Momentos de inercia y teorema de Steiner

Objetivos. Material. Fundamento. Inercia experimentales

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MEMORIA DE LA PRACTICA NUMERO 8

Objetivos

  • Pretendemos averiguar experimentalmente cual es la constante recuperadora R de un muelle en espiral.

  • Calcular, tanto experimental como teóricamente, los momentos de inercia de los diferentes objetos problema.

  • Comprobar que se cumple el teorema de Steiner.

Material

  • Soporte en forma de trípode pequeño con el muelle en espiral a estudiar.

  • Barra con dos masas móviles.

  • Objetos problema :

      • Esfera

      • Cilindro macizo

      • Cilindro metálico hueco

      • Disco

      • Disco con agujeros

      • Soporten adicional.

      • Cronómetro.

      • Dos dinamómetros de 1 y 3 Newtones.

      • Fundamento

        Trabajamos con un sistema elástico en rotación, esa rotación está producida por un muelle en espiral. El sistema se encontrará en equilibrio cuando la energía potencial sea mínima. Cuando el sistema da un giro, aparece un momento que tiende a devolverlo a su posición inicial.

        Si suponemos que dicho momento recuperador es función únicamente del ángulo de giro, entonces podemos poner que:

        (1)

        Donde R recibe el nombre de constante recuperadora, y tiene signo negativo.

        El período de oscilación del sistema para pequeñas oscilaciones viene dado por:

        (2)

        Cuando conocemos el valor de la constante R, despejando de la anterior ecuación, podemos calcular el momento de inercia I, este momento sería experimental y lo podemos comprobar posteriormente con los momentos de Inercia calculados teóricamente.

        El teorema de Steiner se basa en que si calculamos el momento de Inercia de un cuerpo respecto al eje principal, luego el momento de inercia respecto de un eje paralelo al eje anterior vendrá dado por la fórmula:

        donde Io es el momento de inercia respecto del eje principal, y d la distancia entre ambos ejes.

        Datos y Resultados

        A) Pretendemos averiguar el valor de la constante R.

        Colocamos la varilla sobre el soporte y la giramos 90º, con el dinamómetro observamos la fuerza que se ejerce. Así sucesivamente hasta un ángulo de 540º.

        El momento vendrá dado por M=F·d·sen 90, pero como sen 90=1, entonces M=F·d. Siendo d la distancia del dinamómetro al centro del sistema, que es constante y vale 30 cm.

        d=30 cm. = 0.3 m

        Momento obtenido en función del ángulo

        Ángulo de giro

        en radianes

        Fuerza ejercida

        Momento

        M=F·d

        π/2

        0.06 N

        0.018

        π

        0.16 N

        0.048

        3π/2

        0.26 N

        0.078

        0.4 N

        0.120

        2π+π/2

        0.47 N

        0.141

        2π+π

        0.58 N

        0.174

        B) Hemos obtenido el valor de R por la recta ajustada por mínimos cuadrados:

        R = 0.02

        Ahora calcularemos los momentos de inercia experimentales de los diferentes objetos problema empleando la expresión nº(2).

        Colocamos sobre el soporte la esfera, la hacemos girar 90º y cronometramos el tiempo que tarda en realizar 10 oscilaciones, así obtendremos el período, realizamos la misma operación con los demás objetos.

        R = 0.02

        Ángulo que giramos = 90º

        Oscilaciones = 10

        Momentos de inercia experimentales

        En los errores de los datos, hemos considerado el error absoluto.

        Para el período hemos tomado el mismo error que el de la media del tiempo, solo que dividido por 10.

        El error del momento de inercia lo calculamos teniendo en cuenta el error del período, calculamos el valor que tendría dicho momento si el período (dentro de su error) tomase el valor mínimo o máximo, y posteriormente lo restamos del momento que hemos calculado como válido.

        Esfera

        Tiempo en s.

        <Tiempo>

        Período

        Inercia

        16.33

        16.60

        16.52

        16.52±0.07

        1.652±0.007

        (1.383±0.011)·10-3

        16.51

        16.59

        16.59

        Cilindro macizo

        Tiempo en s.

        <Tiempo>

        Período

        Inercia

        8.57

        8.53

        8.56±0.02

        0.856±0.002

        (3.712±0.017)·10-4

        8.59

        Cilindro hueco

        Tiempo en s.

        <Tiempo>

        Período

        Inercia

        11.75

        11.72

        11.75±0.02

        1.175±0.002

        (6.994±0.024)·10-4

        11.78

        Disco relleno

        Tiempo en s.

        <Tiempo>

        Período

        Inercia

        16.23

        16.27

        16.27±0.02

        1.627±0.002

        (1.341±0.034)·10-3

        16.32

        Varilla

        Tiempo en s.

