Sucesiones y series de funciones

Cálculo. Teoría funciones. Supremo. Sucesión. Función continua, discontinua. Integración, derivación. Serie. Weierstrass. Taylor. Fourier. Dirichlet

  • Enviado por: José Luis Martínez-avial
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 12 páginas

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SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

SUCESIONES DE FUNCIONES:

DEFINICIÓN: Sea Sucesiones y series de funciones
una sucesión de funciones(Sucesiones y series de funciones
). Decimos que Sucesiones y series de funciones
CONVERGE PUNTUALMENTE en A a una función Sucesiones y series de funciones
, que se llama función ímite, si para cada x0" A se verifica que:

Sucesiones y series de funciones

Es decir, si "x0"A, ">0,"n0 "N / "n"n0!|fn(x0)-f(x0)|< 

A Sucesiones y series de funciones
se le llama también límite puntual de Sucesiones y series de funciones
, y se escribe Sucesiones y series de funciones

Sucesiones y series de funciones
Ejemplos:

Sucesiones y series de funciones

Si hacemos el límite considerando x constante:

Sucesiones y series de funciones

Es decir, a medida que aumenta n, la curva que describe fn(x), se va aproximando a f(x)=x

Sucesiones y series de funciones

Sucesiones y series de funciones

IDEA INTUITIVA: El límite de una sucesión de funciones continuas puede no ser continuas(ejemplo 2). A menudo nos interesa asegurar que la función límite será continua. Para ello vamos a endurecer la noción de convergencia, eliminando la dependencia de x0.

Sucesiones y series de funciones
DEFINICIÓN: Sea Sucesiones y series de funciones
una sucesión de funciones(Sucesiones y series de funciones
). Decimos queSucesiones y series de funciones
CONVERGE UNIFORMEMENTE en A hacía una función Sucesiones y series de funciones
, si ">0 ,"n0"N / "n"n0!|fn(x)-f(x)|<  "x"A

Geometricamente esto se puede ver de la siguiente manera.

A partir de un n0, la función fn(x) puede hacer lo que quiera, pero estará contenida en un `tubo', formado por las funciones f(x)+ y f(x)-.

OBSERVACIÓN: La convergencia uniforme implica la convergencia puntual, es decir, es más fuerte la uniforme que la puntual.

NOTACIÓN: Si Sucesiones y series de funciones
converge uniformemente a f en A, lo escribiremos: Sucesiones y series de funciones

TEOREMA(Caracterización del supremo):

Sucesiones y series de funciones
, donde Sucesiones y series de funciones

Demostración:

Sucesiones y series de funciones

Sucesiones y series de funciones

que es la definición de convergencia uniforme.

Ejemplo:

Estudiar la convergencia(ambas) de

Sucesiones y series de funciones

Sucesiones y series de funciones
Sucesiones y series de funciones

límite puntual Sucesiones y series de funciones

Hallamos Sucesiones y series de funciones
(distancia entre el máximo y f(x))

Sucesiones y series de funciones

Y el límite vale:

Sucesiones y series de funciones

Luego hay convergencia uniforme.

PROPOSICIÓN: Si Sucesiones y series de funciones
y Sucesiones y series de funciones
están acotadas Sucesiones y series de funciones
, entonces Sucesiones y series de funciones
está acotada en A

Demostración:

Sucesiones y series de funciones

Como Sucesiones y series de funciones
están acotadas, Sucesiones y series de funciones
también lo está.

TEOREMA: Sea Sucesiones y series de funciones
una sucesión de funciones(Sucesiones y series de funciones
), y supongamos que existeSucesiones y series de funciones
. Si Sucesiones y series de funciones
, entonces:

existe Sucesiones y series de funciones
, y valeSucesiones y series de funciones

Demostración:

1)Veamos que Sucesiones y series de funciones
es convergente

Sucesiones y series de funciones
*

Tomando límites cuando x tiende a `a'

Sucesiones y series de funciones
Luego Sucesiones y series de funciones
es de Cauchy, y por tanto convergente.

Sea Sucesiones y series de funciones

2)Hace falta demostrar que Sucesiones y series de funciones

Sucesiones y series de funciones

Sucesiones y series de funciones
Pues Sucesiones y series de funciones

Sucesiones y series de funciones
Pues si Sucesiones y series de funciones

Sucesiones y series de funciones
Dado que Sucesiones y series de funciones

COROLARIO: Si Sucesiones y series de funciones
, y Sucesiones y series de funciones
continuas Sucesiones y series de funciones
, entonces f es continua en A.

