SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

1. INTRODUCCIÓN:

Ahora vamos a trabajar con sistemas de ecuaciones diferenciales dados de la siguiente forma:

Y eso podemos expresarlo matricialmente:

Que a su vez se puede escribir como:

Nuestro objetivo será resolver dicho sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Empezaremos por estudiar el sistema homogéneo asociado:

Para después hallar una solución particular del sistema, y tener así la solución general:

2. RESOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS HOMOGENEOS:

2.1. RESOLUCIÓN MEDIANTE DIAGONALIZACIÓN:

Vamos a simplificar el sistema homogéneo asociado de la manera más sencilla posible. Para ello empezamos por suponer que es diagonalizable. Modificaremos el sistema mediante un cambio de base:

De tal manera que:

Si sustituimos en el sistema:

Tenemos entonces:

Con lo que:

Integrando

Representándolo matricialmente:

Y deshaciendo el cambio de base:

Veamos un ejemplo:

Lo normalizamos:

Operamos:

Hallamos la matriz de paso:

Deshacemos el cambio:

2.2. RESOLUCIÓN MEDIANTE JORDÁN:

Si estudiamos el problema propuesto veremos que es muy parecido a las ecuaciones escalares cuyas soluciones eran de la forma , con . Aquí veremos que las soluciones del sistema homogéneo son:

con . Para ello vamos a estudiar esa exponencial, sus propiedades y la forma de calcularla. Posteriormente veremos su aplicación a los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de orden con coeficientes constantes.

Exponencial de una matriz:

Sabemos que el desarrollo en serie de la exponencial es convergente , y es de la forma:

Parece natural aplicarlo a matrices:

Si es diagonal:

Si es de la forma:

Si es de la forma:

Si es de la forma:

Y recordando que si la matriz es una matriz diagonal construida con las submatrices :

Se verifica que:

Y por tanto:

Como consecuencia de ello:

Con dichas herramientas ya podemos aplicar la exponencial de una matriz.

Aplicación a los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales:

Sabemos que la solución del problema planteado es:

Sin embargo, no podemos aplicar directamente la definición de exponencial compleja a dicho problema, ya que nos llevara a hacer sumas infinitas, que serán imposibles en la práctica. Debemos trabajar con una matriz cuya exponencial sea más sencilla. Se impone, pues, un cambio de base que facilite el cálculo, de tal manera que:

Y el sistema resultante sea más sencillo. Se trata, pues, de encontrar el cambio de base más sencillo posible. Puesto que no siempre podremos diagonalizar, habremos de usar la Matriz de Jordán.

Existe un teorema que nos garantiza que dada una matriz real de dimensiones , existe otra matriz regular real tal que se verifica que es una matriz compuesta diagonalmente por bloques, bien de la forma:

O de la forma:

Con autovalor complejo de . Son los llamados bloques de Jordán. Los autovalores reales, con multiplicidad, aparecen sobre la diagonal principal, y cada bloque aparece tantas veces como indique la multiplicidad del autovalor correspondiente.

Dicha matriz es la forma canónica real de , y se calcula a partir de la forma canónica de Jordán. Para hallarla debemos encontrar la matriz de Jordán, con sus valores complejos, que será de la forma:

Donde son los bloques correspondientes a los autovalores reales, y y son los bloques correspondientes a los autovalores complejos y sus conjugados. Y la matriz de paso:

Siendo , , los autovectores correspondientes a los autovalores reales, complejos y complejos conjugados respectivamente.

Para pasar a la forma canónica real debemos dejar como están los bloques correspondientes a los autovalores reales, al igual que sus vectores de la matriz de paso. Eliminamos los bloques y los vectores correspondientes a los autovalores complejos conjugados, y convertimos los bloques y los autovectores de los autovalores complejos de la siguiente forma:

3. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN COMPLETA:

Para resolver el sistema completo hará falta resolver la homogénea y calcular una solución particular del completo. Operaremos de la siguiente manera:

Supongamos que
sea una solución particular de la completa. En tal caso:

Luego la particular vendrá dada por:

4. EJEMPLO:

Sea el sistema de ecuaciones diferenciales lineales:

Evidentemente:

Hallamos la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo asociado al sistema dado:

Su polinomio característico es:

Sus autovalores son:

Estudiamos el autovalor :

Eso implica que el autoespacio asociado tiene dimensión 1, con lo que le corresponde una única caja. Por tanto la matriz de Jordán correspondiente será:

Luego la forma real de Jordán será:

La base asociada a es:

Operando con ella:

La base asociada a es:

Por tanto la base asociada a es:

Luego la base total será:

Y pasando a la forma real de la base de Jordán:

Por tanto la matriz de paso será:

Resolvemos:

Y ahora hallamos la solución particular: