Transformaciones geométricas

Rotación, rotaciones. Simetrías. Traslación, traslaciones. Homotecia, homotecias. Centro. Vector. Movimiento. Arte, cuadros, pinturas. Escher

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Transformaciones Geométricas

Índice

1.-Introducción

2.-Rotaciones

3.-Simetrías

4.-Traslaciones

5.-Homotecias

6.-Búsqueda de estas transformaciones en los trabajos de Escher

-Circle limit III

-Cielo e Infierno

Introducción

Una transformación geométrica, o simplemente una transformación, es una aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. Como consecuencia, las figuras se transforman en otras figuras.

Las transformaciones más usuales son las traslaciones, rotaciones, simetrías y las homotecias. Todas ellas mantienen la forma de las figuras, pero pueden disminuir el tamaño y cambiar la figura de posición.

Transformaciones geométricas

Rotaciones

Rotación, de centro O y ángulo á, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto Pð tal que: Transformaciones geométricas
y Transformaciones geométricas
.

Transformaciones geométricas


Las Rotaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras.

CENTRO DE ROTACIÓN DE ORDEN N  
Se dice que una figura tiene un centro de giro, O, de orden n (número natural mayor que 1) cuando se puede hacer coincidir consigo misma mediante giros de centro O y ángulos á·k/n (= 1, 2,…n). Para n la figura da una vuelta completa y, por tanto, vuelve a la posición inicial.


Por ejemplo, el centro de un triángulo equilátero es un centro de giro de orden tres

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porque se puede hacer coincidir la figura consigo misma haciéndola girar ángulos de 120º, 240º y 360º alrededor de él.

Simetría

En geometría conviene distinguir simetría como transformación geométrica y simetría como propiedad de una figura.

TIPOS DE SIMETRÍA

Una simetría central de centro O es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P' tal que O es el punto medio del segmento PP'.

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Una simetría de este tipo coincide con un giro del mismo centro y ángulo 180º. Es, por tanto, un movimiento directo.


Una simetría axial de eje e es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P' tal que la recta e es mediatriz del segmento PP'.

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Las simetrías axiales son movimientos inversos porque para hacer coincidir una figura con su simétrica es necesario sacarla del plano y abatirla de nuevo sobre la otra cara.

FIGURAS SIMÉTRICAS  Una figura se llama simétrica si existe una recta tal que tomada como eje de simetría transforma a la figura en ella misma.

Transformaciones geométricas

Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un cuadrado cuatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de simetría).

Transformaciones geométricas

Transformaciones geométricas

Traslación

Traslación, de vector Transformaciones geométricas
, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto Pð tal que Transformaciones geométricas
.

Las traslaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras, a las cuales deslizan según el vector Transformaciones geométricas
.

Transformaciones geométricas

Homotecia

Homotecia: Formación de figuras semejantes en las que los puntos correspondientes están alineados dos a dos con respecto a otro punto fijo.

Una homotecia de centro O y de razón a , lleva a toda recta que pasa por O a sí misma, y a una recta L que no pasa por O, a una recta L´, paralela a L.

Hemos de tener en cuenta que los lados aumentan si a>0, disminuyen si a<0 y se mantienen si a=1. Además, si a=1 decimos que los triángulos son congruentes, es decir, si los lados correspondientes son iguales y sus ángulos correspondientes son iguales.

Transformaciones geométricas

Búsqueda de estas transformaciones en los trabajos de Escher

Transformaciones geométricas

Circle Limit III

Rotaciones: En los extremos de este grabado pueden captarse claramente la rotación con respecto a un punto “centro” (donde se unen las aletas de los peces centrales.)

Simetría: La simetría aquí presente es la llamada “central” teniendo como centro un punto 0 o donde se juntan las aletas de los peces.

Traslaciones: estas tienen lugar en cada una de las partes que componen la figura, pero hemos de tener en cuenta que van unidas a una rotación en 120º. Esto lo podemos comprobar si miramos Los peces verde, amarillo y rojo en el centro de la figura.

Homotecia: Esta se puede observar claramente en los extremos de la figura, donde las figuras se ven notoriamente disminuidas.Transformaciones geométricas

Cielo e Infierno

Rotaciones: Los Vampiros y los ángeles del centro de la figura se encuentran en una rotación de 120º.

Simetría: La simetría aquí existente es la llamada “axial”, esto significa que si dividimos la figura mediante un eje, tanto los dibujos de la derecha como los de la izquierda se van a encontrar a la misma distancia de dicho eje. Podemos agregar también que esta figura tiene 3 ejes de simetría.

Traslaciones: estas no son fáciles de ubicar a simple vista pero si nos detenemos a observar los extremos de la figura se observa que los ángeles se trasladan de un extremo a otro de la misma, al igual que los vampiros.

Homotecia: Esta está presente en los ángeles que van disminuyendo de tamaño a medida que se acercan a los extremos de la figura al igual que con los demonios.

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