Matrices y determinantes

Álgebra. Matriz. Determinante

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CAPÍTULO I: MATRICES

1.- DEFINICIÓN Y CLASES

  • Una matriz es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. Si hay m filas y n columnas, la matriz aparecerá así:

Matrices y determinantes

  • El elemento Matrices y determinantes
    está situado en la fila i y en la columna j.

  • El número de filas y columnas Matrices y determinantes
    recibe el nombre de dimensión de la matriz.

  • Si m=n se dice que la matriz es cuadrada de orden n.

  • El número total de elementos de la matriz es Matrices y determinantes
    .

  • Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar coinciden en su valor.

Según la forma de la matriz, esta puede ser:

  • Matriz fila: tiene una sola fila.

  • Matriz columna: tiene una sola columna.

  • Matriz cuadrada: tiene el mismo nº de filas que de columnas.

  • Matriz rectangular: no es cuadrada.

  • Matriz traspuesta: dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se designa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas.

  • Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica si sus elementos cumplen que Matrices y determinantes
    (los elementos de la diagonal principal pueden tomar cualquier valor).

  • Matriz antisimétrica: se llama así a toda matriz cuadrada que cumple que Matrices y determinantes
    ( los elementos de la diagonal principal son todos nulos).

Atendiendo a los elementos, una matriz puede ser:

  • Matriz nula: todos sus elementos son cero.

  • Matriz diagonal: es una matriz cuadrada que tiene los elementos que no pertenecen a la diagonal principal iguales a cero.

  • Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

  • Matriz unidad: matriz escalar con todos los elementos de la diagonal principal iguales a uno.

  • Matriz triangular: matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal son cero.

2.- OPERACIONES CON MATRICES.

2.1.- SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES.

  • Para sumar dos matrices, estas deben tener la misma dimensión. Cada elemento de la primera matriz se suma con su homólogo en la segunda .

  • La diferencia de matrices se defina como la suma de la primera con la opuesta de la segunda.

2.2.- PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ.

  • Para multiplicar una matriz por un número real, se multiplica dicho número por todos y cada uno de los elementos de la matriz.

3.- PRODUCTO DE MATRICES.

3.1.- PRODUCTO DE UNA FILA POR UNA COLUMNA.

Matrices y determinantes

3.2.- PRODUCTO DE DOS MATRICES.

  • Dos matrices son multiplicables si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. La matriz producto tendrá tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda matriz. Se multiplicarán las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda.

  • El producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa.

  • Dos matrices A y B son inversas si los productos A"B y B"A son iguales a la matriz unidad.

  • Una matriz A es regular si posee matriz inversa. A la matriz inversa de A se la designa por A-1

Ejercicios:

  • Dadas las matrices A y B, hallar 3 A+2 B, siendo

  • Matrices y determinantes

  • Calcular el siguiente producto de matrices:

  • Matrices y determinantes

  • Realizar el mismo ejercicio con las siguientes matrices:

  • Matrices y determinantes

  • Calcular las matrices A y B que son solución del siguiente sistema matricial:

  • Matrices y determinantes

    CAPÍTULO II: DETERMINANTES

    1.- DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN.

    Dada la matriz cuadrada de orden dos Matrices y determinantes
    , se llama determinante de A al número real Matrices y determinantes

    2.- DETERMINANTES DE TERCER ORDEN.

    Dada una matriz cuadrada de orden tres, su determinante se calculará mediante la regla de Sarrus.

    Matrices y determinantes

    3.- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

  • Matrices y determinantes

  • Si multiplicamos una fila o una columna de una matriz cuadrada por un número real, el determinante queda multiplicado por dicho número.

  • El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes.

  • Si permutamos dos filas (dos columnas) entre sí, el determinante cambia de signo.

  • Si una matriz tiene una fila (una columna) formada por ceros, su determinante es nulo.

  • Si una matriz tiene dos filas (dos columnas) iguales, su determinante es cero.

  • Si una matriz tiene dos filas (dos columnas) proporcionales, su determinante es cero.

  • Si una línea es combinación lineal de otras, el determinante es cero.

  • Si a una fila (una columna) se le suma otra fila, multiplicada por un número, el determinante no varía.

  • Ejercicios:

  • Resuelve el siguiente determinante (resta la 1ª fila a la 2ª y a la 3ª)

  • Matrices y determinantes

  • Haz una operación análoga para resolver el determinante siguiente:

  • Matrices y determinantes

    4.- CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL ADJUNTO.

    • Dada una matriz cuadrada A, se define el adjunto del elemento aij como el determinante de la matriz resultante de eliminar la fila i y la columna j, multiplicado por (-1)i+j. Al adjunto de aij lo designaremos por Aij.

