INTRODUCCION

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.

Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.

Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:

• Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

• Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.

• Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.

• Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (
)

El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo.

Definimos:

f(t) = una función de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en ( 0,¥). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s), definida por la integral.

s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.

L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace

F(s) = transformada de Laplace de f(t)

La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace converge. La integral ha de converger si f(t) es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro del rango t > 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a infinito.

Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un intervalo de “infinito” <= t <= “beta” si es posible partir del intervalo en un número finito de subintervalos de tal manera que la función sea continua en cada uno de ellos y tenga límites a izquierda y derecha.

F(t)

t1 t2 t3

En la figura se da un ejemplo gráfico de una función seccionalmente continua. Esta función tiene discontinuidades en t1, t2 y t3. Nótese que en t2, por ejemplo, los límites a derecha y a izquierda se representan por

Lím F(t2 + E) = F(t2 + 0) = y lím F(t2 - E) = F(t2 - 0) = F(t2 -) respectiva-

E0 E0

mente, donde E es positivo.

FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL

Si existe constantes reales M > 0 y tales que para todo t > N

| e -yt F(t) | < M o | F(t) | < M e yt

se dice que F(t) es una función de orden exponencial y cuanto t “infinito”, o simplemente, que es una función de orden exponencial.

Ejemplo 1. F(t) = t2 es de orden exponencial 3 (por ejemplo) ya que | t2 | = t2 < e3t para todo t > 0.

Ejemplo 2. F(t) = et2 (al cuadrado) no es de orden exponencial puesto que [e -yt et3 (al cubo) ] = et2 - yt puede hacerse más grande que cualquier constante al hacer crecer t.

Si F(t) seccionalmente continua en cada intervalo finito 0 <= t <= N de orden exponencial y para t > N, entonces existe la transformada de Laplace f(s) para todo s > y.

• Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:

Suma y Resta

Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:

L { f1(t) + f2(t) } = F1(s) + F2(s)

Multiplicación por una constante

Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:

L { kf(t)} = kF(s)

Diferenciación

Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:

L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)

En general, para las derivadas de orden superior de f(t):

L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).

Teorema del Valor Inicial

Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:

Lím f(t) = Lím s F(s)

si el límite existe.

FORMULAS

_____________________|____________________________

 ; s>a

  ; s>0

  ; s>0

  ; s>0

  ; s>0

  ; s>a

  ; s>a

  ;

• Ejemplo 1: Obtener la transformada de Laplace de
  

;para s>a. Resultado.

• Ejemplo 2: Obtener la transformada de Laplace de f (t)= t.

aplicando la integración por partes:

L{t} =

Resultado.

Y en general : L{
} =

Obtener la transformada de Laplace de Sen at.

Paso 1.-
; resolviendo la integral por partes:

Paso 2.-

Paso 3.-

Paso 4.-
; Integrando por partes:

Paso 5.- u= Cos at ; du= -a Sen at dt ;

Paso 6.-

Paso 7.-

Paso 8.-

Paso 9.-
    Resultado.

PROPIEDAD DE LINEALIDAD

Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales.

· A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar.

· Sea el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so, ") ó [so, "). También es espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G se define F+G en la forma usual, en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en si coinciden en un intervalo de la forma (a, ").

· Entonces es aplicación del espacio vectorial A en él.

Teorema

Si c1 y c2 son constantes y F1(t) y F2(t) son funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, f1(s) y f2(s), entonces

L {c1F1(t) + c2F2(t)} = c1L{F1(t)} + c2L{F2(t)} = c1f1(s) c2f2(s)

Ejemplo1. L{4t2 - 3 cos2t + 5e-t} = 4L(t2} - 3L{cos2t} + 5L{e-t}

= 4 * 2! - 3 * s + 5 * 1

s3 s2 + 4 s + 1

= 8 - 3s + 5

s3 s2 + 4 s + 1

Ejemplo 2. L{4e5t + 6t3 - 3sen4t + 2cos2t} = 4L{e5t } + 6L{t3 } - 3L{sen4t} + 2L{cos2t} =

= 4 * 1 + 6 * 3! - 3 * 4 + 2 * 2___

s - 5 s3 s2 + 16 s2 + 4

= 4_ + 36 - _12 + __2s__

s - 5 s2 s2 + 16 s2 + 4

donde s > 5.