Demostración:

Sucesiones y series de funciones

OBSERVACIÓN: Si Sucesiones y series de funciones
, y Sucesiones y series de funciones
continuas Sucesiones y series de funciones
, y Sucesiones y series de funciones
es discontinua, la convergencia no es uniforme.

Ejemplo:

Sucesiones y series de funciones

Sucesiones y series de funciones
. Función discontinua. Convergencia no uniforme

TEOREMA(Integración): SiSucesiones y series de funciones
, y Sucesiones y series de funciones
integrables en A Sucesiones y series de funciones
, entonces la función límite es integrable en A y se verifica:

Sucesiones y series de funciones

Además la convergencia del límite anterior es uniforme en A

TEOREMA(Derivación): Sea Sucesiones y series de funciones
, y Sucesiones y series de funciones
derivables en A Sucesiones y series de funciones
, Sucesiones y series de funciones
es uniformemente convergente en A, y existe a " A tal que Sucesiones y series de funciones
es convergente, entonces Sucesiones y series de funciones
es uniformemente convergente en A, la función límite es derivable y se verifica que:

Sucesiones y series de funciones

SERIES DE FUNCIONES:

DEFINICIÓN: Dada Sucesiones y series de funciones
(Sucesiones y series de funciones
), llamamos SERIE FUNCIONAL ASOCIADA a Sucesiones y series de funciones
a la sucesión de sumas parciales Sucesiones y series de funciones
, donde Sucesiones y series de funciones

Decimos que la serie es convergente(puntual o uniformemente)si lo es la sucesión de sumas parciales. En ese caso escribiremos:

Sucesiones y series de funciones

Ejemplo:

Estudiar la convergencia deSucesiones y series de funciones

Es una serie geométrica de razón Sucesiones y series de funciones
. Es convergente puntualmente si r<1, es decir, x>0, y su suma vale Sucesiones y series de funciones

TEOREMA: Si Sucesiones y series de funciones
converge uniformemente a S(x) (función suma) en A, y Sucesiones y series de funciones
continuas Sucesiones y series de funciones
, entonces S(x) es continua.

Demostración:

Sucesiones y series de funciones
Y Sn(x ) es continua por ser suma de funciones continuas, con lo

que la función límite S(x) también lo es.

TEOREMA(Criterio de la Mayorante. Weiertrass): Sea Sucesiones y series de funciones
una serie de funciones (Sucesiones y series de funciones
), y Sucesiones y series de funciones
una STP. Si Sucesiones y series de funciones
, y Sucesiones y series de funciones
es convergente, entonces Sucesiones y series de funciones
es uniformemente convergente.

Demostración

Demostremos el criterio de convergencia de Cauchy para series de funciones:

Sucesiones y series de funciones

Aplicandolo:

Sucesiones y series de funciones

Ejemplo:

  • Sucesiones y series de funciones

  • Sucesiones y series de funciones
    Por tanto la serie original es convergente

  • Sucesiones y series de funciones

  • Vamos a intentar acotar la serie funcional derivando y hallando el máximo:

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones
    convergente, luego la original es uniformente convergente.

    TEOREMA(Integración): SiSucesiones y series de funciones
    converge uniformemente en A y Sucesiones y series de funciones
    integrables en A Sucesiones y series de funciones
    , entonces la función suma es integrable en A y se verifica:

    Sucesiones y series de funciones

    Además la convergencia de la serie anterior es uniforme en A

    TEOREMA(Derivación): SiSucesiones y series de funciones
    derivables en A Sucesiones y series de funciones
    , Sucesiones y series de funciones
    es uniformemente convergente en A, y existe a " A tal que Sucesiones y series de funciones
    es convergente, entonces Sucesiones y series de funciones
    es uniformemente convergente en A, la función suma es derivable y se verifica que:

    Sucesiones y series de funciones

    SERIES DE POTENCIAS:

    DEFINICIÓN: Una serie de potencias es una expresión de la forma:Sucesiones y series de funciones
    . A los términos an se les llama coeficientes de la serie.

    Ejemplos:

    Sucesiones y series de funciones

    Para estudiar la convergencia puntual, fijaremos la x y la trataremos como una serie normal. Al no tratarse de una serie de términos positivos, utilizaremos la convergencia absoluta

    Ejemplos:

    1)Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones
    Luego bn es convergente Sucesiones y series de funciones

    Por tanto la serie original es absolutamente convergente.

    2)Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    El caso general de una serie de potencias se expresa:

    Sucesiones y series de funciones
    . A los términos an se les llama coeficientes de la serie.

