Matrices, Determinantes y Ecuaciones lineales

Tipos. Operaciones. Rango. Permutaciones. Cálculo. Propiedades. Sistema de Cramer. Teorema de Rouché. Método de Gauss

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TEMA 2: MATRICES.

  • Definiciones:

  • Matriz Es una tabla de elementos, donde éstos se agrupan en filas y columnas adoptando una forma rectangular. En ella es válido el elemento nulo (cero). Se nombra a los elementos por su posición, con dos subíndices, el primero para la fila, y el segundo para la columna. Elemento genérico: aij.

    Diagonal principal de una matriz es la diagonal formada por los elementos en los que se cumple i=j.

    Diagonal secundaria es la diagonal formada por los elementos donde se cumple i+j=nº de columnas + 1.

    Matriz fila Es la matriz con una sola fila.

    Matriz columna Es la matriz con una sola columna.

    Matriz cuadrada Es la matriz con el mismo número de filas y columnas.

    Matriz triangular Es la matriz que tiene por encima o por debajo de la diagonal principal todos los elementos nulos. Si éstos están por debajo, es una matriz triangular superior. Si están por encima, es una matriz triangular inferior.

    Matriz diagonal Es la matriz que sólo tiene elementos no nulos en la diagonal principal.

    Matriz escalar Es la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son iguales.

    Matriz unidad Es la matriz diagonal con los elementos de la diagonal principal igual a uno. Se designa por In, donde n es el nº de filas y columnas.

    Matrices equidimensionales son las que tienen iguales sus números de filas y columnas.

    Matrices iguales son las que son iguales en su forma y también miembro a miembro.

    *Las matri'Matrices, Determinantes y Ecuaciones lineales'
    ces triangulares, diagonales, escalares, y unidad sólo tienen sentido si son cuadradas.

  • Operaciones con matrices:

  • Suma:

  • Condición previa las matrices que se suman deben ser equidimensionales.

    Definición la suma de dos matrices es una matriz de la misma dimensión, y cuyos miembros son la suma de los miembros de la misma posición de las otras dos matrices, verificándose (A+B)ij=Aij+Bij.

    Propiedades de la suma de matrices:

  • Conmutativa A+B=B+A

  • Asociativa A+(B+C)=(A+B)+C

  • Existencia de elemento cero A+0=A

  • Producto por un escalar:

  • Definición Es otra matriz equidimensional B, cuyos elementos verifican aij · k = bij.

    Propiedades:

  • Distributiva con respecto a la suma de escalares (k+h)A=kA+hA

  • Distributiva con respecto a la suma de matrices k(A+B)=kA+kB

  • Asociativa mixta k[h(A)]=(kh)A

  • Existencia de elemento neutro A·1=A

  • A+C=B+C implica que A=B.

  • kA=kB, si k es distinto de 0, implica que A=B.

  • kA=hA, si A es distinto de 0, implica que k=h.

  • Producto de matrices:

  • Condición previa Para que dos matrices A y B puedan multiplicarse, el nº de columnas de A debe ser el de filas de B.

    Definición El producto de una matriz A de dimensión m · n por la matriz B de dimensión n · q es otra matriz N de dimensión m · q, tal que cada elemento pij se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de A por la columna j de B.

    Propiedades:

  • Asociativa A(BC)=(AB)C.

  • Distributiva respecto de la suma de matrices: A(B+C)=AB+AC.

  • Generalmente no existe conmutatividad: ABðBA.

  • Si A es una matriz cuadrada de orden n A·In=In·A=A.

  • Matrices inversibles: si se cumple AB=BA=In, entonces B es la inversa de A (A-1). Una matriz que tiene inversa se la llama inversible. Si no tiene inversa, recibe el nombre de singular.

  • AB=0 no asegura que A=0 o B=0.

  • AB=AC no asegura que B=C.

  • (A+B)2 no tiene por qué ser A2+2AB+B2.

  • (A-B)2 no tiene por qué ser A2-2AB+B2.

  • (A+B)(A-B) no tiene por qué ser A2-B2.

  • Matrices especiales:

  • Matriz simétrica y antisimétrica:

  • Matriz simétrica es la matriz cuadrada donde se cumple aij=aji.

    Matriz antisimétrica o hemisimétrica es aquella donde aij=-aji. Como consecuencia, la diagonal principal sólo tiene ceros.

  • Matriz traspuesta:

  • Dada una matriz A, se define la traspuesta de A (tA) como la matriz que se obtiene cambiando en A filas por columnas.

  • Rango de una matriz:

  • Definición:

  • Rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes (las que no pueden obtenerse como combinación lineal de las otras). Esto implica que, sea cual sea la dimensión de la matriz, el número de filas y columnas linealmente independientes es el mismo.