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Definición. Si la transformada de Laplace de una función F(t) es f(s), es decir, si L |F(t)| = f(s), entonces F(t) se llama una transformada inversa de Laplace de f(s) y se expresa por F(t) = L-1 |f(s)| , donde L-1 se llama el operador transformada inversa de Laplace. Como la transformada de Laplace de una función nula N(t) es cero, es claro que si L |f(t)| = f(s) entonces L |F(t) + N(t)| = f(s). De esto se deduce que puede haber dos funciones diferentes con la misma transformada de Laplace.

Para demostrar algunos aspectos, tomemos el siguiente ejemplo, en el cual dos funciones diferentes F1 (t) = e-3t y F2(t) =

0 t =1

e-3t de otra manera

tienen la misma transformada de Laplace, es decir 1/(s + 3),

Si la consideramos las funciones nulas, vemos que la transformada inversa de Laplace es única. Sin embargo, es única en cada intervalo 0<= t <= N y de orden exponencial para t > N, aceptará siempre esa unicidad a menos que se establezca claramente lo contrario. Tabla de transformadas inversas de Laplace.

	F(s)	L-1{f(s) = F(t)
1.	1/s	1
2.	1/s2	T
3.	1 / sn+1 n=0,1,2,...	tn / n!
4.	1 / s-a	eat
5.	1 / s2+a2	sen at / a
6.	s / s2+a2	cos at
7.	1 / s2-a2	sen h at / a
8.	s / s2 - a2	cos h at

PROPIEDAD DE LINEALIDAD.

Teorema. Si c1y c2 son constantes arbitrarias y f1(s) y f2(s) son las transformadas de F18t) y F2(t) respectivamente, entonces

L-1{c1f1(s) + c2f2(s)} = c1 L-1{f1(s)} + c2 L-1{f2(s)}

= c1F1(t) + c2F2(t)

Este resultado se puede extender fácilmente al caso de más de dos funciones.

L-1 4/(s - 2) - 3s/(s2 + 16) + 5/(s2+ 4) =

4 L-1 1/(s - 2) - 3 L-1 s/(s2 + 16) + 5 L-1 1/(s2 + 4) =

= 4e2t - 3 cos 4t + 5/2 sen 2t

Debido a esta propiedad podemos decir que L-1 es un operador lineal o que tiene propiedad de linealidad.

L-1 (5s + 4)/s2 - (2s - 18)/(s2 + 9) + (24 - 30 s )/s4 =

L-1 (5/s2) + (4/s3) - [2s /(s2 + 9)] + [18/ (s2 + 9)] + (24/s4) - (30/s7/2)

= 5t + 4(t2/2!) - 2cos3t + 18[(sen3t)/3] + 24(t3/3!) - 30(t5/2/r(7/2)

= 5t + 2t2 - 2 cos 3t + 6 sen 3t + 4t3 - 16t5/2/ TT

Puesto que r(7/2)= 5/2 * 3/2 * ½ r(1/2) = (15 TT )/ 8.

2. TEOREMA DE TRASLACIÓN DEL EJE S

- PRIMERA PROPIEDAD DE TRANSLACION.

Si F(s) = L{f(t)} existe para s>c , entonces L {
} existe para s>a+c :

La traslación de S
de la transformada corresponde a la multiplicación de la función original de t por

En forma semejante: L
{ F(s-a) }=
  haciendo S

Aplicando éste teorema en las transformadas obtenidas anteriormente:

Como

entonces

 Como
entonces

Como
; entonces

• Ejemplo 1:
  

Siendo la fórmula

• Ejemplo 2:
  

Siendo la fórmula

- SEGUNDA PROPIEDAD DE TRANSLACION.

