Métodos numéricos

Matemáticas. Cálculo. Cifras significativas. Error numérico. Aplicaciones

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD GUZMÁN

Métodos numéricos

Profr.

No. C. 01290188

Ing Eléctrica 3er semestre

MÉTODOS NUMÉRICOS

Análisis numérico.

Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores en los cálculos; error aquí no quiere decir un disparate, equivocación u omisión, sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas.

Otra definición de análisis numérico podría ser el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función.

Un especialista de análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su variación.

El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo.

Si bien no nos interesa la construcción de tal dispositivo o la manera en que funciona, si nos importarán los sistemas numéricos de máquinas en contraposición con nuestro sistema de números reales, y los errores resultantes de cambiar de uno a otro sistema.

Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra comprensión de los conceptos de las matemáticas (puras) observando como algunos de ello deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales.

Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real.

Métodos numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.

Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.

Cifras significativas.

Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.

2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

Exactitud y Precisión.

La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros.

La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.

Error.

En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el obtenido por aproximación se define como:

Error = Valor real -valor estimado

En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado.

Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor :

Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero

Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este.

Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como:

Métodos numéricos

Si reemplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas en que es confiable el valor aproximado obtenido.

Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de:

Es=(0.5x 102-2)%=0.5%

Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado en Es

ERROR DE REDONDEO

Muchas veces, los computadores cortan los números decimales entre e17° y 12° decimal introduciendo así un error de redondeo

Por ejemplo, el valor de "e" se conoce como 2.718281828... hasta el infinito.

Si cortamos el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) estamos obteniendo u error de

E = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008...

Sin embargo, como no consideramos que el número que seguía al corte era mayor que 5, entonces nos convenía dejar el número como 2.71828183, caso en el cual el error sería solo de

E = 2.118281828 -2.11828183 = -0.000000002..

, que en términos absolutos es mucho menor que el anterior.

En general, el error de corte de las computadoras será muy inferior al error introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas.

Dependiendo de la magnitud de los números con los que se trabaja, el error de redondeo puede tener una incidencia muy grande muy pequeña en el cálculo final. Así por ejemplo, si tenemos un producto de 502,23 m y un precio en dólares de US $ 7,52, el precio total nos dará US$ 3.776,7696 (que en pesos chilenos, con 1 dólar = $500 nos da $1.888.384,8).

Ahora, si introducimos una variación del 0.1% en los metros del producto y calculamos el total, obtenemos 502,23 * 0.1 % = 507, 54 , que en US$ equivalen a US$3.816,7008 ( o sea, $1.908.350,4 pesos chilenos, una diferencia de $19.965,6) lo que no deja de ser importante, ya que una variación de 0.1% en el metraje del producto nos da un error superior a 1.5% en el precio final

ERRORES DE TRUNCAMIENTO.

Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta).

En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo "n" veces.

ERROR NUMERICO TOTAL

El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo.

Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración ( o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).

Entonces, ¿qué criterio utilizamos? ...lo ideal sería determinar el punto en que los errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento.

Pero como dije, es lo ideal; en la práctica debemos considerar que hoy por hoy los computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar olvidar su aporte al error total.

Expansión en Series de Taylor

Una especial atención tiene la aproximación de funciones por la utilización de series de expansión de Taylor. Así, si una función es continua y diferenciable dentro del intervalo de interés, puede ser escrita como una serie de potencia finita, o serie de Taylor.

Métodos numéricos

Este método no puede, sin embargo, usarse para ajustar datos experimentales [Xi , f(xJ], sino que para transformar funciones ya conocidas y diferenciables a unas de más fácil manejo.

Existen ciertas observaciones que deben conocerse al aplicar esta fórmula. Por ejemplo, para tener una mejor aproximación de la función a un intervalo [a, b], el valor de Xo debe elegirse lo más cercano posible al centro de dicho intervalo. De esta manera se minimiza la contribución máxima del término (X-Xo)n+l del residuo en el cálculo de R(x) entre a < = x < = b.

Otra forma de minimizar el valor del residuo es elevar el grado del polinomio de ajuste, o sea incluir más términos en la serie y reducir así el exponente de R(x).

CONCLUSIONES

El estudio de los métodos numéricos, de la manera en que lo veo, es muy útil y por ende importante para quien quiera que necesite herramientas para resolver operaciones, las cuales se saben que pueden resultar complicadas, y por más que se dominen los métodos tradicionales, estos muchas veces pueden no ser suficientes, sin embargo no esto no quiere decir que la operación sea imposible de solucionar, y es ahí donde los métodos numéricos se aplican, y facilitan es trabajo de cierta manera.

El hecho de que se tomen tan en cuenta los errores, no nos deja cerca de la perfección pero al considerarlos,. al menos no da una idea de con que contamos y con que no, así podemos tomar decisiones informadas y por lo tanto pienso yo que mejores.

Además pasando a la parte práctica, su estudio nos puede ayudar a modificar, entender e incluso simplificar algún tipo de software que los maneje, esto resulta mucha ventaja para el usuario, pues si conoces lo que haces lo puedes usar con más provecho y optimización.

En pocas palabras las aplicaciones de los métodos numéricos son muy variadas y necesarias, especialmente parta las ingenierías como ya lo expresé anteriormente, con esto, puedo concluir que me interesa su estudio, y sobre todo aprenderlos y manejarlos bien, porque ahora veo que en un futuro no muy lejano es muy probable que los necesite aplicar.