Métodos Numéricos

Matemáticas. Matriz Inversa. Regla de Crammer. Tipos de Errores. Interpolación. Derivación Numérica

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  • País: México México
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TEMARIO

I.- INTRODUCCIÓN

Importancia de los métodos numéricos

Tipos de Errores

II.- SOLUCIONES DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

Raíz de una ecuación

Métodos de intervalo: bisección, falsa posición

Métodos de punto fijo: aproximaciones sucesivas, secante, Newton-Raphson

III.- SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Eliminación Gaussiana

Matriz Inversa

Gauss-Jordan

Regla de Crammer

Jacobi

Gauss-Seidel

IV.- AJUSTE DE FUNCIONES

Fundamentos de estadística

Interpolación

Regresión de mínimos cuadrados

V.- DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Derivación Numérica

Integración Numérica, trapecio, Simpson-Romberg

VI.- SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Métodos de 1 paso: Euler, Euler Mejorado, Runge-Kutta

Métodos de pasos múltiples

VII.- ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Clasificación de las ecuaciones

Métodos de diferencias finitas.

MÉTODOS NUMÉRICOS

1.1 Problemas matemáticos y sus soluciones.

Un modelo matemático puede definirse como una formulación o una ecuación que expresa las características, esenciales de un sistema físico o proceso en términos matemáticos.

Vd = f (vi, p , f ) (1)

Vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema.

Vi = variables independientes como tiempo o espacio a través de las cuales el comportamiento del sistema será determinado.

P = parámetros , son reflejos de las propiedades o la composición del sistema.

f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema.

De la segunda Ley de Newton:

F = ma ; reordenando

f

a = ______ ( 2 )

m

Características de este modelo matemático.

1.- Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.

2.- Representa una simplificación de la realidad.

3.- Conduce a resultados predecibles.

Otros modelos matemáticos de fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos.

De nuevo si usamos la segunda Ley de Newton para determinar la velocidad final o terminal de un cuerpo, tenemos un expresión de aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo:

f

dv = _____ ( 3 )

dt m

Para un cuerpo que cae, la fuerza total es:

F = FD + Fu ( 4 )

FD = La atracción hacia abajo debido a la fuerza de la gravedad.

Fu = Fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire,

En donde:

FD = mg

Fu = -cu

c = coeficiente de resistencia o arrastre

Como la fuerza total , es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba, tenemos:

dv = mg - cu ( 7 )

dt m

dv = g - c/m (v) ( 8 )

dt

Esta ecuación es un modelo matemático que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él.

Se trata de una ecuación diferencial o ecuaciones diferenciales.

Si las ecuaciones son más complejas, se requiere de técnicas avanzadas para obtener una solución analítica exacta o aproximada.

Si el objeto está en reposo, v = o y t = 0 , y usando las teorías de cálculo, obtenemos:

v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t ) ( 9 )

Que es la solución analítica o exacta,

v(t) = variable dependiente

t = es la variable independiente

c,m = parámetros

g = función de la fuerza

Ej. 1.1

Un paracaidista , con una masa de 68.1 kgs salta de un globo aerostático fijo. Con la ayuda de la ecuación ( 9 ), calcule la velocidad antes de abrir el paracaídas, coeficiente de resistencia = 12 kg/seg.

Datos:

m = 68.1

c = 12.5

g = 9.8 m/s

v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t )

t,s

v, m/s

0

0

2

16.42

4

27.76

6

35.63

8

41.05

10

44.87

12

47.48



53.39

53.39 1 - e -(0.1835)t

Métodos Numéricos

Cuando los métodos numéricos - modelos matemáticos - no pueden resolverse con exactitud, se requiere de una solución numérica que se aproxima a la solución exacta.

Los métodos numéricos son aquellos en los que se formula el problema matemático para que se pueda resolver mediante operaciones aritméticas.

Para la segunda Ley de Newton, al aproximar a la razón del cambio de la velocidad con respecto al tiempo , tenemos:

dv = v = v ( ti + 1 ) - v ( ti ) ( 10 )

dt t ti + 1 - ti

Diferencias finitas divididas

v ( ti ) = es la velocidad en el tiempo inicial ti

v ( ti + 1 ) = es la velocidad después de un tiempo mas tarde:

ti + 1

Métodos Numéricos

sustituyendo la ec. ( 10 ) en la ec. ( 8 ):

v ( ti + 1 ) - v ( ti ) = g - c/m v ( ti )

ti + 1 - ti

Reordenando:

V ( ti + 1 ) = v ( ti ) + g - c/m v( ti ) ( ti + 1 - ti ) ( 11 )

A cualquier tiempo

Nuevo valor = viejo valor + pendiente x tamaño del paso.

Ejemplo 1.2

Resolver el ejemplo anterior mediante una solución numérica para calcular la velocidad. Emplear un tamaño del paso de 2 segundos.

Datos:

m = 68.1 kg

c = 12.5 kg/s

g = 9.8 m/s

V ( ti + 1 ) = v ( ti ) + g - c/m v( ti ) ( ti + 1 - ti )

V1 = V0 + g - c/m V0 ( ti + 1 - ti ) ; t1 = 2 seg

V1 = 0 + 9.8 - 12.5/68.1 (0) (2-0) = 19.6 m/s

t2 = 4s, v2 = ?

V2 = 19.6 + 9.8 - 12.5/68.1 (19.6) (4-2) = 32 m/s

Sustituyendo:

V3 = V2 + g - c/m V2 (t3 - t2)

V3= 32 + 9 .8 - 12.5/68.1 (32) (2) = 39.85 m/s

Entonces V3= 39.85 m/s

Sustituyendo:

V4 = 39.85 + 9 .8 - 12.5/68.1 (39.85) (2) = 44.82 m/s

V5 = 44.82 + 9 .8 - 12.5/68.1 (44.82) (2) = 47.96 m/s

V6 = 47.96 + 9 .8 - 12.5/68.1 (47.96) (2) = 49.95 m/s

t,s

SN

SA

0

0

0

2

19.6

16.42

4

32

27.76

6

39.85

35.63

8

44.82

41.05

10

48.01

44.87

12

49.05

47.48



53.39

53.39

Métodos Numéricos

1.2. Importancia de los métodos numéricos

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.

El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

  • Cálculo de derivadas

  • Integrales

  • Ecuaciones diferenciales

  • Operaciones con matrices

  • Interpolaciones

  • Ajuste de curvas

  • Polinomios

Los métodos numéricos se aplican en áreas como:

Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc...

1.3 Tipos de errores

Exactitud.- Lo que está más cerca del valor verdadero.

Se refiere a que tan cercano está el valor medido o calculado con el valor verdadero.

Precisión.- Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a los otros.

Métodos Numéricos

Cifras significativas.- Es el conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor de una magnitud independientemente de las unidades de medidas utilizadas.

Confiables.- Por que dependen del instrumento de medición empleado.

Necesarias.- Por que depende de leyes, reglamentos, normas o costumbres.

La longitud del pizarrón es:

En 4 mediciones, siendo en cada medición distintas personas, los resultaos fueron los siguientes:

1.- 3.0 m

2.- 3.0 m

3.- 3.0 m

4.- 3.0 m

La longitud de la libreta :

1.- 28 cm ( flexómetro ) 3.- 28 cm

2.- 27.5 cm ( regla ) 4.- 28 cm

La longitud de un lápiz:

Regla: 14.3 cm Tornillo: 14.327 cm

Vernier: 14.32 cm

La velocidad de un automóvil:

Digital: 89.5 km/h

Carátula: 90 km/h

¿ Cuántas cifras significativas ( que tan preciso debe ser ) son necesarias ?

