modo:

    Trigonometría

    Estas razones trigonométricas no están definidas cuando el denominador es cero. Por ejemplo, sec ð no está definida para ð = 90º ni para ð = 270º, pues cos 90º = 0 y cos 270º = 0.

    La cotangente es cero donde la tangente no está definida, es decir, cot 90º = 0 y cot 270º = 0.

    Estas tres razones trigonométricas se sitúan en la circunferencia goniométrica como se indica en la figura:

    Trigonometría

    Estas funciones trigonométricas, = cosec x, = sec x, = cot x, por la relación que tienen con las tres anteriores, se representan con ellas en las figuras siguientes:

    3.1 y = cotg x

    Trigonometría

    Dominio

    R- {kð; k e Z} = R - {… -ð/2, ð/2…}

    Recorrido

    R

    crece

    No crece

    decrece

    siempre decreciente

    cotas sup.

    no tiene

    Ext. Sup.

    no tiene

    Máx.

    no tiene

    cotas inferiores

    no tiene

    Ext. inferior

    no tiene

    min.

    no tiene

    Simetría

    impar

    Periódica

    de periodo ð

    Continua

    en el dom

    Asintotas H

    no tiene

    Asintotas V

    X=… -ð/2, ð/2…

    Asintotas O

    no tiene

    3.2. y = sec x

    Trigonometría

    Dominio

    R- {(2k+1)ððð; k e Z}

    Recorrido

    (- , -1]U[1,+ )

    crece

    … (0, ð/2); (ð/2, ððð…

    decrece

    ...(-ð/2, 0); (ð, 3ð/2)…

    cotas sup

    no tiene

    Ext. sup

    no tiene

    máx.

    no tiene

    cotas inferiores

    no tiene

    Ext. inferior

    no tiene

    min.

    no tiene

    Simetría

    impar

    Periódica

    de periodo 2ð

    Continua

    en el dom

    Asintotas H

    no tiene

    Asintotas V

    x = (2k+1)p/2; k e Z

    Asintotas O

    no tiene

    3.3. y = cosec x

    Trigonometría


    Dominio

    R- {kð; k e Z}

    Recorrido

    (- , -1]U[1,+ )

    crece

    … (ð/2, ð); (ð ,3ð/2ðð ððð

    decrece

    ...(0 ,ð/2); (3ð/2, 2ð)…

    cotas sup

    no tiene

    Ext. sup

    no tiene

    máx.

    no tiene

    cotas inferiores

    no tiene

    Ext. inferior

    no tiene

    min.

    no tiene

    Simetría

    impar

    Periódica

    de periodo 2ð

    Continua

    en el dom

    Asintotas H

    no tiene

    Asintotas V

    x = (2k+1)p/2; k e Z

    Asintotas O

    no tiene


    4. FUNCIONES RECIPROCAS: Arco seno, arco coseno, arco tg.

    La expresión “y es el seno de è” o y = sen è, es equivalente a la expresión “è es el ángulo cuyo seno es igual a y”, lo que se expresa como è = arcsen y, o también como è = sen-1y. La función arcsen (que se lee arco seno) es la función inversa o recíproca de la función sen. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccot y, arcsec y, y arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresión y = sen è o è = arcsen y, un valor dado de y genera un número infinito de valores de è, puesto que sen ð/6 = sen 5ð/6 = sen ((ð/6) + 2ð) =…= y, teniendo en cuenta que los ángulos ð/6 y 5ð/6 son suplementarios. Por tanto, si è = arcsen y, entonces è = (ð/6) + 2ð y è = (5ð/6) + 2ð, para cualquier entero n positivo, negativo o nulo. El valor ð/6 se toma como valor principal o fundamental del arcsen y. Para todas las funciones inversas, se suele dar su valor principal. Existen distintas costumbres, pero la más común es que los valores principales de las funciones inversas estén en los intervalos que se dan a continuación:

    /2 " arcsen y " ð/2

    0 " arccos y " ð

    /2 < arctg y < ð/2

    0 < arccosec y < ð

    /2 < arcsec y < ð/2

    0 < arccot y < ð

    4.1. y = arc sen x

    Trigonometría

    4.2. y = arc cos x

    Trigonometría

    4.3. y = arc tg x


    5. GRAFICA DE LA FUNCION sen x Y arc sen x

    Para formar la tabla de valores de la función arc sen x, escribiremos la tabla de valores “al revés” de la del sen x.

    x

    y

    -1

    ...-ð/2,3ð/2…

    .

    .

    .

    0

    ...0,ð, 2ð,...

    1/2

    ...ð/6, 5ð/6,…

    "2/2

    ...ð/4, 3ð/4…

    "3/2

    ...ð/3, 4ð/3,…

    1

    ...ð/2, 5ð/2,...


