Matrices

Estructuras matriciales. Operaciones booleanas. Matriz transpuesta

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05/04/05

Matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en m reglones horizontales y n columnas verticales.

A=

El renglón i-ésimo de A es [Ai1Ai2....Ain], en donde 1"i"m, y la columna j-ésima de A es: A1j ,1"j"n. Se dice que A es mxn. Si m es igual a n se dice que A es una

A2j matriz cuadrada de orden n y que los números A11, A22…Ann

: forman la diagonal principal de A. Se hace referencia al número

Amj Aij, que esta en el reglón i y en la columna j de A, como el elemento i, j de A o como la entrada i, j de A.

'Matrices'
Ejemplos de matrices:

2 3 5 2 3 -1 1 0 -1

A= 0 -1 2 B= 4 6 C=[1 -1 3 4] D= 2 E= -1 2 3

1x4 0 2 4 5

2x3 2x2

3x1 3x3

Una matriz cuadrada A para la cual cada entrada fuera de la diagonal principal es 0 se llama matriz diagonal.

A= 4 0 1 0 0

0 3 B= 0 2 0

0 0 3

Las matrices tienen muchas aplicaciones en la ciencia de la computación, la siguiente aplicación simple muestra como puede usarse las matrices para desplegar datos en forma tabula.

Ejemplo:

Londres Madrid Nueva York Tokio

Londres 0 785 3469 5959

Madrid 785 0 3593 6706

Nueva York 3469 3593 0 6757

Tokio 5959 6706 6757 0

Se dice que dos matices mxn son iguales si todos los elementos o entradas correspondientes son iguales.

Si A y B son matrices mxn entonces la suma de A y B se obtiene sumando los elementos o entradas correspondientes de A y B y dará como resultado la matriz C. Ejemplo:

A= 3 4 -1 B= 4 5 3 A+B=C= 7 9 2 Nota: Si m y n no son

5 0 -2 0 -3 2 5 -3 0 iguales no se pueden sumar.

A una matriz cuyas entradas sean todas cero llama matriz cero y se designa por 0.

Teorema 1

  • A+B=B+A

  • (A+B)+C=A+(B+C)

  • A+0=0+A=A

  • Si A es una matriz mxp y B es una matriz pxn entonces el producto de A y B designado por AB es la matriz C.

    Ejemplo:

    A= 2 3 -4 3 1 6+ -6+-20 2+6+12

    1 2 3 B= -2 2 C= 3+ -4+15 1+4+-9

    5 -3

    2 x 3 3 x2

    C= -20 20

    14 -4

    2x2

    Como se vio con anterioridad la propiedades de la adición de matrices se parecen a las propiedades conocidas para la adición de los números reales, sin embargo, algunas de las propiedades de la multiplicación de las matrices no se parecen a las de a multiplicación de los números reales. Si A es una matriz mxp y B es una matriz pxn entonces puede calcularse AB y es una matriz mxn. En cuanto a BA existen las siguientes cuatro posibilidades que son:

  • BA puede estar no definida.

  • BA puede estar definida y entonces BA es pxp, mientras que AB es mxm y p diferente de m y en consecuencia AB y BA no son iguales.

  • AB y BA pueden ser ambas del mismo tamaño pero no iguales como matrices.

  • AB es igual a BA.

  • Teorema 2

  • A(BC)=(AB)C

  • A(B+C)=AB+AC

  • (A+B)C=AC+BC

  • Si A es una matriz mxn entonces la matriz nxm At se llama la transpuesta de A. En consecuencia la transpuesta de A se obtiene intercambiando los renglones y las columnas de A.

    Ejemplo:

    2 6 3 2 1

    A= 2 -3 5 3 4 5 At= -3 1 Bt= 4 -1 6

    6 1 3 B= 2 -1 0 5 3 5 0 -2

    1 6 -2

    Teorema 3

  • (At)t=A

  • (A+B)t=At+Bt

  • (AB)t=BtAt

  • Una matriz A se denomina simétrica si At es igual a A.

    Operaciones con matrices booleanas

    Una matriz booleana es una matriz mxn cuyas entradas son ya sea 0 ó 1. Sean Ay B matrices booleanas mxn. Se define AvB=C como la unión de A y B. Se define también A^B=C como la conjunción de A y B. Estas operaciones son solo posibles cuando A y B tienen el mismo tamaño, igual que en la suma de matrices.

    Ejemplo:

    1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0

    A= 0 1 1 B= 1 0 1 AvB=C= 1 1 1 A^B=C= 0 0 1

    1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0

    0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0

    4x3 4x3

    Si A es una matriz booleana mxp y B es una matriz booleana pxn, el producto booleano de A y B que se designa por AB es la matriz booleana mxn de C.

    Ejemplo: x

    1 1 1 0 1 1 1 0

    1 1 0 1 0 0 0 AB= 0 1 1 0 1 0 =1 1 0 =0

    A= 0 1 0 B= 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1

    1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1

    0 0 1 3x4

    4x3

    =

    4x4

    Teorema 4

    A11 A12….A1n

    A21 A22….A2n

    : : :

    : : :

    Am1 Am2….Amn

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