1.- El total de cifras significativas es independiente de la posición del punto decimal.

Ejemplo:

El medir una mujer se registró que su estatura es de 1.67 m = 16. 7 dm = 167 cm , (teniéndose 3 cifras significativas ).

2.- Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas.

Ejemplo:

Un balero tiene un diámetro de 26 mm = 0.026 m = 0.000026 km ( 2 cifras significativas ).

3.- Los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán significativos:

Ejemplo:

  • 40072 ( 5 c.s. )

  • 3.001 ( 4 c.s. )

  • 0.000203 ( 3. c.s. )

Los errores.- Es la discrepancia que existe entre la magnitud “ verdadera” y la magnitud obtenida.

Error absoluto.- Es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado:

EA = Vv - Va ( 12 )

Error Relativo.- Es el cociente del error absoluto respecto al valor verdadero:

ER = EA = Vv - Va

Vv Vv

Error Relativo Porcentual:

ERP = EA x 100 % ( 13 )

Vv

Ejercicios:

Ejemplo.- Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache. La longitud del puente obtenida es de 9999 cm y la del remache es de 9 cm.

Si los valores verdaderos son 10,000 y 10 cm, respectivamente, calcule :

  • el error absoluto

  • el error relativo %

  • para cada caso:

    Puente Remache

    Vv = 10000 cm 10 cm

    Va = 9999 cm 9 cm

    EA = 10000 - 9999 EA = 10 - 9

    EA = 1 cm EA = 1 cm

    Error Porcentual = 1 x 100 = 0.01 %

    10,000

    Error Porcentual = 1 x100 = 10 %

    10

    Ejemplo:

    Suponga que el valor para un cálculo debería ser Vv = 0.10 x 102 pero se obtuvo el resultado de Va = 0.08 x 102. Determine el error absoluto y el error relativo porcentual:

    EA = 0.10 x 102 - 0.08 x 102

    EA = 2 = 0.2 x 101

    ERP = 0.2 x 101 x 100 = 20%

    0.10 x 102

    Ejemplo:

    Vv = 0.24 x 10 - 4 Va = 0.12 x 10 - 4

    EA = 0.24 x 10 - 4 - 0.12 x 10 - 4

    EA = 1.2 x 10 - 5 , 0.12 x 10 - 4 , por lo tanto es pequeño

    ERP = 0.12 x 10 - 4 x 100 = 50%, por lo tanto es grande.

    0.24 x 10 - 4

    Ejemplo :

    Vv = 0.46826564 x 10 6

    Va = 0.46830000 x 10 6

    EA = 0.46826564 x 10 6 - 0.46830000 x 10 6

    EA = 34.46 , por lo tanto es grande.

    ERP = 34.36 x 100 =7.33771504 x 10 - 3, es pequeño

    0.46826564 x 10 6

    Concluyendo , cuando se manejen cantidades muy grandes o muy pequeñas el EA puede ser engañoso, mientras que el error relativo es más significativo en estos casos.

    Determinación del error en ausencia del valor verdadero

    Cuando no se conoce la respuesta verdadera, es necesario estimar el valor en ausencia de los valores verdaderos. Ciertos métodos numéricos usan un método iterativo para calcular resultados, tales casos se hace una aproximación con base en la aproximación anterior. Es decir, el error se calcula como la diferencia ente la aproximación actual y la aproximación previa.

    Ea = aproximación actual - aproximación anterior x 100 (14)

    aproximación actual

    Ea < 

    El siguiente criterio es útil para tener la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.

    • = ( 0.5 x 10 2 - n ) = 0.5 x 10 -3 %, = 0.005 %

    Ejemplo:

    La función exponencial llamada expansión por serie de Mc Laurin, se puede calcular mediante la ecuación:

    ex = 1 + x + x2 + x3 + ........... + x n

    2! 3! n!

    Mientras más términos se le agreguen a la serie, la aproximación se acercará cada vez más al valor de ex . Estímese el valor de e 0.5 , calculando los valores del ERP ( error relativo porcentual y el valor de aproximación ) , si el valor real o verdadero es e 0.5 = 1.648721, agréguese términos a la serie hasta que Ea < , cumpla 3 cifras significativas.

    Solución:

    E = ( 0.5 x 10 2 -3 ) % = 0.5 x 10 - 1

    E = 0.005

    Ea < 0.05 %

    1er término

    ex = 1

    ERP = 1.648721 - 1 x 100 = 39.34 %

    1.648721

    2do término

    ex = 1 + 0.5 = 1.5

    ERP = 1.648721 - 1.5 x 100 = 9.02 %

    1.648721

    3er término

    ex = 1 + x + x2

    2!

    ex = 1.5 + (0.5)2 = 1.625

    2!

    ERP = 1.648721 - 1.625 x 100 = 1.438 %

    1.648721

    Ea = 1.625 - 1.5 x 100 = 7.692%

    1.625

    4to término

    e x = 1.625 + (0.5)3 = 1.645833

    3!

    ERP = 1.648721 - 1.645833 x 100 = 0.175 %

    1.648721

    Ea = 1.645833 - 1.625 x 100 = 1.265%

    1.645833

    5to término

    e x = 1.645833 + (0.5)4 = 1.648437

    4!

    ERP = 1.648721 - 1.648437 x 100 = 0.0172 %

    1.648721

    Ea = 1.648437 - 1.645833 x 100 = 0.158%

    1.648437

    6to término

    e x = 1.648437+ (0.5)5 = 1.648697

    5!

    ERP = 0.00142 %

    Ea = 1.648697 - 1.648437 x 100 = 0.0158%

    1.648697

    Ea < 

    0.0158 < 0.05 %

    Término

    ex

    ERP

    Ea

    1

    1

    2

    1.5

    3

    1.625

    6

    1.648697

    0.00142

    0.0158

    Ea < 

    Errores de Truncamiento

    Con 5 cifras significativas:

    75.667891 75.667591 75.66453

    75.668 75.668 75.665

    Es el que ocurre al aumentar o disminuir artificialmente el valor de una magnitud.

    Criterio de redondeo

    D1 d2 d3 ..... d1 i +1 ..... dn ( i < n )

    Di + 1 > 5 di = di +1

    Di + 1 < 5 di = di

    Di es par di = di

    Di + 1 = 5

    Di es impar di = di +1

    Ejemplos:

    Redondear a 4 cifras significativas:

  • 42.37834 = 42.38

  • 382.154 = 382.2

  • 545.21 = 545.2

  • Ejemplo:

    Error de redondeo, al restar dos números iguales.

    Considere las ecuaciones:

    31.69 x + 14.31 y = 45.00

    13.05 x + 5.89 y = 18.53

    Determine los valores aproximados de x e y usando redondeo a dos cifras decimales, obtenga el error absoluto y el error relativo porcentual para cada variable si sus valores verdaderos son:

    X = 1.25055 = 1.250547046

    Y = 0.37527 = 0.375273523

    EA = 1.25055 - 1.250547046

    EA = 0.000002954

    EA = 0.37527 - 0.375273523

    EA = 0.000003523

    ERP = 0.000002954 x100

    1.25055

    ERP = 0.00023 %

    ERP = 0.000002954 x100

    0.37527

    ERP =0.00078 %

    Resuelva la ecuación cuadrática:

    100x2 -10011x + 10.011 = 0

    Para encontrar las raíces reales ( x1,x2 ), redondeando a 5 dígitos significativos y a 5 dígitos decimales.

    10011 +- " (-10011)2 -4(100)(10.011)

    2(100)

    x1 = 80.088, 10041

    x2 = 20.022, 9981.0

    Errores de Truncamiento

    Ej. 653. 45931

    653. 45

    Son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático.

    Para estos casos las series de Taylor, en los métodos numéricos, expresan las funciones en forma polinomial:

    f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2+ f”'(xi)h3 + .....fn(xi)hn

    2! 3! n!

    h(x1 +1- xi)

    Ej. Use términos en la serie de Taylor de cero a 4to orden para aproximar la función f(x) = -0.1x4 -0.15x3-0.5x2-0.25x +1.2, desde xi = 0 con h =1 para predecir el valor de la función en x1 +1 = 1.

    Solución:

    n = 0 orden

    f(x1 +1) = f(xi) = -0.1x4 -0.15x3-0.5x2-0.25x +1.2

    f(x1 +1) = 1.2

    n = 1er orden

    f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h

    f(x1 +1) =1.2 + (-0.4 x3-0.45x2-x-0.25) (1)

    f(x1 +1) =1.- 0.25

    f(x1 +1) = 0.95

    n= 2do orden

    f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2

    2!

    f(x1 +1) = 1.2-0.25+(-1.2x2-0.90x-1) (1)2

    2!

    f(x1 +1) = 0.95 -0.5

    f(x1 +1) = 0.45

    n = 3er orden

    f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2+ f”'(xi)h3

    2! 3!

    f(x1 +1) = 0.45+ ( -2.4x-0.90 ) (1)3

    6

    f(x1 +1) = .45 - 0.15

    f(x1 +1) = 0.3

    n = 4to orden

    f(x1 +1) = 0.3 + f4 (xi) h4

    4!

    f(x1 +1) = 0.3 + (-2.4) (1)4

    24

    f(x1 +1) = 0.2

    Métodos Numéricos

    Error numérico total

    Es la suma de los errores de truncamiento y redondeo.

    Para minimizar los errores de redondeo debe incrementarse el número de cifras significativas.

    El error de truncamiento puede reducirse por un tamaño de paso más pequeño.

    Métodos Numéricos

    II. - Soluciones de Ecuaciones No Lineales.

    2.1 Raíces de ecuaciones:

    La fórmula cuadrática -b +- " b2 -4ac (2.1)

    2a

    Se usa para resolver ecuaciones del tipo Ax2+ bx + c

    Ej. = f(x) = ax2 - bx + c ( 2.2 )

    A los valores calculados en la ec. (2.1) se les llama raíces de la ecuación ( 2.2 ). Son valores de x que hacen a la ecuación igual a cero.

    Se puede definir a la raíz de una ecuación como el valor de x que hace a f(x) = 0.

    Fundamentos Matemáticos

    Las funciones algebraicas como los polinomios se representan generalmente como:

    fn(x) = a0 + a1 + a2 x2 + .......... anxn

    Ejemplos:

    f2(x) = 1-2.37x+ 7.5x2

    f6(x) = 5x2 -x3 + 7x6

    f5(x) = 2 - 8x + x3 + 4x5

    Las funciones “trascendentales” contienen términos trigonométricos , exponenciales o logarítmicos.

    Ejemplos:

    f(x) = lnx2 -1

    f(x) = ex sen x + ln 3x + x3

    f(x) = e-0.2x sen(3x-0.5)

    Las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas.

    Si f(x) es un polinomio factorizable, como:

    f(x) = ( x- x1 ) ( x - x2 ) ( x - x3 ) ....... ( x - xn )

    Se tiene que xn es la n - ésima raíz de f (x) = 0

    Ejemplo:

    f(x)= x3 -7x2 -4x + 28 = 0

    ( x2 - 4 ) ( x - 7 ) = 0

    x1 = 2, x2 = -2, x3 = 7

    2.2 Métodos de intervalo

    2.2.1 Método de Bisección

    PASO 1.- Alija los valores iniciales inferior xi y superior xs.

    PASO 2.- La primera aproximación a la raíz xr se determina como:

    xr = xi + xs.

    2

    PASO 3.- Calcule f(xi), f(xr) para determinar en que subintervalo cae la raíz.

    PASO 4.- a ) Si f(xi) f(xr) < o, la raíz se encuentra en este subintervalo entonces xs. = xr, continúe el paso 2.

    b)Si f(xi) f(xr) > 0, la raíz se encuentra en el subintervalo superior, entonces xi = xr, continúe el paso 2.

    PASO 5.- Cuando Ea <  , el cálculo termina.

    Métodos Numéricos

    Ej. Determine el coeficiente de rozamiento c =? Necesario para que un paracaidista de masa = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s, después de una caída libre de t = 10 seg. La aceleración de la gravedad es de 9.8 m/s2. La ecuación a utilizar es:

    f(c) = gm/c ( 1 - e-(c/m) t ) - v = 0

    Solución analítica:

    Aproximación gráfica:

    f(c) = 9.8 (68.1)/c ( 1- e -(c/68.1) ) -40

    = 667.38/c ( 1-e(-0.146843) ) - 40

    c

    f ( c )

    4

    34.115

    8

    17.653

    12

    6.067

    16

    -2.269

    20

    -8.401

    Métodos Numéricos

  • bisección

  • xi = 12, xs = 16

    xr = (12+16)/2 = 14, xr = xs

    f(xi) = f(12) = 6.067

    f(xr) = f(14) = 1.5687

    f(xi) f(xr) = (6.067)( 1.5687) > 0, la raíz se encuentra en el subintervalo superior, xi = xr

    n = 2

    xi = 14, xs = 16 , xr = 15

    f(xi) = f(14) = 1.5687

    f(xr) = f(15) = -0.4248

    f(xi) f(xr) = (1.5687)( -0.4248) < 0, la raíz se encuentra en este subientervalo, xs = xr

    Ea = {15-14/15} x 100 = 6.667 %

    n = 3

    xi = 14, xs = 15 , , xr = 14.5

    f(xi) = f(14) = 1.5687

    f(xi) =f(14.5)= 0.5523

    f(xi) f(xi) > 0, xi = xr

    Ea = {14.5-15/14.5} x 100 = 3.448 %

    n = 4

    xi = 14.5, xs = 15 , , xr = 14.75

    f(xi) = f(14.5) = 0.5523

    f(xi) =f(14.75)= 0.05896

    f(xi) f(xi) > 0, xi = xr

    Ea = {14.75-14.5/14.75} x 100 = 1.695 %

    n = 5

    xi = 14.75, xs = 15 , , xr = 14.875

    f(xi) = f(14.75) = 0.5896

    f(xi) =f(14.87)= -0.1841

    f(xi) f(xi) < 0, xs= xr

    Ea = {14.875-14.75/14.875} x 100= 0.840 %

    n = 6

    xi = 14.75, xs = 14.875 , , xr = 14.8125

    Ea = {14.8125-14.875/14.8126} x 100= 0.4219 %

    Ea < 

    0.422% < 0.5 %

    xr = 14.8125

    iteración

    Xi

    Xs

    Xr

    Ea %

    1

    12

    16

    14

    6.667

    2

    14

    16

    12

    3.448

    3

    14

    15

    14.5

    1.695

    4

    14.5

    15

    14.75

    0.480

    5

    14.75

    15

    14.875

    0.422

    6

    14.75

    14.875

    14.8125

    2.2.2 Método de la Falsa posición

    Este , método utiliza una interpolación lineal ajustada a dos puntos extremos para encontrar una aproximación a la raíz. De acuerdo a la siguiente figura:

    Métodos Numéricos

    La intersección de la línea recta con el eje de la x puede estimarse:

    f(xi ) = f(xs) (2.4)

    xr - xi xr - xs

    Reagrupando términos y reordenando

    f(xi) (xr - xs) = f(xs) (xr - xi)

    xr { f(xi) - f(xs) } = xs f(xi) - xi f(xs)

    dividiendo entre

    f(xi) - xi f(xs) =

    xr = xs f(xi) - xi f(xs) (2.5)

    f(xi) - f(xs)

    Separando términos:

    xr = xs + xs f(xi) - xi f(xs)

    f(xi) - f(xs) f(xi) - f(xs)

    Sumando y restando xs en el lado derecho

    xr = xs + xs f(xi) - xs xi f(xs)

    f(xi) - f(xs) f(xi) - f(xs)

    Agrupando términos se obtiene:

    xr = xs + xs f(xs) - xi f(xs)

    f(xi) - f(xs) f(xi) - f(xs)

    xr = xs - f(xs) (xi -xs) (2.6)

    f(xi) - f(xs)

    El algoritmo es idéntico al de bisección, excepto que la ec. (2.6), se usa en el paso 2.

    Métodos Numéricos

    Ejemplo

    Use el método de la falsa posición, para determinar la raíz de la ec. analizada en el ejemplo 2.1

    f ( c ) = 667.38/c { (1-e-0.146843 c) } -40

    n = 1

    xi = 12 f(xi) = 6.067

    xs = 16 f(xs) = -2.2687

    xr = 16 - (-2.2687) (12 -16) = 14.911

    6.067 - (-2.2687)

    f(xr) = -0.25426

    f(xi) f(xr) = 6.067 (-0.25426 ) < 0, xs = xr

    n = 2

    xi = 12 f(xi) = 6.067

    xs = 14.9112 f(xs) = -0.25426

    xr = 14.9113 - (-0.25426) (12 -14.9113) = 14.7942

    6.067 - (-0.25426)

    f(xr) = -0.0.2726

    f(xi) f(xr) < 0, xs = xr

    Ea = {(14.7942-14.9113)/14.7942} x 100% = 0.79 %

    n = 3

    xi = 12 f(xi) = 6.067

    xs = 14.7942 f(xs) = -0.02726

    xr = 14.7942 - (-0.02726) (12 -14.7942) = 14.7816

    6.067 - (-0.02726)

    xr = 14.7816

    Ea = {(14.7816-14.7942)/14.7816} x 100% = 0.087 %

    Ea < 

    0.087 < 0.5 %

    2.3 Métodos de Punto fijo

    2.3.1 Método de aproximaciones sucesivas

    Los métodos abiertos se basan en fórmulas que requieren de un solo valor para predecir la raíz.

    La ecuación f(x)= 0 se arregla de tal modo que x quede del lado izquierdo de la ecuación:

    X = g (x ) (2.7)

    Ejemplo:

    f(x) = x2 -2x + 3 = 0

    reordenando : x = x2 + 3

    2

    f(x) = sen x = o

    reordenando: x = sen x + x

    Requerimos de un valor inicial xi, que se puede usar para obtener una aproximación de xi + 1, expresándolo por la forma iterativa:

    xi + 1 = g (xi ) ( 2.8 )

    El error de aproximación:

    Ea = xi + 1 - xi x 100

    xi + 1

    Es quema gráfico de la convergencia de la iteración del punto fijo:

    Métodos Numéricos

    Use el método de aproximaciones sucesivas ( iteración del punto fijo para localizar la raíz de f (x) = e-x - x, x0 = 0, Ea = 0.5% )

    X = e-x = g ( x )

    X1 + 1 = e-xi

    X0 = 0, x1 = e-0 = 1 ; x1 = 1

    X2 = e-x1 = e-1 = 0.367879

    X3 = e-x2 = e-0.367879 = 0.692200

    X4 = e-x3 = e-0.692200 = 0.500473

    X5 = e-x4 = e-0.500473 = 0.606243

    X6 = e-x5 = e-0.606243 = 0.545396

    X7 = e-x6 = e-0.545396 = 0.579612

    Métodos Numéricos

    I

    xi

    Ea (%)

    0

    1

    171.83

    1

    0.367879

    46.9

    2

    0.692200

    38.3

    3

    0.500473

    17.4

    4

    0.606243

    *

    *

    0.579612

    *

    12

    0.566400

    0.355

    2.3.2 Método de Newton - Raphson

    Este método se puede obtener mediante el siguiente gráfico:

    Métodos Numéricos

    Si el valor inicial de la raíz es xi , podemos trazar una tangente desde el punto { xi, f(xi) }.

    El punto donde está tangente cruza el eje x, representa una aproximación de la raíz.

    De la figura la primera derivada es x , es equivalente a la pendiente.

    f´(x) = f(xi) - 0

    xi - xi + 1

    Reordenando:

    Xi +1 = xi - f(xi) Fórmula de Newton-Raphson ( 2.9 )

    f´( xi )

    Esta ecuación también puede obtenerse mediante la serie de Taylor.

    f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2+ f”'(xi)h3 + .....fn(xi)hn

    2! 3! n!

    Truncando la serie de Taylor hasta la primera derivada:

    f(x1 +1) = f(xi) +f´(xi) (x1 +1 - xi)

    en el que se intersecta con el eje x, f(x1 +1) = 0

    0 = f(xi) +f´(xi) (x1 +1 - xi)

    Xi +1 = xi - f(xi) que es la ec. ( 2.9 )

    f´( xi )

    Ejemplo 2.4

    Encuentre la raíz de tgx-x = 0, en < x< 1.5  ,  = 0.01%

    Solución:

    3.1416 < x< 4.71

    f(x) = tan x - 0.1 = 0

    f´(x) = sec2 - 0.1

    f´(x) = 1 - 0.1

    cos2 x

    x0 = 3.5

    x1 = X0 - f(x0)

    f´( x0 )

    Sustituyendo:

    3.5 - tan 3.5 - 0.1 (3.5)

    1 - 0.1

    cos2 3.5

    x1 = 3.476422 = 3.468356

    Ea = 3.476422 - 3.5 x 100 % = 0.678226

    3.476422

    x2 = x1 - f(x1)

    f´( x1 )

    Sustituyendo:

    3.476422 - tan 3.476422 - 0.1 (3.476422)

    1 - 0.1

    cos2 3.476422

    x2 = 3.476140

    Ea = 3.476140 - 3.476422 x 100 % = 0.008%

    3.476140

    Ea < 

    0.008 % < 0.01 %

    x = 3.476140

    La siguiente fórmula atribuida a Francis se aplica a un vertedor con concentraciones:

    Q = 3.33 ( B -0.2 +1) (H3)1/2

    Donde:

    Q = cantidad de agua que pasa por el vertedor (pie3/s)

    B = ancho del vertedor en pies

    H = carga sobre la cresta del vertedor

    Si B = 3 y Q = 12 , calcule los valores con el método de Newton- Raphson.

    Se requiere utilizar como valor inicial H0 =B/2

    Solución :

    f(x) = Q - 3.33(B-0.2+1)(H3)1/2 = 0

    f´(x) =Q -10H3/2 + 0.666H5/2

    = Q-3.33BH3/2+ 0.666H5/2

    = -3.33(3/2)H1/2+ 0.666(5/2)H3/2

    = -5BH1/2 + 1.66H3/2

    = -15H1/2 + 1.665 H3/2

    H0 = x0 = 3/2 = 1.5

    x1 = X0 - f(x)

    f´( x)

    H1 = H0 - f(H)

    f´(H)

    f(H) = 12-10(1.5)3/2 + 0.666 (1.5)5/2 = -4.5359

    f´(H) = -15(1.5)1/2 + 1.665 (1.5)3/2 = -15.3125

    H1 = 1.5 - 4.5359 = 1.2037

    15.3125

    f(H) = 12-10(1.2037)3/2 + 0.6666 (1.2037)5/2

    f´(H) = -15(1.2037)1/2 + 1.665(1.2037)3/2

    H2 = 1.2037 - -10.14784

    -14.2581

    H2 = 1.1933

    H3 = 1.1933

    2.3.3 Método de la Secante

    Consiste en aproximar la derivada f´(x1) , mediante una diferencia dividida finita regresiva, como se muestra en la siguiente figura:

    Métodos Numéricos

    f´(x1) = f(x1) - f(x1 -1)

    xi - x1 -1

    Sustituyendo esta aproximación en la ecuación (2.9), obtenemos la siguiente ecuación iterativa:

    x1 +1 = xi - f(x1) - (x1 -1) ( 2.10 )

    f(x1) - f(x1 -1)

    Se requiere de dos valores iniciales, xo , x1

    X2 = x1 - f(x1) - (x1 - xo)

    f(x1)-f( xo)

    X3 = x2 - f(x2) - (x2 - x1)

    f(x2)-f( x1)

    hasta que se cumpla la tolerancia Ea < 

    2.6 Un proyectil de m = 2 grs, ha sido lanzado verticalmente al aire y está descendiendo, a su velocidad terminal, que se determina mediante mg = fD.

    El modelo matemático que relaciona todas las variables y constantes es :

    mg = 1.4 x 10-5 v1.5 + 1.15 x 10-5 v2

    1000

    donde:

    v = velocidad terminal en m/s. El primer término del lado derecho. Representa la fuerza de fricción y el segundo término representa la fuerza de presión. Determinar la velocidad terminal, por el método de la secante, con valores iniciales de Vo = 30, V1 = 30.1 y  = 0.1%.

    Solución:

    f(x) = f(x) = 2(9.81) = 1.4 x 10-5 v1.5 - 1.15 x 10-5 v2 = 0

    1000

    f(v) = 0.1962-1.4 x 10-5 v1.5 - 1.15 x 10-5 v2 = 0

    1era iteración:

    Vo = 30, V1 = 30.1

    V2 = V1 - f(V1)( V1 - Vo )

    f(V1)- f(V0)

    f(V0) = 0.1962-1.4 x 10-5 (30)1.5 - 1.15 x 10-5 (30)2

    = 6.9695 x10-3

    f(V1) = 0.1962-1.4 x 10-5 (30.1)1.5 - 1.15 x 10-5 (30.1)2

    = 6.8889 x10-3

    V2 = 30.1 - 6.8889 x10-3 (30.1-30) = 38.6470

    6.8889 x10-3 - 6.9695 x10-3

    Ea = 38.6470 - 30.1 x 100 = 22.1%

    38.6470

    2da iteración

    V1 = 30.1, V2 = 38.6470

    f(V1)= 6.8889x10-3

    f(V2)= -9.1702410-4

    V3 = 37.64045

    Ea = 2.67%

    3era iteración

    V2 = 38.6470 , V3 = 37.64045

    f(V2)= -9.17024 x10-4

    f(V3)= 9.372617 x10-5

    V4 = 37.73353

    Ea = 0.24%

    4ta iteración

    V3 = 37.64045, V4 = 37.73353

    f(V3)= 9.372617 x10-5

    f(V4) = 1.04766 x 10-6

    V5 =37.7346 = V

    Ea = 0.00278 %, < 

    Ejemplo 2.7

    Para el diseño de tuberías, en el transporte de flujo de fluidos, uno de los parámetros importantes a considerar, es el factor de fricción de Fanning, cantidad a dimensional que depende de otro parámetro a dimensional , el número de Reynolds, Re. Una de las ecuaciones para determinar el factor de fricción es la de Von Karman:

    1 = 4 log10 (Re "f ) -0.4

    "f

    Los valores típicos del número de Reynolds va de 10,000 hasta 500,000: 10,000 < Re > 500,000 para flujo turbulento y valores típicos para el factor de fricción de Fanning; 0.01< f >0.01. Determine f por el método de la secante.

    Fo = 0.0049 , f1 = 0.0050,  = 0.1%

    Re = r

    

    Solución:

    1 = 4 log10 (105 x "f ) +0.4

    "f

    Re = 100,000

    1er iteración

    f(f0) = 1 - 4 log10 (105 x"0.0049 ) +0.4

    "0.0049

    f(f0) = -0.6946

    f(f1) = 1 - 4 log10 (105 x"0.0050 ) +0.4

    "0.0050

    f(f1) = -0.8558

    f2 = f1 - f(f1)( f1 - f0 )

    f(f1)- (f0)

    f2 = 0.0050 - (-0.8558)(0.0050-0.0049)

    (-0.8558)+( 0.6946 )

    f2 = 0.004469

    Ea = 0.004469 - 0.0050 x 100 = 11.88%

    0.004469

    2da iteración

    f(f2) = 1 - 4 log10 (105 x" 4.469x10-3) +0.4

    "4.469x10-3

    f(f2) = 0.05831

    f(f3) = 1 - 4 log10 (105 x" 4.506x10-3) +0.4

    "0.004506

    f(f3) = -0.0103

    3er iteración

    f3 = f2 - f(f2) (f2 - f1)

    f(f2) - f(f1)

    f3 = 4.469x10-3 - (0.05831)( 4.469x10-3 - 0.0050)

    0.0583 + 0.0050

    f3 = 0.0049581

    Ea = 0.004502 - 0.004469 x 100 = 0.73%

    0.004502

    III. Solución de sistemas de Ecuaciones lineales y no lienales

    3.1 Métodos de soluciones de Ecuaciones lineales

    3.1.1 Método gráfico

    Las ecuaciones generales

    a11 x1 + a12 x2 = b1

    a12 x1 + a22 x2 = b2

    Pueden resolverse para x2,

    a11 b1

    De ec. (1), x2 = - x1 +

    a12 a12

    a12 b2

    De ec. (2), x2 = - x1 +

    a22 a22

    de donde x2 = ( pendiente ) x1 + intersección.

    Es decir, las ecuaciones tienen la forma de líneas rectas que se puedan graficar y su intersección representa la solución.

    Ejemplos:

    Ej. 3.1

    Use el método gráfico para resolver las siguientes ecuaciones:

    3x1 + 2x2 = 18 (A)

    - x1 + 2x2 = 2 ( B)

    Solución:

    Despejar :

    De ec. (A) : x2 = -3 x1 + 9

    2

    De ec. (B) : x2 = 1 x1 + 1

    2

    Métodos Numéricos

    3.1.2 Método de Krammer

    Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales se representan como:

    a11 x1 + a12 x2 + **** a1n xn = b1

    a12 x2 + a21 x2 + **** a2n xn = b2

    *

    *

    am1 x1 + am2 x2 + **** ann xn = bn

    Donde: a = coeficientes

    b = constantes

    cuya matriz de coeficientes, para un sistema de 3 ecuaciones, es:

    a11 a12 a13

    A = a21 a22 a23

    a31 a32 a33

    Y de donde el determinante D, de tercer es :

    a11 a12 a13

    D = a21 a22 a23

    a31 a32 a33

    que se resuelve como:

    a22 a23 a21 a23 a21 a22

    D = a11 - a12 + a13

    a3 a33 a31 a33 a31 a32

    donde los determinantes de 2 x 2 se les llama menores.

    La regla de Krammer, se expresa como una fracción de dos determinantes con denominador D y con el numerador obtenido a partir de D al reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita x1 por las constantes b1 ***** b2 ****** bn

    b1 a12 a13

    X1 = b2 a22 a23

    b2 a32 a33

    D

    a11 a12 a13

    X2 = a21 a22 a23

    a31 a32 a33

    D

    a11 a12 a13

    X3 = a21 a22 a23

    a31 a22 a33

    D

    Ejemplo 3.2

    Use la regla de Krammer para resolver:

    0.3 X1+ 0.52 X2+ X3 = -0.01

    0.5 X1+ X2+ 1.9X3 = 0.67

    0.1 X1+ 0.3 X2+ 0.5X3 = -0.01

    0.3 X1+ 0.52 X2+ X3 0.03 0.52

    A = 0.5 X1+ X2+ 1.9X3 0.5 1

    0.1 X1+ 0.3 X2+ 0.5X3 0.1 0.3

    (0.15)+(0.0988)+(0.15)-(0.1)-(0171)-(0.13) = -0.0022

    det A = -0.0022

    -0.01 X1+0.52 X2+1 X3 -0.01 0.52

    B = 0.67 X1+ 1 X2+ 1.9X3 0.67 1

    -0.44 X1+0.3 X2+0.5X3 -0.44 0.3

    -(0.005)-(0.43472)+(0.201)+(0.44)+(0.0057)-(0.1742)=

    det B = 0.03278

    det B = 0.03278 = -14.9

    det A = -0.0022

    0.03X1 -0.01 X2+1 X3 0.3 -0.01

    C = 0.5 X1 + 0.67 X2+1.9X3 0.50 0.67

    0.1 X1 -0.44 X2+0.5X3 0.1 -0.44

    (0.1005)-(0.0019)-(0.22)-(0.67)+(0.2508)+(0.0025)=

    det C = 0.0649

    det C = 0.0649 = -29.5

    det A = -0.0022

    0.3 X1+ 0.52 X2 -0.01X3 0.03 0.52

    D = 0.5 X1+ X2+0.67X3 0.5 1

    0.1 X1+ 0.3 X2 - 0.44X3 0.1 0.3

    -(0.132)+(0.03484)-(0.0015)+(0.001)-(0.0603)+(0.1144) = -0.04356

    det D = -0.04356

    det D = -0.04356 = 19.8

    det A = -0.0022

    x1 = -14.9, x2 = -29.5 , x3 = 19.8

    3.3 Eliminación Gaussiana y sustitución hacia atrás

    Para un sistema de ecuaciones algebraicas lineales

    a11 x1 + a12 x2 + **** a1n xn = b1 E1

    a12 x2 + a21 x2 + **** a2n xn = b2 E2

    *

    *

    am1 x1 + am2 x2 + **** ann xn = bn En

    La matriz aumentada A es :

    a11 a12 ***** a1n b1

    A = a21 a22 ***** a2n b2

    a31 a32 ***** a3n bn

    Para resolver este sistema lineal, se permiten tres operaciones en las ecuaciones.

    1) La ecuación -Ei puede multiplicarse por cualquier constante  diferente de cero y se puede usar la ecuación resultante en lugar de Ei:

    (Ei) Ei

    2) La ecuación Ej, puede multiplicarse por cualquier constante

    , sumarla a la ecuación Ei, y usar la ecación resultante en lugar de Ei:

    (Ei +  Ej) (Ei)

    3.- Las ecuaciones Ei y Ej se pueden intercambiar

    (Ei ) (Ei)

    Ejemplo 3.3

    Reducir el sistema de ecuaciones:

    X1 +X2 +X3 +3X4 = 4

    2 X1 +X2 -X3 +X4 = 1

    3X1 -X2 -X3 +2X4 = -3

    -X1 +2X2 +3X3 -X4 = 4

    1 0 0 E1

    0 1 0 E2

    0 0 1 E3

    0 0 0 E4

    Para resolver las incógnitas: X1 ,X2,X3,X4 :

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos
    Métodos Numéricos

    De esta manera el sistema se transforma en un sistema triangular o reducido, por lo tanto, por sustitución hacia atrás:

    Métodos Numéricos

    El procedimiento involucrado en este proceso se llama eliminación Gaussiana, con sustitución hacia atrás :

    El procedimiento se realiza en dos pasos:

    1.- Reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior por eliminación hacia delante:

    Matrices especiales:

    Métodos Numéricos

    Ejemplo 3.4. Use la eliminación de Gauss para resolver:

    Métodos Numéricos

    Efectuando los cálculos con 6 cifras significativas

    Solución:

    La matriz aumentada es:

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Ej. 3.5, use la eliminación de Gauss para resolver :

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos
    Métodos Numéricos
    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    3.1.4 Método de Gauss- Jordan

    El método consiste en eliminar elementos arriba y debajo del elemento pivote, para generar una matriz diagonal o unitaria en lugar de una triangular.

    Ej. Use la técnica de Gauss- Jordan para resolver

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Resolver por Gauss- Jordan:

    Métodos Numéricos

    Usando 4 cifras significativas:

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    3.1.5 Matriz Inversa

    El producto de una matriz cuadrada , [A] y su inversa [A]-1 da como resultado la matriz identidad [I]:

    [A] [A]-1 = [A]-1[A] = [I]

    La matriz inversa se puede calcular en forma numérica para resolver n sistemas lineales, de donde la inversa es la solución del sistema lineal.

    Ej. 3.8. resolver los tres sistemas lineales:

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Por el cálculo de la inversa:

    Solución:

    La matriz de coeficientes es:

    Métodos Numéricos

    La matriz aumentada es :

    Métodos Numéricos

    Por eliminación Gaussina:

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    La matriz inversa [A]-1

    Métodos Numéricos

    La solución de los tres sistemas son:

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

  • Métodos iterativos

  • Matrices bandeadas

    Un gran número de sus componentes son cero:

    Métodos Numéricos

    El sistema de ecuaciones representados matricialmente para encontrar su solución es

    Ax = b ( 3.5 )

    Reordenando se tiene

    Ax - b = 0

    Una ecuación vectorial de f(x) = 0 (3.6)

    Aplicando el método iterativo de punto fijo , la ec.(3.6) puede arreglarse de tal forma que:

    X = g(x)

    X = Bx + C

    B = matriz (3.7)

    C = vector de las constantes

    Se requiere de un vector inicial x(0) como primera aproximación al vector solución x

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Dado el sistema:

    Métodos Numéricos

    Con a11, a22, a22, diferentes de cero

    Se despeja X1 de la Ec. 1

    Se despeja X2 de la Ec. 2

    Se despeja X3 de la Ec. 3

    Métodos Numéricos

    Que en notación matricial queda:

    Métodos Numéricos

    Para iterar existen dos métodos

  • Jacobi

  • Métodos Numéricos

    El vector aproximación a la solución x después de k iteraciones, entonces se tiene la siguiente aproximación:

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Resuelva el siguiente sistema por el método de Jacobi:

    Métodos Numéricos

    Se despeja X1 de la Ec. 1

    Se despeja X2 de la Ec. 2

    Se despeja X3 de la Ec. 3

    Se despeja X4 de la Ec. 4

    Métodos Numéricos

    Valores iniciales , k = 0

    X(0) = [ 0,0,0,0,],

    Calcular xk+1 = x1

    Métodos Numéricos

    Calcular x2

    Métodos Numéricos

    Calcular x3

    Métodos Numéricos

    Los resultados de las iteraciones son:

    K

    X1k

    X2k

    X3k

    X3k

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0.2500

    0.2500

    0.2500

    0.2500

    2

    0.3125

    0.3750

    0.3750

    0.3125

    3

    0.3438

    0.4219

    0.4219

    0.3438

    4

    0.3555

    0.4414

    0.4414

    0.3555

    5

    0.3604

    0.4492

    0.4492

    0.3604

    6

    0.3623

    0.4524

    0.4524

    0.3623

    7

    0.3631

    0.4537

    0.4537

    0.3631

    8

    0.3634

    0.4542

    0.4542

    0.3634

    9

    0.3635

    0.4544

    0.4544

    0.3635

    10

    0.3636

    0.4545

    0.4545

    0.3636

    Ejemplo 3.10

    Resolver el siguiente sistema:

    Métodos Numéricos

    Despejando:

    Métodos Numéricos

    Con E = 0.001 %

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Si x(0) [0,0.0]T

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    K

    X1k

    X2k

    X3k

    0

    0

    0

    0

    1

    -0.5000

    0.1000

    0.2000

    2

    -0.4900

    0.2600

    0.3300

    3

    -0.4550

    0.2970

    0.2950

    4

    -0.4404

    0.2795

    0.2771

    5

    -0.4439

    0.2712

    0.2762

    6

    -0.4463

    0.2716

    0.2789

    7

    -0.4464

    0.2729

    0.2796

    8

    -0.4461

    0.2732

    0.2793

  • Gauss-Seidel

  • Es similar al método de Jacobi, los valores que se van calculando en la ( k + 1 ) - ésima iteración se emplean para calcular los valores faltantes de esa misma iteración, es decir, con x(k), se calcula x(k + 1) .

    Métodos Numéricos

    y para un sistema de n ecuaciones:

    Métodos Numéricos

    Ej. 3.11. Resuelva el sistema del ejemplo 3.9, por el método de Gauss-Seidel:

    Métodos Numéricos

    Con x(0) = [0,0,0,0]

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    K

    X1k

    X2k

    X3k

    X4k

    0

    0.0000

    0.0000

    0.0000

    0.0000

    1

    0.2500

    0.3125

    0.3281

    0.3320

    2

    0.3281

    0.4141

    0.4365

    0.3591

    3

    0.3535

    0.4475

    0.4517

    0.3629

    4

    0.3629

    0.4534

    0.4541

    0.3635

    5

    0.3633

    0.4544

    0.4545

    0.3636

    6

    0.3636

    0.4545

    0.4545

    0.3636

    Ej. 3.12 Use el sistema del ejemplo 3.6 por el método de Gauss- Seidel:

    Métodos Numéricos

    Solución:

    Despejando:

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Si con x(0) = [0,0,0]

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    Y así debemos seguir iterando hasta cumplir con el error estipulado.

    Criterios de convergencia:

    Métodos Numéricos

    Ejemplo 3.14 aplicación en Ing. Eléctrica:

    Un problema común dentro de la Ing. Eléctrica, involucra la determinación de corrientes y voltajes en varios puntos en circuitos de resistores. Estos problemas se resuelven usando las leyes para corrientes de voltajes de Kirchoff.

    Considere el circuito mostrado en la figura siguiente:

    Métodos Numéricos

    Las corrientes asociadas con este circuito son desconocidas tanto en magnitudes como en dirección.

    Suponiendo las direcciones de las corrientes:

    Métodos Numéricos

    Determine las corrientes del circuito:

    Solución:

    La regla de la corriente de kirchoff aplicada a cada nodo es

    i = 0

    Métodos Numéricos

    La regla del voltaje en cada una de las mallas es :

    v-iR = 0

    Métodos Numéricos

    Sustituyendo los valores de las R:

    Métodos Numéricos

    Por lo tanto el problema se reduce a la solución del siguiente conjunto de 6 ecuaciones con 6 incógnitas:

    Métodos Numéricos

    Por eliminación Gaussiana:

    Métodos Numéricos

  • Métodos de soluciones para Senl

  • Antes de intentar resolver un Senl deben tomarse las siguientes sugerencias:

    Reducir analíticamente el número de ecuaciones é incógnitas.

    Dividir las ecuaciones en subsistemas menores.

    Estimar los valores iniciales en base a:

    Consideraciones físicas.

    Consideraciones geométricas.

    3.2.1 Método de punto fijo multivariable

    f(x) = 0

    x = g(x)

    x(0) = 0

    1.-

    2.-

    3.-

    Para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

    f1 = (x,y) (3.16)

    f2 = (x,y)

    resolviendo para las variables x, y

    x = g1 = (x,y) (3.17)

    y = g2 = (x,y)

    Aplicando el método de punto fijo y los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel, se obtendrá la estimación ( k + 1 )-ésima a partir de la estimación k-ésima:

    Xk+1 = g1 = (xk,yk) ( 3.18)

    yk+1 = g2 = (xk,yk)

    Se comienza con valores iniciales x0, y0, se calculan los nuevos valores de x1, y1 y se repite el proceso hasta encontrar la raíz aproximada:

    X = g1 = (x ,y)

    Y = g2 = (x ,y)

    Ejemplo 3.15. Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales:

    f1 = (x,y) = x2 -10x + y2 + 8 = 0 E1

    f2 = (x,y) = xy2 + x -10y + 8 = 0 E2

    mediante el método del punto fijo multivariable usando desplazamientos simultáneos ( Jacobi), con valores iniciales x0 = 0, y0 = 0.

    Solución :

    Despejar x del término ( -10x) de E1

    Despejar y del término ( -10y) de E2

    X= 0.1x2 +0.1y2 + 0.8

    Y= 0.1xy2 +0.1x + 0.8

    Expresándolos iterativamente:

    Xk+1 = 0.1x(xk)2+0.1(yk)2+0.8

    Yk+1 = 0.1xk(yk)2 +0.1 xk +0.8

    Con valores inciales x0 = 0, y0 = 0, se inicia el proceso iterativo:

    1er iteración 2da iteración 3er iteración

    x1= 0.8 x2 = 0.92800 x3= 0.9728

    y1= 0.8 y2 = 0.9312 y3= 0.9733

    Los resultados obtenidos del proceso iterativo son:

    K

    Xk

    yk

    0

    0.0000

    0.0000

    1

    0.8000

    0.8000

    2

    0.9280

    0.9312

    3

    0.9837

    0.9894

    4

    *

    *

    5

    0.9957

    0.9957

    *

    *

    *

    12

    0.9999

    0.9999

    13

    1.0000

    1.0000

    Criterios de convergencia:

    Métodos Numéricos

    Para aumentar la velocidad de convergencia puede usarse el proceso iterativo Gauss-Seidel:

    Xk+1 = g1 = (xk,yk)

    yk+1 = g2 = (xk+1,yk) (3.19)