        <Tiempo>

        Período

        Inercia

        26.07

        25.80

        25.97±0.12

        2.597±0.012

        (3.417±0.314)·10-3

        26.05

        Momentos de inercia teóricos

        El error que asignamos al momento de inercia lo hemos calculado de la misma forma que el anterior, pero esta vez teniendo en cuenta los errores que podríamos cometer al calcular la masa o el radio.

        Ahora empleamos las fórmulas para calcular los momentos de inercia teóricos de los mismos objetos anteriores.

        Esfera

        Masa = 873 g. = 0.873 Kg.

        Radio = Diámetro / 2 = 138 mm. /2 = 69 mm. = 0.069 m.

        (I=1.662±0.049)·10-3

        Cilindro macizo

        Masa = 370.1 g. = 0.3701 Kg.

        Radio = Diámetro / 2 = 99 mm. /2 = 49.5 mm. = 0.0495 m.

        (I=4.534±0.019)·10-4

        Cilindro hueco

        Masa = 375.9 g. = 0.3759 Kg.

        Radio = Diámetro / 2 = 100 mm. /2 = 50 mm. = 0.05 m.

        (I=9.397±0.383)·10-4

        Disco relleno

        Masa = 283.5 g. = 0.2835 Kg.

        Radio = Diámetro / 2 = 216 mm. /2 = 108 mm. = 0.108 m.

        I=(1.663±0.022)·10-3

        Varilla

        Masa = 131.9 g. = 0.1319 Kg.

        Longitud = 60 cm. = 0.6 m.

        I=(3.957±0.134)·10-3

        A continuación relacionamos en una tabla los momentos de inercia obtenidos tanto de la forma experimental como teórica para poder verificar su semejanza. Los presentamos de esta forma, sin exponente, para observar mejor su relación.

        Tabla comparativa de los momentos de inercia

        Momento experimental

        Momento teórico

        Esfera

        0.0013830 ± 0.0000110

        0.0016620 ± 0.0000490

        Cilindro macizo

        0.0003712 ± 0.0000017

        0.0004550 ± 0.0000019

        Cilindro hueco

        0.0006994 ± 0.0000024

        0.0009397 ± 0.0000383

        Disco relleno

        0.0013410 ± 0.0003400

        0.0016630 ± 0.0000220

        Varilla

        0.0034170 ± 0.0003140

        0.0039570 ± 0.0001340

        Se aprecia que los momentos de inercia calculados de diferentes formas son muy semejantes, y también que en los momentos de inercia más pequeños; en los dos cilindros, las diferencias son ligeramente mayores.

        C) Ahora comenzamos con el disco perforado, es un disco que tiene unos orificios separados entre sí a una distancia constante de 3 cm. de forma que al introducirlo en el soporte por los diferentes agujeros se obtienen los ejes paralelos.

        Colocamos el disco con el orificio central como eje principal, lo hacemos girar 90º y contamos el tiempo que tarda en realizar 10 oscilaciones, realizamos la misma operación pero cambiando el eje. Nos vamos alejando del centro con una distancia constante de 3 cm.

        Calculamos el momento de inercia experimental de la misma forma que hemos calculado los anteriores.

        R = 0.02

        Ángulo que giramos = 90º

        Oscilaciones = 10

        Distancia que separamos = 3 cm.

        Momentos de inercia experimentales

        Disco con agujeros

        Distancia del eje al centro = 0 cm. = 0 m.

        Tiempo en s.

        Dispersión

        <Tiempo>

        Período s-1

        Inercia

        27.28

        27.46

        0.657±0.044

        27.36±0.01

        2.736±0.001

        (3.792±0.003)·10-3

        27.33

        Distancia del eje al centro = 3 cm. = 0.03 m.

        Tiempo en s.

        Dispersión

        <Tiempo>

        Período s-1

        Inercia

        28.16

        28.03

        0.817±0.057

        28.15±0.04

        2.815±0.004

        (4.018±0.076)·10-3

        28.26

        Distancia del eje al centro = 6 cm. = 0.06 m.

        Tiempo en s.

        Dispersión

        <Tiempo>

        Período s-1

        Inercia

        29.07

        29.05

        0.206±0.015

        29.08±0.01

        2.908±0.001

        (4.284±0.003)·10-3

        29.11

        Distancia del eje al centro = 9 cm. = 0.09 m.

        Tiempo en s.

        Dispersión

        <Tiempo>

        Período s-1

        Inercia

        30.96

        31.06

        0.322±0.025

        31.02±0.01

        3.102±0.001

        (4.875±0.003)·10-3

        31.04

        Distancia del eje al centro = 12 cm. = 0.12 m.

        Tiempo en s.

