Los puntos útiles de una función son aquellos cuya coordenada x o y se anula.
Intersecciones con los ejes ya que corta el eje x o y. Un punto (a, 0) es una x-intersecciones de la gráfica de una ecuación si es un punto de la solución de la ecuación. Para lo mismo será y-intersecciones (0,b) cuando la gráfica de la ecuación sea una solución de la misma.
Para determinar el número de x-intersecciones:
Igualamos la y a cero. y=0.
Resolvemos la ecuación para x (mediante la fórmula general de binomios, Ruffini…)
Para determinar el número de y-intersecciones:
Igualamos la x a cero. x=0.
Resolvemos la ecuación para la y.
Ejemplo
Encontrar el número de intersecciones con los ejes de la gráfica y=x³- 4x.
(Determinación de x-intersecciones).
Igualar y a 0 y se aísla x.
x³- 4x = 0
Resolución de la ecuación (factorizar)
x (x - 2)(x+2) = 0
De esta manera se conoce que:
X1 = 0 f (0) = 0 (0, 0)
X2 = 2 f (2) = 0 (2, 0)
X3 = -2 f (-2) = 0 (-2, 0)
(determinación de y-intersecciones)
Igualar x a 0.
X=0 f (0) = 0
Por lo tanto, dicha ecuación no corta explícitamente el eje de las y.
Aproximar los ceros de una función
Método de Newton
Sirve para aproximar ceros de una función.
Utiliza las rectas tangentes para aproximar la gráfica de la función cerca de sus x-intersecciones.
Para ver como funciona:
PROBLEMA 1
Datos
Función f (x) continua para [a, b]
Derivable para (a, b)
Si f (a) y f (b) son signos opuestos CORROBORA que almenos existe un cero de la función f (x) para el intervalo (a, b).
Como primera estimación sabemos que x = x1.
Se basa en que la gráfica f (x) y la recta tangente en (x1, f (x1)) cruzan el eje x por el mismo punto. Al ser relativamente fácil calcular la x-intersección de la recta tangente, podemos usarla como segunda estimación (mejor que la 1ª) para el cero de f (x). La recta tangente pasa por el punto (x1, f (x1)) con pendiente = f' (x1). En forma punto-pendiente, la ecuación de esa recta tangente es, por tanto:
y - f (x1) = f' (x1) (x- x1)
y = f' (x1) (x- x1) + f (x1)
Desarrollando y = 0, y despejando x, obtenemos
Así pues, de la primera estimación x1 hemos pasado a una nueva estimación:
Podemos mejorar x2 calculando la tercera estimación:
La aplicación reiterada de este proceso nos llevará a un resultado mucho más fiable y menos inequívoco.
RESUMEN DEL PROCESO
Ejercicio de comprensión (pág.226 ej.1)
1. para x1 = 1,7
PRIMER PASO
(gráfica f (x))(gráfica f (x) ampliada)
SEGUNDO PASO
1
1,7000
-0,1100
3,4000
-0,0323
1,7323
2
1,7324
0,0012
3,4648
0,0003
1,7321
*seguir hasta que sea el valor más próximo a 0.
**= número de iteraciones.
TERCER PASO (último)
Representa de forma clara si el último valor adquirido está dentro de nuestro intervalo cogido como óptimo.
Ejemplo 2
Usar el método de Newton para aproximar ceros de la siguiente función:
Iterar hasta que dos aproximaciones sucesivas difieran en menos de 0.0001.