    Ejemplo 3.16, resuelva el sistema del ejemplo anterior utilizando el método del punto fijo multivariable con desplazamientos sucesivos ( Gauss-seidel).

    f1 = (x,y) = x2 -10x + y2 + 8 = 0 E1

    f2 = (x,y) = xy2 + x -10y + 8 = 0 E2

    Solución:

    Xk+1 = 0.1(xk)2+0.1(yk)2+0.8

    Yk+1 = 0.1xk+1(yk)2 +0.1 xk+1 +0.8

    Aplicando los criterios de convergencia se requiere derivar parcialmente:

    Métodos Numéricos

    Evaluando para x0 = 0, y0 = 0

    Métodos Numéricos

    Métodos Numéricos

    1er iteración:

    x1= 0.8

    y1= 0.1(0.8)+0.8=0.88

    2da iteración:

    x2 = 0.1(0.8)2 +0.1(0.88)2 + 0.8 = 0.9414

    y2 = 0.1(0.9414)(0.88)2+0.1(0.9414)+0.8 = 0.9670

    3er iteración:

    x3= 0.1(0.9414)2 +0.1(0.9670)2 + 0.8 =0.9821

    y3= 0.1(0.9821)(0.9670)2+0.1(0.9821)+0.8 =0.9900

    Los resultados del proceso iterativo son:

    K

    Xk

    yk

    0

    0.0000

    0.0000

    1

    0.8000

    0.8800

    2

    0.9414

    0.9670

    3

    0.9821

    0.9900

    4

    0.9944

    0.9969

    *

    *

    *

    11

    1.0000

    1.0000

    3.2.2 Método Newton-Rapson multivariable

    Supóngase que se está resolviendo el sistema:

    f1 = (x,y)= 0

    f2 = (x,y) =0

    donde ambas funciones son contínuas y diferenciables, de modo que puedan expanderse en serie de Taylor alrededor del punto (a,b):

    Métodos Numéricos

    Expandiendo fi alrededor de :

    Métodos Numéricos

    de manera similar puede expresarse f2 donde todas las derivadas parciales están evaluadas en (xk,yk).

    Considerando que la diferencia entre la aproximación actual y anterior es cero, obtenemos:

    Métodos Numéricos

    Si definimos que

    Xk+1 - xk = h (3.22)

    Yk+1 -yk = j

    Reordenando

    Xk+1 = xk+h

    Yk+1 = yx+j (3.23)

    Sustituyendo la ec.( 3.22) en la ec.(3.21)

    Métodos Numéricos

    Esto representa un sistema de ec. lineales con incógnitas h y j.

    El sistema lineal tiene solución si el determinante de la matriz de coeficientes o matriz Jacobiana J es diferente de cero.

    Métodos Numéricos

    Ej. 3.17 Use el método de Newton-Raphson para encontrar una solución aproximada al sistema:

    f1 = (x,y) = x2 -10x + y2 + 8 = 0 E1

    f2 = (x,y) = xy2 + x -10y + 8 = 0 E2

    con el vector inicial [x0 , y0], [0,0]r

    Solución:

    Primero se forma la matriz de derivadas parciales:

    Métodos Numéricos

    La matriz aumentada es :

    Métodos Numéricos

    1er iteración:

    Evaluamos la matriz en x0,y0

    Y nos queda:

    -10 0 -8

    1 -10 -8

    Métodos Numéricos

    de donde h = 0.8 y j = 0.88

    Xk+1 = x0 + h = 0 + 0.8 = 0.8 = x1

    Yk+1 = y0 + j = 0 + 0.88 = 0.88 = y1

    2da iteración

    2(0.8) -10 2(0.88)

    (0-88)2 +1 2(0.8)(0.88)-10

    con los valores x1, y1

    -8.4 1.76 -1.4144

    1.7744 -8.592 -0.6195

    por eliminación Gaussiana:

    Métodos Numéricos

    de donde h= 0.19179 , j= 0.11171

    Sustituyendo en ec. (3.23)

    x2 = x1 + h = 0.8 + 0.19179 = 0.99179 x2

    y2 = y1 + j = 0.88 + 0.11171 = 0.99171 y2

    K

    Xk

    yk

    0

    0.0000

    0.0000

    1

    0.8000

    0.8800

    2

    0.9917

    0.9917

    3

    0.9998

    0.9999

    4

    1.0000

    1.0000

    IV.- Ajuste de funciones

    4.1 Fundamentos de estadística

    La media aritmética (y) de una muestra, se define como la suma de los datos individuales (yi) dividida entre el número de puntos ( n ).

    Métodos Numéricos

    La desviación estándar ( s ) es una medida del espaciamiento de los datos individuales, respecto, a la media:

    Métodos Numéricos

    St =  = ( yi - y )2 = es la suma total de los cuadrados de los residuos entre los datos y la media.

    La varianza (S2 ) es la desviación estándar al cuadrado:

    S2 =  ( yi - y )2 = St (4.3)

    n-1 n-1

    otra manera de calcular la desviación estándar es:

    S2 =  yi - (yi)2 / n (4.4)

    n -1

    coeficiente de variación (c.v.) es la razón de la desviación estándar a la media:

    c.v. = S/y (100)%

    que es similar al ERP, es decir, es la razón del error de medición (s) , a un estimado del valor real ( y ).

    Ejemplo 4.1. Calcule la media, la desviación estándar y la varianza para los datos siguientes que representan las mediciones del coeficiente de expansión térmica para acero estructural:

    ( x106 pulg/pulg °F )

    6.495

    6.595

    6.615

    6.635

    6.485

    6.555

    6.665

    6.505

    6.435

    6.625

    6.715

    6.655

    6.775

    6.625

    6.715

    6.575

    6.655

    6.605

    6.565

    6.515

    6.555

    6.395

    6.775

    6.685

    y = 6.6008

    S2 = 0.009316

    S = 0.096519

    Una manera de representar la distribución de datos alrededor de la media es mediante un histograma, ya que éste proporciona una representación visual simple de la distribución.

    Para los datos del ejemplo tenemos:

    i

    yi

    (yi-y)

    frecuencia

    límite inferior

    límite superior

    1

    6.395

    0.042025

    1

    6.36

    6.4

    2

    6.435

    0.027225

    1

    6.4

    6.44

    3

    6.485

    0.013225

     

     

     

    4

    6.495

    0.010025

    4

    6.48

    6.52

    5

    6.505

    0.009025

     

     

     

    6

    6.515

    0.007225

     

     

     

    7

    6.555

    0.002025

    2

    6.52

    6.56

    8

    6.555

    0.002025

     

     

     

    9

    6.565

    0.001225

     

     

     

    10

    6.757

    0.000025

    3

    6.56

    6.6

    11

    6.595

    0.000225

     

     

     

    12

    6.605

    0.000625

     

     

     

    13

    6.615

    0.000625

     

     

     

    14

    6.625

    0.001225

    5

    6.6

    6.69

    15

    6.625

    0.003025

     

     

     

    16

    6.635

    0.003025

     

     

     

    17

    6.655

    0.003025

     

     

     

    18

    6.655

    0.007225

    3

    6.64

    6.68

    19

    6.655

    0.003025

     

     

     

    20

    6.685

    0.013225

    3

    6.68

    6.72

    21

    6.715

    0.013225

     

     

     

    22

    6.715

    0.013225

     

     

     

    23

    6.755

    0.024025

    1

    6.72

    6.76

    24

    6.775

    0.003625

    1

    6.76

    6.8

    Método de

    Jacobi

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