  • Transformaciones de la matriz que no alteran el rango:

  • Permutar dos filas o dos columnas.

  • Multiplicar o dividir una fila o columna por un número real no nulo.

  • Sumar a una fila o columna otra paralela de la misma matriz.

  • Suprimir filas o columnas nulas.

  • Suprimir filas o columnas iguales o proporcionales a otras.

  • Suprimir filas o columnas linealmente dependientes.

  • Cálculo del rango de la matriz por el método de Gauss.

  • Consiste en intentar, con las transformaciones 1ª a 3ª, transformar a todos los elementos de la matriz por debajo de la diagonal principal en elementos nulos. Si se consigue, el rango será el número de filas no nulas que han quedado. Si no, será necesario suprimir filas o columnas o comprobar si las filas irreducibles son independientes entre sí o no, tal como se ve en el ejemplo:

    TEMA 3: DETERMINANTES.

  • Introducción: las permutaciones.

  • Definiciones:

  • Permutación principal: Si consideramos una serie de n números naturales (1,2,3,...,n), sus posibles permutaciones (n!) son todas las posibilidades de ordenarlos. Permutación principal es aquella en la que los términos siguen ordenados en su orden natural.

    Inversión y permanencia: una pareja de elementos de dicha serie está invertida si han intercambiado sus posiciones. Los elementos no invertidos permanecen en su lugar.

    Permutación par e impar: permutación par es aquella en la que el número de inversiones es par, e impar es aquella donde dicho número es impar.

  • Teoremas:

  • Si se hace una inversión, la permutación cambia de par a impar o viceversa.

    Hay siempre n!/2 permutaciones pares, y n!/2 impares.

  • Definición de determinante:

  • Término de una matriz es el producto obtenido al tomar un único elemento por fila y columna.

    El signo de un término se obtiene al comprobar de qué clase es la permutación en el número de las columnas de los términos elegidos (las filas se pueden contar ordenadamente). Si la permutación es par, el término es positivo. Si es impar, será negativo.

    Ej: Si en una matriz de dimensión 4x4 tomamos el término (a11,a23, a32, a44), como sus elementos están tomados por orden de filas, sólo interesa ver la ordenación de las columnas: 1324, una permutación impar. El término tiene, pues, signo negativo.

    Determinante de una matriz cuadrada es la suma de todos sus posibles términos. La mitad de ellos serán positivos, y la otra mitad, negativos.

    ***Atención: sólo las matrices cuadradas tienen determinante, definición sin sentido en matrices no cuadradas.***

  • Cálculo de determinantes:

  • Un determinante se escribe colocando dos barras rectas verticales a ambos lados de la matriz, en lugar del paréntesis que se usa sólo para nombrar una matriz.

  • Determinantes de 2º orden:

  • Una matriz de 2º orden tiene por determinante el producto de los elementos de la diagonal principal menos el de los de la diagonal secundaria.

  • Determinantes de 3º orden, regla de Sarrus:

  • Una matriz de 3º orden tiene por determinante la suma de 6 términos. La regla de Sarrus dice que son éstos: los positivos son la diagonal principal y las dos diagonales paralelas con su vértice opuesto, y los negativos la diagonal secundaria y las dos diagonales paralelas con su vértice opuesto.

  • Determinantes de la matriz nula, unidad, y triangular:

  • El determinante de la matriz nula es 0.

    El determinante de la matriz unidad es 1.

    El determinante de la matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal.

  • Propiedades de los determinantes:

  • Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por ese mismo número det(k·F1,F2,F3)=k·det(F1,F2,F3) Una consecuencia es que se puede sacar fuera del determinante factores comunes a una fila o columna.

  • Si A y B son matrices cuadradas de igual orden, se cumple det(AB)=det(A) · det(B).

  • Al permutar dos columnas o filas, el determinante cambia de signo.

  • Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna nula, el determinante se anula.

  • Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas iguales, el determinante se anula.

  • Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna proporcional a otra, el determinante se anula.

  • Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna combinación lineal de las otras, el determinante también se anula.

  • Las últimas 4 propiedades se resumen así: si el rango de una matriz cuadrada es menor que su orden, el determinante vale 0, y si rango y orden son iguales, el determinante no vale 0. Estas propiedades son pistas para determinar el rango de una matriz cualquiera formando submatrices cuadradas y estudiando su determinante.

  • Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma o resta otra paralela, el determinante no varía.

  • Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma o resta otra paralela multiplicada por un número, el determinante no varía.

