Números complejos

Unidad imaginaria. Complejo conjugado. Forma polar. Módulo y argumento. Raíces

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En el mundo de las matemáticas se utilizan diferentes grupos de números como son nos números naturales, los enteros, los racionales o los reales. Pero algunas ecuaciones algebraicas, concretamente las ecuaciones en las que hay que calcular las raíces cuadradas de números negativos es donde aparecen los números complejos, que nos ayudan a resolverlas.

2

Número imaginario : número complejo cuyo componente imaginario no es 0.

Si la parte real es 0 entonces es un número imaginario puro.

Número complejo: expresiones de tipo a + bi donde a y b son n. reales. Tienen parte real y parte imaginaria.

Esta es la forma bionómica ya que tiene solo dos términos

*Los números complejos opuestos son a + bi y -a - bi .

*Los números complejos conjugados son z= a+ bi y z = a - bi

3. Euler, Leonhard (1707-1783),es un matemático suizo que en una de sus obras trataba la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada. En la matemática pura, él integró el cálculo diferencial de Leibniz y el método de Newton de flúxiones dentro del análisis matemático; refinó la noción de función; hizo común muchas notaciones matemáticas, incluso e, i, el símbolo de pi, y el símbolo de sigma

4

Como resultado de sumar, restar, multiplicar o dividir dos números complejos obtenemos otro número complejo.

Para sumar y restar se siguen las reglas de las operaciones de los números reales y cumplen la propiedad de asociación y la conmutativa pero teniendo en cuenta que

El 0 es el elemento neutro de la suma

-suma

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.   

Ejemplo: (4-2i) + (3+6i) = (4+3) + (-2+6)i = (7+4i)

- resta

(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i

Ejemplo: (9+3i) - (4+5i) = (9-4) + (3-5)i = (5-2i)

En la multiplicación también se siguen los pasos de la multiplicación de números reales . cumple también la propiedad asociativa y conmutativa

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación

-multiplicación

(a+bi) . (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i. 

Ejemplo: (3+2i)-(4+1i) = (3 4 - 2 1)+(3 1 + 2 4)i =(12-2)+(3+8)i= (10 + 11i)

.
el resultado de multiplicar un número complejo por su conjugado es siempre un número real.

- dividir

Números complejos

Para dividir dos números complejos hay que eliminar primero la parte imaginaria del denominador. Para ello multiplicamos al denominador por su conjugado. A continuación hacemos lo mismo con el numerador

Ejemplo:

(4-2i) / (3+6i)

(3+6i) . (3-6i) = (32+62) = 45

(4-2i) . (3-6i) = (12-12) + (-6-24)i = 0 -30i

Números complejos

*NO SE PUEDE DIVIDIR POR 0

potencias

Potencias de la Unidad Imaginaria:

Números complejos

Números complejos

Números complejos

Números complejos

Números complejos

Números complejos

Números complejos

Números complejos

Para encontrar el resultado de cualquier potencia de la unidad imaginaria “i” cogemos su exponente, y lo dividimos entre 4, y el resto siempre que va a se menor que 4 , será el valor que buscamos.

EjemploNúmeros complejos
   

Al dividir 43 entre 4 nos da 10 de cociente y 3 de resto.

5.

Todos los conjuntos numéricos que conocemos(naturales, racionales etc) se pueden representar en la recta real. Todos estos números ocupan cada punto de la recta por lo que a la hora de representar los números complejos nos vemos “obligados” a salir de la recta y rellenar el plano llamado plano complejo.

Se representan con ejes cartesianos siendo x el eje real e y el eje imaginario.

El punto extremo de la flecha se llama afijo del número complejo.

(a+bi) se representa :

-en el punto (a,b)

- mediante un vector de origen (0,0) y extremo en (a,b)

*las ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales y además sin solución real tienen dos soluciones imaginarias: números complejos conjugados

6. Expresiones de los números complejos en forma polar.

Cada número complejo tiene un módulo y un argumento.

El módulo el la longitud del vector que representa el número complejo. Se representa z

El argumento es el ángulo que forma el vector respecto al eje real. Se designa arg(z)

Z es igual al radio (r) y arg(z) es igual a se podría decir entonces que

El número complejo 0 no se pone en forma polar.

8.

bibliografía usada:

  • Encarta

  • Libro de matemáticas

En internet:

  • www.lasalvación.com/matemáticas

  • ceinte.hypermart.net/matematicas/complex.htm

  • platea.pntic.mec.es/~anunezca/Word/COMPLEJOS.html

  • www.imaginativa.cl/~profesores/complj.htm

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