    • Si en una línea de una matriz cuadrada A sólo hay un elemento distinto de cero (aij), se verifica que Matrices y determinantes

    Ejercicios:

  • Aplica la anterior propiedad para resolver los siguientes determinantes:

  • Matrices y determinantes

  • Matrices y determinantes

  • Matrices y determinantes

  • 5.-RANGO DE UNA MATRIZ.

    • Una línea, L, de una matriz depende linealmente de sus paralelas L1, L2, ..., Ln, si existen unos números reales a1,a2,..., an tales que verifican la igualdad:

    Matrices y determinantes
    Matrices y determinantes

    Ejemplo: en la matriz Matrices y determinantes
    la fila segunda depende linealmente de la primera, y la columna tercera depende linealmente de la primera columna y de la segunda.

    • Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente dependiente si al menos una de ellas depende linealmente de las restantes.

    • Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente independiente si ninguna de ellas depende linealmente de las restantes.

    • En una matriz A, el número de filas linealmente independientes es igual al número de columnas linealmente independientes. A este número se le llama rango de A.

    5.1.- CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ.

    Veamos cómo se calcula el rango de una matriz, con algunos ejemplos:

  • Rango de la matriz Matrices y determinantes

  • Rango de la matriz Matrices y determinantes

  • Ejercicio: demostrar que, cualesquiera que sean los números reales a, b, c, las filas F1=(0,1,c), F2=(1,a,b) y F3=(0,0,1) son linealmente independientes.

    6.- MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA.

    • La matriz inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz A-1 tal que :

    Matrices y determinantes

    siendo I la matriz unidad.

    • Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se designa por adj(A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.

    Ejercicio:

  • Calcula la matriz adjunta de la matriz Matrices y determinantes

  • Calcula el producto Matrices y determinantes

  • Calcula el Matrices y determinantes

  • Calcula el producto Matrices y determinantes

  • ¿Qué puedes deducir del resultado obtenido?

    • Si A es una matriz cuadrada regular, entonces su inversa es la matriz:

    Matrices y determinantes

    Ejemplo: vamos a calcular la inversa de la matriz Matrices y determinantes

    EJERCICIOS Y PROBLEMAS

  • Calcular los siguientes determinantes de orden dos:

  • Matrices y determinantes

  • Calcular los siguientes determinantes de orden tres:

  • Matrices y determinantes

  • Calcular los siguientes determinantes de orden cuatro:

  • Matrices y determinantes

  • Calcular el rango de las matrices:

  • Matrices y determinantes

  • Resolver la ecuación matricial BX=C , siendo las matrices:

  • Matrices y determinantes

  • Si A es la matriz Matrices y determinantes
    , calcular la matriz Matrices y determinantes

  • Hallar la matriz X tal que AX=B+2C, siendo las matrices:

  • Matrices y determinantes

    PROBLEMAS

  • Dos matrices A y B son inversas y además todos sus elementos son números enteros. ¿Cuáles son los posibles valores de det(A) y de det(B)?

  • En una granja se venden pollos, pavos y perdices a razón de 200, 150 y 400 ptas/kg, respectivamente. En cierta semana los ingresos totales de la granja ascendieron a 570.000 ptas. Además, se sabe que la cantidad de pollo vendida superó en 100 kg a la de pavo y que se vendió de perdiz la mitad que de pavo.

  • Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendida de cada uno.

  • Expresa matricialmente el problema.

  • Calcula el determinante de la matriz asociada al problema.

  • Resuelve el sistema mediante la matriz inversa.

  • EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD

  • Si A y B son dos matrices cualesquiera, ¿es correcta la siguiente cadena de igualdades?

  • Matrices y determinantes

  • Dadas las matrices Matrices y determinantes
    explica si hay alguna matriz de 2º orden X, tal que Matrices y determinantes
    .

  • Responde a las siguientes cuestiones:

  • Sea A una matriz de 3 filas y 4 columnas, y C una matriz de 2 filas y 3 columnas. ¿Qué dimensión tiene la matriz B sabiendo que existe el producto A"B"C?

  • Sea D una matriz tal que al multiplicarla por su traspuesta da una matriz de dimensión Matrices y determinantes
    , y el producto Matrices y determinantes
    es Matrices y determinantes
    . ¿Qué dimensión tiene D? ¿Tiene D matriz inversa?

  • Siendo Et=(1 2 3), calcula Matrices y determinantes

  • Responde a las siguientes cuestiones:

  • Determina para qué valores de x no existe la inversa de la matriz Matrices y determinantes

  • Calcula A-1 para x=2.

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