    Si hacemos t=x-a la reducimos al tipo anterior.

    TEOREMA:

  • Si Sucesiones y series de funciones
    converge puntualmente en x1"0 entonces es absolutamente convergente si |x|<| x1|

  • Si Sucesiones y series de funciones
    diverge en x1"0 entonces es divergente si |x|>| x1|

  • Demostración:

  • Sucesiones y series de funciones
    convergenteSucesiones y series de funciones

  • Sucesiones y series de funciones

    Por tanto Sucesiones y series de funciones
    es una mayorante a partir de n0 de Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones
    es una serie geométrica de razón Sucesiones y series de funciones

    Luego si Sucesiones y series de funciones
    entonces Sucesiones y series de funciones
    es una mayorante convergente de Sucesiones y series de funciones
    , luego la original es convergente a partir de n0 y por tanto a partir de n=0. Debido a ello Sucesiones y series de funciones
    es absolutamente convergente si Sucesiones y series de funciones

    2)Reducción al absurdo:

    Supongamos que existe Sucesiones y series de funciones
    y Sucesiones y series de funciones
    absolutamente convergente. Por 1) la serie seria convergente si Sucesiones y series de funciones
    , luego sería convergente en Sucesiones y series de funciones
    , lo que es contradictorio.

    DEFINICIÓN: De lo anterior se deduce que existe Sucesiones y series de funciones
    tal que Sucesiones y series de funciones
    es absolutamente convergente Sucesiones y series de funciones
    , y divergente si Sucesiones y series de funciones
    . Si Sucesiones y series de funciones
    puede ocurrir cualquier cosa. A r le llamaremos radio de convergencia de la serie de potencias.

    Sucesiones y series de funciones

    PROPOSICIÓN: Sea Sucesiones y series de funciones
    una serie de potencias con radio de convergencia r:

    1)Si Sucesiones y series de funciones
    entonces Sucesiones y series de funciones
    , es decir:

    Sucesiones y series de funciones

  • Si Sucesiones y series de funciones
    entonces Sucesiones y series de funciones
    , es decir:

  • Sucesiones y series de funciones

    Demostración:

    Sucesiones y series de funciones

    Aplicando el criterio de la raíz:

    Sucesiones y series de funciones

    Si Sucesiones y series de funciones
    si Sucesiones y series de funciones

    Si Sucesiones y series de funciones
    si Sucesiones y series de funciones

    No solo no es absolutamente convergente, sino que es divergente: si Sucesiones y series de funciones
    , luego la serie es divergente.

    DEFINICIÓN: Si Sucesiones y series de funciones
    tiene radio de convergencia r, llamamos intervalo de convergencia al intervalo (-r,r), y campo de convergencia al mayor intervalo en el que converge la serie. Por tanto el campo de convergencia será (-r,r), (-r,r], [-r,r) y [-r,r].

    Ejemplos:

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones
    Intervalo de convergencia (-1,1)

    Sucesiones y series de funciones
    Serie divergenteSucesiones y series de funciones
    Campo de convergencia (-1,1)

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones
    Intervalo de convergencia(-1,1)

    Sucesiones y series de funciones
    Serie armónica Sucesiones y series de funciones
    Divergente

    Sucesiones y series de funciones
    Serie armónica alternada Sucesiones y series de funciones
    Convergente

    Campo de convergencia (-1,1]

    Sucesiones y series de funciones
    r=1 Intervalo de convergencia(-1,1)

    Sucesiones y series de funciones
    Serie armónica alternada Sucesiones y series de funciones
    Convergente

    Sucesiones y series de funciones
    Serie armónica Sucesiones y series de funciones
    Divergente

    Campo de convergencia [-1,1)

    Sucesiones y series de funciones
    r=1 Intervalo de convergencia(-1,1)

    Sucesiones y series de funciones
    Convergente

    Sucesiones y series de funciones
    Divergente

    Campo de convergencia [-1,1]

    DEFINICIÓN: Si Sucesiones y series de funciones
    tiene radio de convergencia r>0 entonces converge uniformemente en cualquier intervalo Sucesiones y series de funciones
    .

