Resolución de la ecuación algebraíca cúbica

Introducción

Los protagonistas

Cardano, Girolamo(Hieronymus Cardanus. Jerome Cardan) (1501_1576): Físico, astrólogo y algebrista italiano, autor de Ars Magna (Nuremberg 1547), primer texto latino dedicado exclusivamente al álgebra. Esta obra contiene una solución para las ecuaciones cúbicas (ecuaciones con incógnitas elevadas a la tercera potencia). Procedimiento que se dice obtuvo Cardano de su descubridor Niccolo Tartaglia, con una promesa de secreto que Cardano dejó de cumplir.

En mecánica inventó la suspensión Cardan, hoy ampliamente difundida, en su aplicación a los automotores, como articulación que sirve para transmitir el movimiento de un árbol a otro cuando ambos forman un cierto ángulo.

Niccolo Tartaglia: Geómetra italiano(1499-1557), cuyo verdadero nombre era Niccolo Fontana, en tanto que Tartaglia era un apodo que significa: el tartamudo. Se le debe el método de resolución de las ecuaciones de tercer grado, y de la primera aplicación de las matemáticas al arte militar(año 1541). Tartaglia no publicó su descubrimiento, pues en esa época era costumbre mantenerlos en secreto. Bajo promesa solemne de no divulgarlo, Tartaglia comunicó sus resultados a Cardano, sin embargo este lo publicó como propio, según se dijo antes,lo que dio lugar a una disputa entre Tartaglia y Cardano y sus discípulos. Como se vé Cardano actuaba como un moderno Jefe de Grupo

Los matemáticos italianos y los artificios matemáticos

A continuación transcribo el texto del Dr. Gino Moretti, página 2, de su libro Métodos matemáticos de la Física (1959) :

"Cuando un razonamiento es complicado. no se puede pretender que la fórmula que lo expresa sea simple, pero en todo caso será necesario manipularla con cuidado, hasta reducirla a su forma apta para sacar conclusiones útiles. Estos manipuleos constituyen el desarrollo formal de un problema, que a menudo se convierte en una pesadilla para los estudiantes, preocupados por aprenderlos de memoria con el solo objeto de aprobar exámenes.

Algún espíritu despectivo ha insinuado alguna vez, la palabra artificio para designar alguna de estas transformaciones. La palabra sugiere que el desarrollo de las fórmulas sea algo artificial, si se prefiere fruto de una revelación mágica a un ser dotado de poderes sobrehumanos. Esto es completamente falso. Si se quiere entender la Matemática y estudiarla con espíritu tranquilo, hay que convencerse primeramente que los llamados artificios son la traducción formal de un razonamiento lógico que se podría expresar con palabras, y que el desarrollo formal, paso a paso, responde a una necesidad lógica. No existen pues artificios en las Matemáticas."

Pese a estas palabras, el Dr. Moretti durante sus clases sobre Mecánica de los Fluídos,frecuentemente expresaba"...y mediante un artificio matemático.. etc, etc, etc"

Volviendo ahora a la resolución de la ecuación cúbica, considero que Tartaglia, despues de una noche de febril actividad, según expresa la crónica, recurre a un verdadero artificio matemático para lograr la mencionada solución. Y en verdad tiene aspecto de algo mágico, de sacado de la galera. En realidad la galera es una mente prodigiosa, excepcional.

Para los que no estamos así dotados, y sólo contamos con la lógica y el razonamiento, resulta realmente pertubador. Es así que me lancé a la tarea de llegar a las ecuaciones de Tartaglia/Cardano, a partir de las relaciones que ligan a las raíces con los coeficientes de la ecuación. Pero el trabajo fue en vano, ensayé cambios de variables, algunas lógicas y otras no tanto, sin resultado, pero como compensación logré un premio consuelo, que es el que describo en mi monografía.

Antes de finalizar vamos a hacer un breve repaso del procedimiento de Tartaglia/Cardano.

-Sea la ecuación cúbica reducida y=x3+cx+d=0, haciendo x=(A+B);x3=(A+B)3=A3+B3+3AB(A+B), luego

x3-(A3+B3)-3AB(A+B)=0, ordenando:x3-3AB(x)-(A3+B3)=0; identificando con la ecuación cúbica¸tendremos c=-3AB; d=-(A3+B3) , luego A=- c/3B, en consecuencia A3=-c3/27B3, luego: d=-(-c3/27B3+B3)=c3/27B3-B3, con lo que obtenemos

B3d=c3/27-B6; ordenando resulta:B6+dB3-c3/27=0, la cual se puede poner como

(B3)2+dB3-c3/27=0, y ser resuelta como una ecuación de2º en B3, lo que nos conduce a las siguientes expresiones:

B13=-d/2+(d2/4+c3/27)1/2 ;B23=-d/2-(d2/4+c3/27)1/2 y finalmente obtenemos:

B1=(-d/2+(d2/4+c3/27)1/2)1/3; B2=(-d/2-(d2/4+c3/27)1/2)1/3

Ahora debemos hacer varias aclaraciones :al contemplar todas las posibles raíces, incluidas las complejas, aparecen (9) nueve valores posibles.

Aplicando una serie de criterios, llegamos a las fórmulas de Cardano, que nos determinan las tres raíces de la ecuación reducida.

Pero si lo que tenemos que resolver es la ecuación cúbica completa

Y=x3+bx2+cx+d=0, entonces previamente debemos hacer el cambio de variable x=z-b/3, para llegar así a una ecuación cúbica reducida de la forma:

W=z3+(c-b2/3)z+2b3/27-bc/3+d=0

Todos estos pasos son obviados en el método propuesto en mi Monografía, lo cual considero hace muy atractivo al mismo.