Matrices origen y usos

la teoría de matrices, introducida en 1858, tiene hoy aplicaciones en campos diversos como el control de inventarios en las fabricas; teoría cuántica, en física; análisis de costos en transportes y de otras industrias; problemas de estrategias en las operaciones militares y análisis de datos, en sicología y sociología.

Matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de números colocados entre paréntesis, cuadrados o líneas dobles.

0 1 2 , 1 0 4 , [1 , 2]

-1 4 3 0 3

Una matriz se representa mayormente por paréntesis o corchetes.

Las matrices se denotan por medio de letras mayúsculas por tanto si se nombra por A la matriz será:

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23

a31 a32 a33

Esta matriz posee 3 filas y 3 columnas.

Orden de una matriz

Una matriz que tenga m filas y n columnas se denomina matriz de orden m x n. La matriz A es de orden 3 x 3 (pero nunca pensemos que es de orden 9).

El orden nos indica el número de filas y de columnas que tiene un matriz, es decir, una matriz de orden p x q significa que tiene p filas y g columnas.

Ejemplo:

La matriz 3 -1 4 es de orden 2 x 3 porque tiene 2 filas

2 0 1 y 3 columnas.

Una matriz con una fila y n columnas es un vector en 1Rn .

Ejemplo:

A = (a11, a12, a13) es un vector en 1R3.

B = (b11, b12, …. b32nn) es un vector en 1Rn.

De forma similar, si tenemos una matriz con m filas y una sola columna entonces tenemos un vector en 1Rn.

Ejemplos:

a11

A = a12 es un vector en 1R3.

a13

Clasificación de las matrices

Una matriz cuadrada tiene un número de filas p igual a su número de columnas q.

Son matrices de orden, p x p ó p2.

Las matrices:

A = 2 0 B = 0 2 3

-3 1 -1 0 2

0 0 0

son de orden 2 x 2 y 3 x 3 respectivamente.

Los elementos a11, a22, a33, ... ann de una matriz cuadrada constituyen su diagonal principal.

La diagonal principal será:

a11 ... ... ...

A = ... a22 ... ...

... ... a33 ...

... ... ... ann

una matriz cuadrada tal que:

a11 = a22 = a33 = .... = ann = 1 y todos los demás elementos son cero, es una matriz unidad.

La representaremos por I o sea:

IA = 1 0

• 1

es una matriz de orden 2 x 2.

Una matriz diagonal es aquella en que los elementos que no están en la diagonal principal son ceros.

Esta es un matriz diagonal:

2 0 0 0

A = 0 3 0 0

0 0 -2 0

0 0 0 4

Una matriz cuyos elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son todos ceros es matriz triangular. Si todos los ceros están por encima de la diagonal principal entonces es una matriz inferior y si todos los ceros están por debajo de la diagonal principal es una matriz superior.

Ejemplo:

A = 3 0 0 es una matriz inferior.

1 2 0

-1 0 4

B = 4 1 -2

0 1 5 es una matriz superior.

0 0 3

Esquema de filas, columnas y diagonal principal.

1 0 4 7 filas

A = 0 2 5 8

0 3 6 9

1 2 1 0 diagonal principal

columnas

Una matriz nula tiene todos sus elementos nulos.

Ejemplo:

0 0 0

A = 0 0 0

0 0 0

Una matriz cuadrada es simétrica si: aij = aji.

Es decir si los elementos situados a igual distancia de su diagonal principal son iguales.

A = 1 -3 5

-3 2 0

5 0 1

es simétrica porque: a12 = a21 = -3, a13 = a31 = 5, a23 = a32 = 0.

Una matriz es asimétrica si: aij = aji.

Observa si 1 = j, aii = -aii y el único número que cumple con esta igualdad es el cero por lo que es una matriz asimétrica la diagonal principal esta formada por elementos nulos.

En una matriz asimétrica los elementos situados a igual distancia de la diagonal principal son iguales en valor absoluto y de signos contrarios.

B = 0 2 -2 5

-2 0 3 6

2 -3 0 -1

-5 6 1 0

es una matriz asimétrica

Matriz escalar

Si tenemos una matriz diagonal cuyos elementos que están en la diagonal principal son todos iguales entonces tenemos una matriz escalar.

A = 3 0 0

0 3 0

0 0 3

Matriz identidad

Es toda matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.

Esta matriz se representa por 1n.

12 = 1 0

• 1

igualdad de matrices si y solo si tienen el mismo orden y sus elementos son iguales.

Ejemplo:

A = a b B = x y

c d z w

si en estas matrices a = x, b = y, c = z y d = w, entonces las matrices A y B son iguales.

Matriz transpuesta

Si tenemos una matriz (A) cualquiera de orden m x n entonces su transpuesta es otra matriz (A) de orden n x m donde se intercambian las filas y las columnas de la matriz (A).

Ejemplo:

Si

A = 4 -1 3

0 5 -2

entonces su traspuesta será:

At = 4 0

-1 5

• -2

Determinantes

A toda matriz cuadrada A, se le asocia un número k, denominado su determinante. Al determinante de A, lo denotamos por Det. A o A .

Adoptaremos barras en vez de paréntesis, para representar a los determinantes, diferenciándolo de una matriz.

Así: a11 a12 representará el determinante de la matriz a11 a12 .

a21 a22 a21 a22

La regla para encontrar el determinante de una matriz 2 x 2 es la siguiente:

Dado a11 a12

a21 a22 , multiplicaremos los elementos de su diagonal principal, a11 a22, y restaremos de este producto el producto de los resultantes elementos, a12 a21.

La regla para obtener el determinante de una matriz 3 x 3 es similar a la regla para obtener el determinante de una matriz 2 x 2.

Dado: a11 a12 a13

a21 a22 a23 lo escribimos, repitiendo bajo de la tercera fila,

a31 a32 a33 las dos primeras filas. Así:

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33 Tercera fila

a11 a12 a13 Primera y segunda fila.

a21 a22 a23

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13 .

a21 a22 a23

se multiplica de izquierda a derecha los elementos y se suman los productos:

a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23

luego se multiplican los elementos de la derecha a izquierda y se suman estos productos, cambiados de signo:

-a13 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23

Por último:

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 - a13 a22

a31 a32 a33 a31 -a23 a32 a11 - a33 a12 a21