Probabilidad

Coeficiente Binomial

Si n es un entero positivo y multiplicamos (x+y)n término por término. Cada uno de ellos sera el producto de las x y las y, donde una x o una y provenga de cada uno de los factores x+y.

Por ejemplo: la expansion (x+y)3= (x+y) (x+y) (x+y)= x3+3x2y+3xy2+y3

Produce terminos de la forma: x3, 3x2y, 3xy2 y y3

Sus coeficientes son: 1, 3, 3, y 1.

Y el coeficiente de xy2, por ejemplo, es , el numero de formas en que podemos escoger los dos factores que proporcionan las y.

De la misma manera, el coeficiente x2y es , el numero de formas en que podemos elegir el factor que proporciona las y, y los coeficientes de x3 y y3 son:

En forma mas general, si n es un entero positivo y multiplicamos (x+y)n término por término, el coeficiente de de xn-r yr es , el numero de formas en la que podemos elegir los r factores que proporcionan las y. Según esto, nos referimos a como un coeficiente binomial.

Ahora podemos enunciar los siguientes teoremas:

• Teorema 1: para cualquier entero positivo n.

El calculo de coeficiente binomial a menudo puede simplificarse mediante el uso de

Los tres teoremas que siguen.

.

• Teorema 2: Para dos enteros negativos cualesquiera n y r se verifican la igualdad .

Podriamos argumentar que cuando seleccionamos un subconjunto de r objetos de un conjunto de n objetos distintos dejamos un subconjunto de n-r objetos y, por consiguiente, hay tantas maneras de seleccionar r objetos como dejar (o seleccionar) n-r objetos. Para demostrar el teorema en forma algebraica, escribimos:

Ejemplo:

Determine .

Solucion: Para obtener utilizamos el hecho de que , buscamos y de la misma manera .

• Teorema 3: Para cualquier entero positivo n y para r= 1,2,…,n-1, verifica .

• Teorema 4: .