    Demostración:

    Sea Sucesiones y series de funciones

    Si Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones
    es una mayorante de Sucesiones y series de funciones

    Como Sucesiones y series de funciones
    , Sucesiones y series de funciones
    es convergente, y por el criterio de Weiertrasss Sucesiones y series de funciones
    es absolutamente convergente Sucesiones y series de funciones

    COROLARIOS:

    1) Si Sucesiones y series de funciones
    tiene radio de convergencia r y Sucesiones y series de funciones
    entonces Sucesiones y series de funciones
    es continua en (-r,r)

    2) (para integrales)Si Sucesiones y series de funciones
    converge uniformemente, entonces Sucesiones y series de funciones

    Si Sucesiones y series de funciones
    tiene radio de convergencia r entonces:

    Sucesiones y series de funciones

    la integral tiene radio de convergencia al menos r

    3) (para derivadas)Si Sucesiones y series de funciones
    converge uniformemente, entonces Sucesiones y series de funciones

    Demostración:

    1)Veamos que Sucesiones y series de funciones
    es continua en Sucesiones y series de funciones
    .

    Existe Sucesiones y series de funciones
    . Sucesiones y series de funciones
    es continua en Sucesiones y series de funciones
    por ser suma de funciones continuas, luego es continua en Sucesiones y series de funciones

    PROPOSICIÓN: Si Sucesiones y series de funciones
    tiene radio de convergencia Sucesiones y series de funciones
    , entonces:

    Sucesiones y series de funciones
    y Sucesiones y series de funciones
    también tiene radio de convergencia Sucesiones y series de funciones
    .

    No haremos la demostración, pero la idea es que si el radio de convergencia aumentara(Como ya hemos visto, no puede disminuir), al derivarla tendríamos una serie de radio de convergencia Sucesiones y series de funciones
    , y si integramos dicha serie obtendríamos la serie original con un radio de convergencia Sucesiones y series de funciones
    , lo cual es imposible, pues habría cambiado el radio de la serie original.

    Por ello una serie de potencias define una función indefinidamente derivable en su intervalo de convergencia.

    NOTACIÓN: Decimos que Sucesiones y series de funciones
    pertenece a las funciones de clase infinita en Sucesiones y series de funciones
    si y solo si Sucesiones y series de funciones
    es indefinidamente derivable en Sucesiones y series de funciones
    . Se representa así:

    Sucesiones y series de funciones

    Por tanto Sucesiones y series de funciones

    DEFINICIÓN: Dada una función Sucesiones y series de funciones
    indefinidamente derivable en un intervalo Sucesiones y series de funciones
    definimos su SERIE DE TAYLOR en Sucesiones y series de funciones
    como:

    Sucesiones y series de funciones

    Analogamente se define la SERIE DE TAYLOR en Sucesiones y series de funciones
    como:

    Sucesiones y series de funciones

    OBSERVACIÓN: ¿Qué relación hay entre Sucesiones y series de funciones
    y Sucesiones y series de funciones
    ?

    1)Si la serie no converge, no pueden ser iguales.

    Ejemplo:

    Sucesiones y series de funciones

    2)Si la serie converge, la suma puede ser distinta de Sucesiones y series de funciones
    . Serán iguales si además el resto enésimo tiende a cero.

    TEOREMA: Si Sucesiones y series de funciones
    es indefinidamente derivable en Sucesiones y series de funciones
    y Sucesiones y series de funciones
    , entonces:

    Sucesiones y series de funciones
    en Sucesiones y series de funciones

    TEOREMA: Si Sucesiones y series de funciones
    para un cierto Sucesiones y series de funciones
    y Sucesiones y series de funciones
    , podemos asegurar la convergencia y Sucesiones y series de funciones

    Ejemplo:

    1)Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones
    , luego es convergente en R

    Sucesiones y series de funciones

    SERIES DE FOURIER:

    IDEA INTUITIVA: Nos proponemos escribir cualquier función periódica, de periodo en principio 2, en forma de una serie de senos y cosenos. Para ello habrá que tener en cuenta las siguientes expresiones:

  • Sucesiones y series de funciones

  • Sucesiones y series de funciones

  • Sucesiones y series de funciones

  • Sucesiones y series de funciones

  • Demostracion:

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    DEFINICIÓN: Dada una función periódica de periodo 2, definimos su SERIE DE FOURIER como :

    Sucesiones y series de funciones

    Donde Sucesiones y series de funciones
    son los llamados coeficientes de Fourier, y vienen dados por:

    Sucesiones y series de funciones

    Demostración:

    Supongamos que Sucesiones y series de funciones
    . Integrando en Sucesiones y series de funciones
    :

    Sucesiones y series de funciones

    Si multiplicamos por Sucesiones y series de funciones
    e integramos en el mismo intervalo:

    Sucesiones y series de funciones

    Haciendo lo mismo con Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    Donde los ceros se producen porque las integrales que quedan son impares, y por tanto se anulan.