    6. MÁS INFORMACION:

    Grado, en trigonometría, arco igual a 1/360 de la circunferencia de un círculo, o ángulo central que corresponde a dicho arco. El grado es la unidad corriente de medida de ángulos y arcos de un círculo. Se divide en 60 minutos, cada uno de los cuales equivale a 1/21.600 de la circunferencia de un círculo; cada minuto se divide en 60 segundos, cada uno de los cuales equivale a 1/1.296.000. Los grados se indican normalmente con el símbolo °, los minutos con ' y los segundos con ”, como en 41°18'09”, que se lee "41 grados 18 minutos y 9 segundos".

    La medida de ángulos en grados es ampliamente usada en ingeniería y en las ciencias físicas, principalmente en astronomía, navegación y topografía. El método más corriente de localizar una estrella, o un punto en la superficie de la Tierra, es utilizar su distancia angular en grados, minutos y segundos a ciertos puntos o líneas de referencia fijadas. Los posiciones en la superficie de la Tierra se miden en grados de latitud norte o sur del ecuador y grados de longitud este u oeste del meridiano principal, que normalmente es el meridiano que pasa por Greenwich en Inglaterra.

    Otras medidas angulares

    En ciertas ramas de las matemáticas avanzadas, en particular aquéllas que incluyen cálculos, los ángulos se miden habitualmente en radianes rad. En 360° hay 2p rad, o unos 6,28 rad.

    En el ejército, los ángulos se miden generalmente en milésimas, especialmente para la localización de objetivos de artillería. Una milésima es la medida del ángulo central formado por un arco que es 1/6.400 del círculo. Una milésima equivale a 0,05625° y, aproximadamente, 0,001 radianes.

    Radián, en matemáticas, la unidad de ángulo plano igual al ángulo central formado por un arco de longitud igual al radio del círculo. La medida en radianes de un ángulo se expresa como la razón del arco formado por el ángulo, con su vértice en el centro de un círculo, y el radio de dicho círculo. Esta razón es constante para un ángulo fijo para cualquier círculo. La medida en radianes de un ángulo no es la razón de la longitud de la cuerda y el radio, sino la razón de la longitud del arco y el radio.

    La medida en radianes de un ángulo y su medida en grados están relacionadas. La circunferencia de un círculo está dada por

    C = 2ðr

    donde r es el radio del círculo y ð es el número 3,14159. Dado que la circunferencia de un círculo es exactamente 2ð radios, y que un arco de longitud r tiene un ángulo central de un radián, se deduce que

    2ð radianes = 360 grados

    Al dividir 360° por 2ð se puede ver que un radián es aproximadamente 57°17'44,8”. En aplicaciones prácticas, las siguientes aproximaciones son lo suficientemente exactas:

    un radián = 57,3 grados

    un grado = 0,01745 radianes

    El grado y el radián son unidades angulares de distinto tamaño y son intercambiables. Los ingenieros y técnicos utilizan más los grados, mientras que la medida en radianes se usa casi exclusivamente en estudios teóricos, como en el cálculo, debido a la mayor simplicidad de ciertos resultados, en especial para las derivadas y la expansión en series infinitas de las funciones trigonométricas. Como se puede ver, mientras que el símbolo ° se utiliza para indicar grados, no se utiliza ningún símbolo para indicar la medida en radianes.

    1 radian = 57,29º

    a partir de esta igualdad, determinamos que:

    90º = ð/2 radianes

    60º = ð/3 radianes

    45º = ð/4 radianes

    30º = ð/6 radianes

    Relaciones ente las razones trigonométricas fundamentales.

    1-. tg X = sen X/ cos X

    2-. 1 = sen²X + cos²X

    30º

    45º

    60º

    90º

    180º

    270º

    360º

    SenX

    0

    1/2

    "2/2

    "3/2

    1

    0

    -1

    0

    CosX

    1

    "3/2

    "2/2

    1/2

    0

    -1

    0

    1

    TgX

    0

    "3/3

    1

    "3

    Ø

    0

    Ø

    0

    Signos de las razones trigonométricas.

    Trigonometría

    VALORES TRIGONOMÉTRICOS DE ALGUNOS ANGULOS

  • BIBLIOGRAFÍA

  • Matemáticas 2º BUP. Editorial: Alambra

    Autores:

    • Cesar Benedicto.

    • Adolfo Negro

    Matemáticas Algoritmo 2000. 4º ESO. Editorial: cesma sa

    Autores:

    • José R. Vizmanos.

    • Máximo Anzola.

    .Enciclopedia Microsoft Encarta 1993 - 1999.

    Matemáticas l Ciencias de la naturaleza y la salud. Tecnología. 1º bachillerato Editorial: Editex

    Autores:

    • Carlos González García

    • Jesús Llorente Medrano

    • Maria José Ruiz Jiménez

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    Trigonometría

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