Sucesiones y series numéricas

Análisis. Cálculo. Criterio de la integral y de comparación. Convergencia. Límite. Serie alterna. Razón. Raíz. Resto. Taylor

  • Enviado por: Olmo De Abreu
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 3 páginas

publicidad
cursos destacados
Ejercicios Resueltos Ecuaciones Diferenciales
Ejercicios Resueltos Ecuaciones Diferenciales
Serie de ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales Este curso va ligado al curso actual de Ecuaciones...
Ver más información

¡Ejercicios resueltos de Derivadas de Funciones!
¡Ejercicios resueltos de Derivadas de Funciones!
En este curso de 7 horas, el profesor Willians Medina explica de manera impecable el tema de Derivadas de funciones,...
Ver más información


SUCESIONES

Diremos que {an} es convergente si lim an = L (finito)

n→ð

Si {an}y {bn}son convergentes tales que

lim an = L lim bn = M ; Entonces:

n→ð n→ð

{an} (ð,*,/){bn}= L(ð,*,/) M

Si lim ­|an| = 0 ð lim ­an= 0

n→ð n→ð

Dada {an} diremos que C ð R es una cota superior de {an} si C ≥ an; B ð R es una cota inferior si B ð an . Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y continua es convergente, ya que tiende a su cota.

SERIES NUMÉRICAS

Diremos que una serie ðan es convergente si lim ðan = L (finito)

ð n→ð

Series Geométricas (ðKrn-1; K,r ð R)

n=1

La serie geométrica converge si ­|r­|<1 y converge a

k

Sn= --------

1-r

Si ðan y ðbn son convergentes a A y B respectivamente entonces:

ðan ð ðbn= A ð ð

Si ðC*an ; C=cte. ð C*ðan = C*A

El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos.

Si dos series coinciden a partir de un término “n”, las dos tienen el mismo carácter.

Dada ðan convergente ð lim an = 0

n→ð

ð

ðððnp es convergente para p>1.

n=1

CRITERIO DE LA INTEGRAL

Sea yðð(x) una función continua, positiva y decreciente en [1, +ð) y tal que ð(n)= an entonces:

+ð +ð

ðð(x)dx y ðan tienen el mismo carácter.

1 n=1

CRITERIO DE COMPARACIÓN

ðan y

ðbn de términos positivos.

Si ðan ð ðbn ð si ðbn converge se tendrá que ðan converge. Y si ðan diverge entonces ðbn diverge.

COMPARACIÓN AL LÍMITE (para series de términos positivos)

Si ð lim an/bn = L (finito, positivo) anð L*bn

n→ð

Entonces si an converge bn converge y viceversa.

Si lim an/bn = 0 si bn converge an converge.

n→ð

Si lim an/bn = +ð si bn diverge an diverge.

n→ð

ð ð

SERIES ALTERNAS (ð(ðððn+1 an ó ð(ðððn an )

n=1 n=1

Criterio Para Series Alternas.

Si lim an =0 y { an } es decreciente, entonces la serie es convergente.

n→ð

CONVERGENCIA ABSOLUTA

Dada ðan de términos de cualquier signo.

ð­|an­| converge ð ðan es convergente y diremos que ðan converge absolutamente.

Si ð­|an­­| diverge y ­ðan converge, diremos que an converge condicionalmente.

CRITERIO DE LA RAZÓN

Si lim |an+1|/|an|= L; L<1 la serie converge absolutamente.

n→ð

Si L=1 no se puede concluir. Si L>1 la serie diverge.

CRITERIO DE LA RAÍZ

Si lim (|an|ðððn=L; L<1 la serie converge absolutamente.

n→ð

Si L=1 no se puede concluir; si L>1 la serie diverge.

ESTIMACIÓN DEL RESTO

Criterio de la Integral.

Resto(Rn)=S-Sn=an+1 + an+2+ an+3+...

+ð +ð

ðð(x)dx ð Rnð ðð(x)dx

n+1 n

Para Series Alternas

|Rn

|an+1

|<error

ð ð

SERIES DE POTENCIA (ðCn(x-a)n; serie de potencia centrada en a)

n=0

ð

ðxn =1/(1-x) ð |x|<1

n=0

ð

ðxn/n!= ex

n=0

Si una serie de potencia es convergente para x=x1 ð converge absolutamente para cualquier valor de x tal que |x|<|x1|.

Si una serie de potencia es divergente para x=x2 ð también es divergente para cualquier valor de x tal que |x|>|x2|.

SERIE DE TAYLOR

Cn=ðn(a)/n! De lo que se obtiene:

ð

ð(x)= ððn(a)(x-a)n/n!; si a=0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.

n=0

Vídeos relacionados