    OBSERVACIÓN: Lo que haremos será estudiar funciones en el intervalo Sucesiones y series de funciones
    y extenderlas(hacerlas periódicas) en Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones
    Ejemplo:

    Sucesiones y series de funciones
    si Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    Como se observa en la gráfica, a medida que aumenta n, la serie de Fourier se aproxima más a la función. En la gráfica se han sumado los 10 primeros términos.

    PROPOSICIÓN: Si Sucesiones y series de funciones
    es periódica de periodo Sucesiones y series de funciones
    , entonces se verifica que:

    Sucesiones y series de funciones

    Demostración:

    Veamos que:

    Sucesiones y series de funciones

    Hacemos Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    IDEA INTUITIVA: Ahora vamos a intentar hacer la SF para funciones periodo arbitrario. Lo que vamos a hacer es usar una adaptación de las formulas de senos y cosenos:

    Sucesiones y series de funciones
    son periódicas de periodo Sucesiones y series de funciones
    , cosa que se comprueba fácilmente, aplicando la definición de periodicidad.

    DEFINICIÓN: Sea Sucesiones y series de funciones
    una función periódica de periodo Sucesiones y series de funciones
    . Llamamos SERIE DE FOURIER de Sucesiones y series de funciones
    a:

    Sucesiones y series de funciones

    Donde Sucesiones y series de funciones
    son los llamados coeficientes de Fourier, y vienen dados por:

    Sucesiones y series de funciones

    OBSERVACIÓN: Las integrales se pueden tomar en cualquier intervalo de longitud Sucesiones y series de funciones
    , como ya vimos.

    DEFINICIÓN: Decimos que Sucesiones y series de funciones
    es continua a trozos en un intervalo Sucesiones y series de funciones
    , si es continua en Sucesiones y series de funciones
    , excepto en un nº finito de puntos Sucesiones y series de funciones
    y existen Sucesiones y series de funciones
    y Sucesiones y series de funciones
    , Sucesiones y series de funciones
    (Es decir, los límites laterales) y son finitos(Es decir, si la discontinuidad es de tipo finito.)

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    Análogamente se define una función derivable a trozos, siendo además distintas las derivadas laterales(pues sino sería derivable en el punto.):

    TEOREMA(Dirichlet): Si Sucesiones y series de funciones
    es periódica y derivable a trozos, su SF converge en el punto Sucesiones y series de funciones
    a Sucesiones y series de funciones
    .

    Por tanto, si Sucesiones y series de funciones
    es continua en Sucesiones y series de funciones
    , converge a Sucesiones y series de funciones
    .

    OBSERVACIÓN: Hasta ahora hemos estudiado el caso general de que las funciones sean cualesquiera. Pero si la función presenta simetría par o impar, los cálculos son más sencillas.

    1)Sí Sucesiones y series de funciones
    es par:

    Sucesiones y series de funciones

    2)Si Sucesiones y series de funciones
    es impar:

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones
    CALCULO(Series de senos y cosenos): Supongamos Sucesiones y series de funciones
    . Queremos desarrollarla en forma de SERIE DE SENOS. Para ello consideraremos la extensión impar de Sucesiones y series de funciones
    . Con ello hacemos que Sucesiones y series de funciones
    sea impar. A esa nueva función la llamaremos Sucesiones y series de funciones

    Lo mismo podemos hacer con la extensión par, consiguiendo así la SERIE DE COSENOS de la función, pues Sucesiones y series de funciones
    se hace par. A esta función la llamaremos Sucesiones y series de funciones

    En la figura la función original está en azul, la par en rojo y la impar en verde.

    Haciendo las SF de las funciones que nos quedan obtendremos una expresión que converge a Sucesiones y series de funciones
    en Sucesiones y series de funciones
    , y a Sucesiones y series de funciones
    o a Sucesiones y series de funciones
    en Sucesiones y series de funciones
    según corresponda.

    CALCULO(Sumación de series): A menudo nos piden que hallemos la serie de senos o de cosenos de una función, y después nos piden que sumemos una serie numérica a partir de la primera. El método para hacerlo consiste basicamente en hallar una valor de x , para el cual la serie de Fourier de senos o cosenos se pueda transformar en la serie numérica que buscamos.

    Ejemplo:

    Sucesiones y series de funciones
    Sumar : Sucesiones y series de funciones

    La serie de Fourier se calcula facilmente, ya que la función es par

    Sucesiones y series de funciones

    Como la función es convergente para x=

    Sucesiones y series de funciones

    * Véase problema nº5 de la hoja de problemas.

    12

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

    Sucesiones y series de funciones

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