Sistemas numéricos

Informática. Octal. Hexadecimal. Decimal. Conversiones. Valores posicionales. Bases

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SISTEMAS NUMÉRICOS

Digito: Es un signo que representa una cantidad contable. Dependiendo del sistema de numeración, serán los diferentes signos que se tenga para representar cualquier cantidad.

Numero: Es la representación de una cantidad contable por medio de uno o más dígitos.

Sistema de Numeración: Es un conjunto de dígitos que sirven para representar una cantidad contable.

El nombre del sistema de numeración que se trate serán los diferentes dígitos posibles para tal representación.

Así también los sistemas de numeración se les llama base, de tal manera que el sistema de numeración binario, también se le llama base 2.

Los sistemas de numeración más utilizados en electrónica son:

  • Binario o Base 2 (0, 1)

  • Octal o Base 8 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

  • Hexadecimal o Base 16 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F)

  • Decimal o Base 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Absoluto

Valores de un digito

Relativo

Valor Absoluto de un Digito: Es aquel representa un digito sin importar donde se encuentre así:

5 2 7 6 10 BASE 10

5 Cinco 2 Dos 7 Siete 6 Seis

Valor Relativo de un Digito: Es aquel representa el mismo digito, dependiendo de la posición que se encuentre con respecto a la división de los enteros y las fracciones.

53 22 71 60 = Cinco mil, doscientos, Setenta y Seis

5 x 103 + 2 x 102 + 7 x 101 + 6 x 100

5 x 1000 + 2 x 100 + 7 x 10 + 6 x 1

Conversiones Entre los Sistemas de Numeración

Conversión de decimal a cualquier otro sistema de numeración:

Para convertir de decimal a cualquier otro sistema se hará por división sucesiva, es decir que si queremos convertir a binario un numero de decimal, bastara dividir entre dos la cantidad y el resultado volverlo a dividir hasta que el resultado sea menor a 2, siempre con números enteros, de tal manera si él numero decimal es non o impar sobrara siempre uno y si es par sobrara cero y estos residuos se pondrán en orden de la ultima división a la primera y se da dicho numero binario.

BINARIO O BASE 2

Ejemplo de la conversión de decimal a binario:

7004 10 1101101011100 2 2003 10 11111010011 2

7004 0 2003 1

3502 0 1001 1

1751 1 500 0

875 1 250 0

437 1 125 1

218 0 62 0

109 1 31 1

54 0 15 1

27 1 7 1

13 1 3 1

6 0 1 1

3 1

1 1

7699 10 1111000010011 2 2531 10 1001111000112

7699 1 2531 1

  • 1 1265 1

1924 0 623 0

962 0 316 0

481 1 158 0

240 0 79 1

120 0 39 1

60 0 19 1

30 0 9 1

15 1 4 0

7 1 2 0

3 1 1 1

1 1

Para convertir de cualquier sistema de numeración a decimal se hará por el peso de los dígitos, convirtiéndose estos a decimal y sumando el resultado.

DECIMAL

BINARIO

BASE 4

OCTAL

HEXADECIMAL

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

2

10

2

2

2

3

11

3

3

3

4

100

10

4

4

5

101

11

5

5

6

110

12

6

6

7

111

13

7

7

8

1000

20

10

8

9

1001

21

11

9

10

1010

22

12

A

11

1011

23

13

B

12

1100

30

14

C

13

1101

31

15

D

14

1110

32

16

E

15

1111

33

17

F

16

10000

40

20

10

20

1

21

2

22

4

23

8

24

16

25

32

26

64

27

128

28

256

29

512

210

1024

211

2048

212

4096

213

8192

214

16, 384

215

32, 768

216

65, 573

217

131, 072

218

262, 144

219

524, 288

220

1' 048, 576

80

1

81

8

82

64

83

512

84

4, 096

85

32, 768

86

262, 144

87

2' 097, 152

160

1

161

16

162

256

163

4, 096

164

65, 536

165

1' 048, 576

En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema.

A lo largo de la historia se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes, pero existen 4 de sistemas numéricos de los mas utilizados en la actualidad y son:

  • Binario o Base 2 (2 Dígitos, 0 - 1)

  • Octal o Base 8 (8 Dígitos, 0 - 7)

  • Decimal o Base 10 (10 Dígitos, 0 - 9)

  • Hexadecimal o Base 16 (16 Dígitos, 0 - f)

Valores posiciónales

La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la posición del número completo.

Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así sucesivamente hasta obtener un cociente cero.

Sistema Numérico Binario o Base 2

El sistema de numeración más simple que usa la notación posicional es el sistema de numeración binario. Este sistema, como su nombre lo indica, usa solamente dos dígitos (0,1).

Números decimales del 0 al 10 y sus equivalentes en binario

Decimal

                        

Binario

0   

0   

1   

1   

2   

10   

3   

11   

4   

100   

5   

101   

6   

110   

7   

111   

8   

1000   

9   

1001   

10   

1010   

Sistema Numérico Octal o Base 8

El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452.32q tenemos:

2*(80) + 5*(81) + 4*(82) + 3*(83) + 3*(8-1) + 2*(8-2) = 2 + 40 + 4*64 + 64 + 3*512 + 3*0.125 + 2*0.015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 = 1834 + 40625dentonces, 3452.32q = 1834.40625d

Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal.

Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que 74 en octal es 112.

Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares. Esto explicaría porqué en latín nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus). Podría tener el significado de número nuevo.

Sistema Numérico Decimal o Base 10

El sistema de numeración decimal es el más usado, tiene como base el número 10, o sea que posee 10 dígitos (o símbolos) diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). El sistema de numeración decimal fue desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo. Si se aplica la notación posicional al sistema de numeración decimal entonces el dígito número n tiene el valor: (10n)* A

Este valor es positivo y es mayor o igual que uno si el dígito se localiza a la izquierda del punto decimal y depende del dígito A, en cambio el valor es menor que uno si el dígito se localiza a la derecha del punto decimal. Por ejemplo, el número 3489.125 expresado en la notación posicional es:


primero 9 * (100) = 9 --------- primero 1*(10-1) = 0.1
segundo 8 * (101) = 80 -------- segundo 2*(10-2) = 0.02
tercero 4 * (102) = 400 -------- tercero 5*(10-3) = 0.005
cuarto 3 * (103) = 3000

Notación Posicional del Sistema


(10-6) = 0.000001
(10-5) = 0.00001
(10-4) = 0.0001
(10-3) = 0.001
(10-2) = 0.01
(10-1) = 0.1
(100) = 1
(101) = 10
(102) = 100
(103) = 1000
(104) = 10000
(105) = 100000
(106) = 10000000



Sistema Numérico Hexadecimal o Base 16

El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base 16, (es común abreviar hexadecimal como hex aunque hex significa base seis y no base dieciséis). El sistema hexadecimal es compacto y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario, debido a esto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza el sistema numérico hexadecimal. Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16, por ejemplo, el número 123416 es igual a:

1*163 + 2*162 + 3*161 + 4*160

lo que da como resultado:

4096 + 512 + 48 + 4 = 466010

Cada dígito hexadecimal puede representar uno de dieciséis valores entre 0 y 1510. Como sólo tenemos diez dígitos decimales, necesitamos inventar seis dígitos adicionales para representar los valores entre 1010 y 1510. En lugar de crear nuevos símbolos para estos dígitos, utilizamos las letras A a la F.


Para convertir un número hexadecimal en binario, simplemente sustituya los correspondientes cuatro bits para cada dígito hexadecimal, por ejemplo, para convertir 0ABCDh en un valor binario:

0 A B C D (Hexadecimal)

0000 1010 1011 1100 1101 (Binario)