Probabilidad

Estadística. Variables independientes. Tareas

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Probabilidad

ESTADISTICA

PIEGI / UTFSMCS

20 de Junio 2002

TAREA ESTADISTICA

DEMOSTRACIONES DE PROBABILIDAD

Tarea:

Si A y B son independientes:

  • A-B y B-A son independientes?

  • A y B-A son independientes?

  • A y A-B son independientes?

  • B y B-a son independientes?

  • B y A-B son independientes?

  • Desarrollo:

    Se sabe que si A y B son independientes: A y Bc son independientes

    Ac y B son independientes

    Ac y Bc son independientes

  • A-B y B-A son independientes:

  • Sea T= A-B

    W=B-A

    Sean T y W independientes Probabilidad

    P(TProbabilidad
    W) = P[(A-B)Probabilidad
    (B-A)]

    P(TProbabilidad
    W) = P[(AProbabilidad
    Bc)Probabilidad
    (AcProbabilidad
    B)]

    P(TProbabilidad
    W) = P[(AProbabilidad
    Ac)Probabilidad
    (BProbabilidad
    Bc)]

    P(TProbabilidad
    W) = P[(Probabilidad
    )Probabilidad
    (Probabilidad
    )]

    P(TProbabilidad
    W) = 0

    P(T)*P(W) = 0 ecc.(1)

    Por otro lado:

    P(T) = P(A-B)

    P(T) = P(AProbabilidad
    Bc)

    P(T) = P(A) * P(Bc)

    P(W) = P(B-A)

    P(W) = P(BProbabilidad
    Ac)

    P(W) = P(B) * P(Ac)

    En consecuencia:

    P(T)*P(W) = P(A) * P(Bc) * P(B) * P(Ac)

    P(T)*P(W) = P(A) * (1 - P(B)) * P(B) * (1 - P(A))

    Ordenando:

    P(T)*P(W) = P(A) * P(B) * (1 - P(B)) * (1 - P(A)) ecc.(2)

    No son independientes ya que ecc.(1) y ecc.(2) no son iguales.

    2) ¿A y (B-A) son independientes?

    Sea T= A

    W=B-A

    Sean T y W independientes Probabilidad

    (TProbabilidad
    W) = AProbabilidad
    (B-A)]

    (TProbabilidad
    W) = AProbabilidad
    (B Probabilidad
    Ac)

    (TProbabilidad
    W) = A Probabilidad
    Ac Probabilidad
    B

    P(TProbabilidad
    W) = P(Probabilidad
    B )

    P(TProbabilidad
    W) = P(Probabilidad
    )

    P(TProbabilidad
    W) = 0

    P(T)*P(W) = 0 ecc.(3)

    Por otro lado:

    P(T) = P(A)

    P(W) = P(B Probabilidad
    Ac)

    P(T)*P(W) = P(A) * P(B Probabilidad
    Ac)

    P(T)*P(W) = P(A) * P(B) * P(Ac)

    P(T)*P(W) = P(A) * P(B) * [1-P(A)]

    P(T)*P(W) = P(A) * P(B) - P(B) * [P(A)]2 ecc.(4)

    Como ecc(3) no es igual a ecc(4) no son independientes

    3)¿A y (A-B) son independientes?

    Sea T= A

    W=A-B

    Sean T y W independientes Probabilidad

    (TProbabilidad
    W) = AProbabilidad
    (A-B)]

    (TProbabilidad
    W) = AProbabilidad
    (BcProbabilidad
    A)

    P(TProbabilidad
    W) = P(A Probabilidad
    A Probabilidad
    Bc)

    P(TProbabilidad
    W) = P(A Probabilidad
    Bc)

    P(T)*P(W) = P(A) * P(Bc) ecc.(5)

    Por otro lado:

    P(T) = P(A)

    P(W) = P(A Probabilidad
    Bc)

    P(W) = P(A) * P(Bc)

    P(T)*P(W) = P(A) * P(A) * P(Bc)

    P(T)*P(W) = [P(A)]2 * P(Bc) ecc.(6)

    Como ecc(5) no es igual a ecc(6) no son independientes, excepto para P(A) = 1

    4)¿B y (B-A) son independientes?

    Sea T= B

    W=B - A

    Sean T y W independientes Probabilidad

    (TProbabilidad
    W) = BProbabilidad
    (B-A)]

    (TProbabilidad
    W) = BProbabilidad
    (B Probabilidad
    Ac)

    (TProbabilidad
    W) = (B Probabilidad
    B Probabilidad
    Ac )

    (TProbabilidad
    W) = (B Probabilidad
    Ac)

    P(TProbabilidad
    W) = P(B Probabilidad
    Ac)

    P(T)*P(W) = P(B) * P(Ac) ecc.(7)

    Por otro lado:

    P(T) = P(B)

    P(W) = P(B - A)

    P(W) = P(B Probabilidad
    Ac)

    P(W) = P(B) * P(Ac)

    P(T)*P(W) = P(B) * P(B) * P(Ac)

    P(T)*P(W) = [P(B)]2 * P(Ac) ecc.(8)

    Como ecc(7) no es igual a ecc(8) no son independientes, excepto para P(B) = 1

    5)¿B y (A-B) son independientes?

    Sea T= B

    W= A - B

    Sean T y W independientes Probabilidad

    (TProbabilidad
    W) = BProbabilidad
    (A-B)]

    (TProbabilidad
    W) = BProbabilidad
    (A Probabilidad
    Bc)

    (TProbabilidad
    W) = (B Probabilidad
    A Probabilidad
    Bc )

    P(TProbabilidad
    W) = P(B Probabilidad
    Bc Probabilidad
    A)

    P(TProbabilidad
    W) = P(Probabilidad
    Probabilidad
    A)

    P(T)*P(W) = P(Probabilidad
    )

    P(T)*P(W) = 0 ecc.(9)

    Por otro lado:

    P(T) = P(B)

    P(W) = P(A - B)

    P(W) = P(A Probabilidad
    Bc)

    P(W) = P(A) * P(Bc)

    P(T)*P(W) = P(B) * P(A) * P(Bc)

    P(T)*P(W) = P(B) * P(A) * [1 - P(B)]

    P(T)*P(W) = P(B) * P(A) - P(A)* [P(B)]2 ecc.(10)

    Como ecc(9) no es igual a ecc(10) no son independientes.