  • Adjunto de un elemento:

  • Menor complementario de un elemento:

  • Sea una matriz cuadrada A, y un elemento aij, suprimiendo el resto de la fila y columna de este elemento, queda una submatriz Mij, llamada menor complementario de aij.

  • Adjunto de un elemento:

  • Es el determinante de la matriz complementaria de dicho elemento, con el signo + o - si la suma de sus subíndices es par o impar, respectivamente.

  • Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea:

  • El determinante de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera multiplicados por sus respectivos adjuntos.

  • Cálculo de determinantes de orden mayor que tres:

  • Reducir a ceros una línea (Regla de Chío).

  • Esta regla recuerda en parte a la reducción de Gauss. Consiste en dejar en una fila o una columna sólo un elemento no nulo. El determinante será el producto de ese elemento por su adjunto.

  • Método de Gauss.

  • Profundiza la regla de Chío, y es la misma que se utiliza para el cálculo el rango de una matriz cuadrada. Si se ha logrado hacer la reducción total, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. Si la reducción sólo es parcial, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz reducida, multiplicado por el determinante de la matriz no reducida.

  • Cálculo de la matriz inversa por determinantes:

  • El cálculo de una inversa por determinantes responde a esta fórmula (Adj(A) es la matriz donde cada elemento está sustituido por su adjunto). Como consecuencia de esta fórmula, las matrices cuadradas con determinante nulo son singulares.

    TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

  • Introducción:

  • Definiciones:

  • Igualdad: es una relación entre dos o más términos que verifican el mismo valor. Ej: 2x=6 para x=3.

    Identidad: es una relación en la que los términos que se relacionan son exactamente iguales. Ej: 3ð3.

    Ecuación: es una relación entre dos términos, donde hay una o más incógnitas.

    Solución de una ecuación: es el valor o valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación.

    Sistema de ecuaciones: es un grupo de ecuaciones para cuyas incógnitas del mismo nombre hay la misma solución.

    Sistemas equivalentes: son aquellos donde las soluciones para sus incógnitas son las mismas.

  • Notaciones:

  • Ordinaria: es la más corriente, donde cada incógnita viene multiplicada por su coeficiente, habiendo también un término independiente.

    Matricial: es aquella en la que las ecuaciones se expresan con matrices. Matriz del sistema es aquella donde aparecen sus coeficientes (M). En la matriz ampliada se añade una columna con los términos independientes (M*).

    Vectorial: basada en la matricial, expresa columnas de la matriz multiplicadas por las incógnitas.

  • Clasificación de los sistemas:

  • Por el número de soluciones:

  • Única: Sistema compatible determinado.

  • Múltiple o infinita: Sistema compatible indeterminado.

  • No hay solución: Sistema incompatible.

  • Por el grado:

  • De grado 1º: lineal. Puede ser homogéneo (términos independientes nulos) o no homogéneo (términos independientes no nulos).

  • De grado 2º, 3º...

  • Criterios de equivalencia (transformaciones que no alteran el sistema):

  • Se puede multiplicar los dos términos de una ecuación por un número real no nulo.

  • Se puede sumar a una ecuación otra del sistema.

  • Se puede eliminar ecuaciones combinaciones lineales de otras.

  • Sistemas de Cramer:

  • Qué es un sistema de Cramer:

  • Es un sistema que:

  • Tiene n ecuaciones con n incógnitas.

  • El determinante de M no es nulo.

  • Cómo se resuelve un sistema de Cramer.

  • Primero definimos el determinante de un sistema como el de la matriz M, que tendrá tantas columnas como número de incógnitas haya. Ahora pasamos a definir el determinante de las incógnitas, que será el de la matriz formada por las mismas columnas de M, excepto una, que estará sustituida por la de los tér-minos independientes (columna B). La columna que se sustituye es distinta para cada incógnita. El orden de la incógnita con respecto a las otras determina qué columna de M se sustituye.

    La solución de una incógnita será entonces su determinante partido por el determinante del sistema. Ej:

  • Teorema de Rouché:

  • Un sistema es compatible si el rango de la matriz de los coeficientes del sistema (M) y el de la matriz ampliada con los términos independientes (M*) es el mismo.

    Si estamos ante un sistema compatible, será determinado si el rango de M y M* es igual al número de incógnitas. Si éste es menor, el sistema es compatible indeterminado.

  • Método de Gauss de resolución de un sistema:

  • Recuerda al método del mismo nombre para hallar el rango de una matriz. Consiste en hacer ceros por debajo de la diagonal principal, pero trabajando con M*. Si se consigue, queda un sistema escalonado donde ya hay una incógnita despejada, que al sustituir despeja otra, y así sucesivamente.

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