CAPÍTULO I: MATRICES

1.- DEFINICIÓN Y CLASES

• Una matriz es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. Si hay m filas y n columnas, la matriz aparecerá así:

• El elemento
  está situado en la fila i y en la columna j.

• El número de filas y columnas
  recibe el nombre de dimensión de la matriz.

• Si m=n se dice que la matriz es cuadrada de orden n.

• El número total de elementos de la matriz es
  .

• Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar coinciden en su valor.

Según la forma de la matriz, esta puede ser:

• Matriz fila: tiene una sola fila.

• Matriz columna: tiene una sola columna.

• Matriz cuadrada: tiene el mismo nº de filas que de columnas.

• Matriz rectangular: no es cuadrada.

• Matriz traspuesta: dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se designa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas.

• Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica si sus elementos cumplen que
  (los elementos de la diagonal principal pueden tomar cualquier valor).

• Matriz antisimétrica: se llama así a toda matriz cuadrada que cumple que
  ( los elementos de la diagonal principal son todos nulos).

Atendiendo a los elementos, una matriz puede ser:

• Matriz nula: todos sus elementos son cero.

• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada que tiene los elementos que no pertenecen a la diagonal principal iguales a cero.

• Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

• Matriz unidad: matriz escalar con todos los elementos de la diagonal principal iguales a uno.

• Matriz triangular: matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal son cero.

2.- OPERACIONES CON MATRICES.

2.1.- SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES.

• Para sumar dos matrices, estas deben tener la misma dimensión. Cada elemento de la primera matriz se suma con su homólogo en la segunda .

• La diferencia de matrices se defina como la suma de la primera con la opuesta de la segunda.

2.2.- PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ.

• Para multiplicar una matriz por un número real, se multiplica dicho número por todos y cada uno de los elementos de la matriz.

3.- PRODUCTO DE MATRICES.

3.1.- PRODUCTO DE UNA FILA POR UNA COLUMNA.

3.2.- PRODUCTO DE DOS MATRICES.

• Dos matrices son multiplicables si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. La matriz producto tendrá tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda matriz. Se multiplicarán las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda.

• El producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa.

• Dos matrices A y B son inversas si los productos A"B y B"A son iguales a la matriz unidad.

• Una matriz A es regular si posee matriz inversa. A la matriz inversa de A se la designa por A-1

Ejercicios:

CAPÍTULO II: DETERMINANTES

1.- DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN.

Dada la matriz cuadrada de orden dos
, se llama determinante de A al número real

2.- DETERMINANTES DE TERCER ORDEN.

Dada una matriz cuadrada de orden tres, su determinante se calculará mediante la regla de Sarrus.

3.- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

Ejercicios:

4.- CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL ADJUNTO.

• Dada una matriz cuadrada A, se define el adjunto del elemento aij como el determinante de la matriz resultante de eliminar la fila i y la columna j, multiplicado por (-1)i+j. Al adjunto de aij lo designaremos por Aij.

• Si en una línea de una matriz cuadrada A sólo hay un elemento distinto de cero (aij), se verifica que
  

Ejercicios:

5.-RANGO DE UNA MATRIZ.

• Una línea, L, de una matriz depende linealmente de sus paralelas L1, L2, ..., Ln, si existen unos números reales a1,a2,..., an tales que verifican la igualdad:

Ejemplo: en la matriz
la fila segunda depende linealmente de la primera, y la columna tercera depende linealmente de la primera columna y de la segunda.

• Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente dependiente si al menos una de ellas depende linealmente de las restantes.

• Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente independiente si ninguna de ellas depende linealmente de las restantes.

• En una matriz A, el número de filas linealmente independientes es igual al número de columnas linealmente independientes. A este número se le llama rango de A.

5.1.- CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ.

Veamos cómo se calcula el rango de una matriz, con algunos ejemplos:

Ejercicio: demostrar que, cualesquiera que sean los números reales a, b, c, las filas F1=(0,1,c), F2=(1,a,b) y F3=(0,0,1) son linealmente independientes.

6.- MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA.

• La matriz inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz A-1 tal que :

siendo I la matriz unidad.

• Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se designa por adj(A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.

Ejercicio:

• Si A es una matriz cuadrada regular, entonces su inversa es la matriz:

Ejemplo: vamos a calcular la inversa de la matriz

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

PROBLEMAS

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD

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