        Dispersión

        <Tiempo>

        Período s-1

        Inercia

        34.38

        34.32

        0.813±0.069

        34.43±0.05

        3.443±0.005

        (6.005±0.018)·10-3

        34.60

        Calculamos los correspondientes errores de la recta.

        Error de la pendiente:

        Error = 0.00021

        Error de la ordenada:

        Error = 0.00006

        Pendiente a = 0.01760 ± 0.00021

        Ordenada b = 0.00350 ± 0.00006

        A continuación realizamos una tabla para comprobar que se cumple el teorema de Steiner, para ello tomamos los datos de la ecuación de la recta ajustada, donde x representa la distancia.

        (3)

        y sustituimos en la ecuación (3) la x por el valor de d.

        Tabla comparativa de los momentos de inercia calculados de dos formas.

        Distancia

        Momento de inercia con la recta (3)

        Momento de inercia con la ecuación (2)

        0.00

        0.003500 ± 0.003560

        0.003792 ± 0.00003

        0.03

        0.004028 ± 0.004818

        0.004018 ± 0.00076

        0.06

        0.004556 ± 0.009577

        0.004284 ± 0.00003

        0.09

        0.005084 ± 0.014335

        0.004875 ± 0.00003

        0.12

        0.005612 ± 0.019093

        0.006005 ± 0.00018

        Las semejanzas entre los momentos de inercia son obvias, e incluso en los dos últimos resultados en los cuales las diferencias son mayores, también lo es el error cometido al calcularlas por la ecuación de la recta.

        D) En ésta última parte de la práctica empleamos la varilla, la colocamos en el soporte y a cada extremo le ponemos dos masas móviles. Procedemos igual que las veces anteriores, giramos 90º, contamos 10 oscilaciones..., y vamos acercando las masas móviles hacia el eje de giro con una distancia constante de 3 cm.

        R = 0.02

        Ángulo que giramos = 90º

        Oscilaciones = 10

        Distancia que acercamos = 3 cm.

        Longitud de la varilla = 60 cm.

        Masa de la varilla = 131.9 g.

        Momentos de inercia experimentales

        Varilla

        Distancia del eje al centro = 30 cm. = 0.3 m.

        Tiempo en s.

        Dispersión

        <Tiempo>

        Período

        Inercia

        83.10

        82.71

        0.495±0.102

        82.83±0.05

        8.283±0.005

        0.03476±0.00004

        82.69

        Distancia del eje al centro = 27 cm. = 0.27 m.

        Tiempo en s.

        Dispersión

        <Tiempo>

        Período

        Inercia

        75.03

        75.13

        0.133±0.025

        75.07±0.07

        7.507±0.007

        0.02857±0.00003

        75.05

        Distancia del eje al centro = 24 cm. = 0.24 m.

        Tiempo en s.

        Dispersión

        <Tiempo>

        Período

        Inercia

        67.32

        67.52

        0.495±0.077

        67.49±0.05

        6.749±0.005

        0.02317±0.00012

        67.63

        Distancia del eje al centro = 21 cm. = 0.21 m.

        Tiempo en s.

        Dispersión

        <Tiempo>

        Período

        Inercia

        60.43

        60.31

        0.199±0.029

        60.35±0.01

        6.035±0.001

        0.01845±0.00155

        60.32

        Distancia del eje al centro = 18 cm. = 0.18 m.

        Tiempo en s.

        Dispersión

        <Tiempo>

        Período

        Inercia

        53.20

        52.90

        0.566±0.075

        53.00±0.03

        5.300±0.003

        0.01423±0.00120

        52.90

        Podemos observar como varía claramente el momento de inercia en relación con la distancia al eje de giro, así para la misma masa. Cuando se encontraban más distantes al eje de giro el momento de inercia es menor, y a medida que se acerca al eje, el momento de inercia va aumentando, para entendernos mejor, diremos que a la varilla le cuesta más girar cuando las masas se encuentran cerca del eje de giro, esto se aprecia en el período que este también aumenta.

        Conclusión

        En esta práctica podemos afirmar que nuestros resultados han sido bastante correctos, ya que cuando calculábamos los momentos de inercia de diferentes formas, se ha podido observar en las tablas, que estos se asemejaban bastante. Aunque ciertamente, la parte más importante de la práctica es el cálculo de la constante R, porque en torno a ella giran los demás apartados, pero el hecho de que los momentos de inercia experimentales coincidan con los teóricos, no sirve para asegurar que el cálculo de dicha constante se ha acercado mucho a la realidad.

        Si el cálculo de la constante R es correcto, el resto de la realización de la práctica no conlleva mayor dificultad.

        MOMENTOS DE INERCIA Y TEOREMA DE STEINER

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