Teorema. Si L-1{f(s)} = F(t), entonces

L-1{e-as f(s)} = F(t - a) t > a; 0 t < a

Ejemplo.

Como L-1 { 1/(s2 + 1} = sen t, tenemos que

L-1 {e-(TTs/3) / s2+ 1} = sen (t - TT/3) si t > TT/3; 0 si t < TT/3.

Ejemplo 2.

L-1 e-5s

(s - 2)4 Como L-1 1 = e2t L-1 1/s4 =

(s - 2)4

(t3 e2t)/3! = (t3 e2t )/6, tenemos que

L-1 e-5s = 1/6 (t - 5)3 e2(t - 5) t > 5

(s - 2)4 0 t < 5

= 1/6(t - 5)3 e2(t - 5) u(t - 5)

3. PROPIEDAD DEL CAMBIO DE ESCALA.

Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t), entonces

L-1{f(ks)} = (1/k ) F(t/k)

Ejemplo1. Como L-1 {s/(s2 + 16)} = cos 4t. tenemos que

L-1 { 2s/[(2s)2 + 16] } = (1/2) cos4t/2 = (1/2)cos2t

Lo cual puede comprobarse directamente.

Ejemplo 2. Si L-1 e-1/s / s1/2 = cos2(t)1/2 /(TTt)1/2 , hallar L-1 e-a/s / s1/2

donde a > 0.

Al sustituir s por ks en la primera expresión

L-1 e-1/ks / (ks)1/2 = (1/k) [cos2(t/k)1/2] / [TT(t/k)]1/2 =

[1/(k)1/2] [cos 2(t/k)1/2]/(TTt)1/2

L-1 e-1/ks / s1/2 = [cos2(t/k)1/2] /(TTt)1/2

Entonces haciendo k =1/a.

L-1 e-a/s / s1/2 = cos2(at)1/2 / (TTt)1/2

4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE LAS DERIVADAS.

Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t), entonces

L-1 { f(n) (s)} = L-1 dn/ ds n f(s) = (-1)n tn F(t)

Ejemplo1. Como L-1 1/ (s2 + 1) = sen t y d/ds [1/ (s2 + 1)] =

= -2s /(s2 + 1)2 , tenemos que

L-1 -2s / (s2 + 1)2 = - tsen t o L-1 s/(s2 + 1)2 = (t set)/2

Ejemplo 2. Calcular L-1 s/(s2 + a2)2 .

Tenemos que d/ds 1/(s2 + a2) = -2s /(s2 + a2)2 . Asi s/(s2 + a2)2

= -1/2 d/ds [1/(s2 + a2)] .

Entonces, como L-1 1/(s2 + a2) = (sen at)/a,

L-1 s/(s2 + a2)2 = -1/2 L-1 d/ds [1/(s2+ a2)]

= ½ t [(senat)/a] = (t senat) / 2a

Otro método. Derivando con respecto al parámetro a obtenemos

d/ds [s/(s2 + a2)] = -2as/(s2 + a2)2

luego L-1 d/ds [s/(s2 + a2)] = L-1 -2as/(s2 + a2)2

o bien d/ds L-1 [s/(s2 + a2)] = -2a L-1 s/(s2 + a2)2

es decir L-1 s/(s2 + a2)2 = (-1/2a) d/da (cos at) = (-1/2a) (-t sen at) = (t sen at)/2a

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE LAS INTEGRALES.

Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t), entonces

L-1 f(u) du = F(t) / t

Ejemplo. Como L-1 1/[s(s + 1)] = L-1 (1/s ) - [1/(s + 1)] = 1 - e-t ,

tenemos que L-1 [(1/u) - 1/(u + 1)] du =

L-1 ln [1 + (1/s)] = (1 - e-t)/t

6. MULTIPLICACION POR Sn.

Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t) y F(0) = 0, entonces

L-1 {s f(s)} = F'(t)

Así que, multiplicar por s produce el efecto de derivar a F(t).

Si F(0) 0, entonces

L-1{s f(s) - F(0)} = F'(t)

o L-1{s f(s)} = F'(t) + F(0) (t)