Materiales dialéctricos

Física. Electrónica. Magnetismo. Polarización. Dipolo eléctrico. Densidad. Ley de Gauss

  • Enviado por: Pip Chan
  • Idioma: castellano
  • País: Chile Chile
  • 16 páginas

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CAPITULO 3.

DIELECTRICOS

Los materiales dieléctricos pueden ser definidos como aquellos que no poseen electrones libres en su estructura; en otras palabras, son aquellos que tienen sus electrones fuertemente ligados a los núcleos y que, por lo tanto, requerirían de un gran suministro de energía externa para desplazarlos de un átomo a otro. Para los propósitos de este curso, esta definición implica que los dieléctricos pueden mantener fija una cierta distribución de carga, que puede ser una distribución volumétrica 'Materiales dialéctricos'
y/o una distribución superficial 'Materiales dialéctricos'
, aún cuando se aplique sobre él un campo eléctrico externo de moderada intensidad; a diferencia de un cuerpo conductor en equilibrio electrostático que sólo puede poseer una densidad superficial de cargas 'Materiales dialéctricos'
. Sin embargo, es probable que un material dieléctrico responda a la acción de un campo eléctrico externo con desplazamientos relativos infinitesimales de su carga positiva respecto de la carga negativa, generándose un conjunto alineado de dipolos eléctricos en la muestra dieléctrica, fenómeno denominado polarización.

La polarización del dieléctrico tiene como consecuencia inmediata la modificación del campo eléctrico externo que la produjo. Esta contribución proviene de la superposición de los campos producido por cada uno de los dipolos eléctricos en puntos lejanos. Sin embargo, como se verá más adelante, resulta conveniente visualizar macroscópicamente la polarización del dieléctrico en términos de una carga equivalente de polarización, que se agrega a la carga libre existente. Para obtener dicha carga equivalente de polarización, es conveniente analizar primeramente el potencial eléctrico y el campo eléctrico producido por un dipolo eléctrico. Así, posteriormente, se obtiene el efecto de polarización resultante mediante superposición de los campos anteriormente calculados.

  • DIPOLO ELECTRICO.

  • El dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas puntuales de igual valor, signos contrarios, y separados una distancia d relativamente pequeña(Fig. 3.1). El dipolo se representa mediante una cantidad vectorial denominada momento dipolar eléctrico:

    'Materiales dialéctricos'

    donde 'Materiales dialéctricos'
    es un versor que tiene una dirección coincidente con la recta que une a las dos cargas y un sentido que, convencionalmente, apunta desde la carga negativa a la carga positiva.

    Para simplificar el cálculo, se elige un sistema de referencia cartesiano XY tal que el origen esté centrado en el dipolo y el eje X coincida con la dirección del versor 'Materiales dialéctricos'
    . Se determina el potencial eléctrico resultante en un punto definido por el vector posición 'Materiales dialéctricos'
    como la suma algebraica de los potenciales debido a cada una de las cargas , y luego se aplica la condición de dipolo(d<<'Materiales dialéctricos'
    ):

    'Materiales dialéctricos'
    'Materiales dialéctricos'

    donde r+ y r- se pueden escribir, aplicando el teorema del coseno, como:

    'Materiales dialéctricos'

    y reemplazando en la expresión anterior da:

    'Materiales dialéctricos'

    Ahora bien, por condición de dipolo se puede despreciar el término 'Materiales dialéctricos'
    y aplicar una expansión binomial a las expresiones 'Materiales dialéctricos'
    y 'Materiales dialéctricos'
    , conservando sólo los términos lineales; se obtiene así la siguiente expresión para el potencial de un dipolo:

    'Materiales dialéctricos'

    o bien, expresada vectorialmente en función del momento dipolar eléctrico:

    'Materiales dialéctricos'
    (3.1)

    El campo eléctrico producido por el dipolo eléctrico se determina aplicando el operador gradiente en coordenadas polares al potencial eléctrico, dando como resultado una componente radial y una componente azimutal:

    'Materiales dialéctricos'
    (3.2)

    De la expresión (3.2) se observa que el campo decae más fuertemente en la dirección radial comparado con el campo eléctrico generado por una carga puntual. Además, se registra una línea de potencial nulo( para puntos que satisfacen la condición dipolar) a lo largo de la simetral del dipolo(eje Y en la figura 1).

  • DENSIDAD DE CARGA DE POLARIZACION.

  • Sea una muestra dieléctrica, inicialmente neutra, sometida a un campo eléctrico externo 'Materiales dialéctricos'
    . Este campo produce una polarización en el dieléctrico, generándose una gran cantidad de dipolos eléctricos orientados de modo que sus momento dipolares sean paralelos entre sí(figura 3.2). Este alineamiento de los dipolos eléctricos puede ser visualizado en términos de una densidad superficial de cargas equivalente de polarización(p) en la superficie frontera de la muestra, y de una densidad volumétrica equivalente de carga de polarización(p) en el volumen de la muestra.

    Dada la gran cantidad de dipolos eléctricos que se pueden generar en la muestra como consecuencia del campo eléctrico externo aplicado, resulta más conveniente definir el vector polarización 'Materiales dialéctricos'
    como el momento dipolar eléctrico por unidad de volumen:

    'Materiales dialéctricos'
    (3.3)

    donde 'Materiales dialéctricos'
    es la cantidad de dipolos eléctricos contenidos en el volumen 'Materiales dialéctricos'
    . Así, este vector polarización es paralelo al vector momento dipolar eléctrico, pero caracteriza macroscópicamente el fenómeno de polarización de la muestra dieléctrica.

    Para efectos de establecer la relación existente entre las densidades de carga de polarización y el vector polarización, se integra el potencial debido a un dipolo eléctrico a todo el volumen de la muestra dieléctrica. Previamente se reescribe la expresión (3.1) para el caso de un sistema de referencia con origen externo al dipolo:

    'Materiales dialéctricos'

    En consecuencia, el potencial debido al dieléctrico polarizado queda como:

    'Materiales dialéctricos'

    y que de acuerdo con la expresión (3.3) da la siguiente relación para el potencial en función del vector polarización:

    'Materiales dialéctricos'

    Esta integral se puede modificar empleando sucesivamente las identidades vectoriales,

    'Materiales dialéctricos'

    'Materiales dialéctricos'

    Entonces el potencial se reduce a:

    'Materiales dialéctricos'

    si además, se aplica a la primera integral el teorema de Gauss ('Materiales dialéctricos'
    ) se obtiene finalmente:

    'Materiales dialéctricos'

    Al comparar esta última expresión con el potencial de una distribución continua de cargas, 'Materiales dialéctricos'
    , se deducen las densidades de carga de polarización:

    'Materiales dialéctricos'
    (3.4)

    siendo 'Materiales dialéctricos'
    un versor normal a la superficie de dieléctrico en todos sus puntos.

    Cabe destacar que la polarización del dieléctrico de manera alguna altera la neutralidad de la carga que inicialmente presentaba la muestra; en efecto,

    'Materiales dialéctricos'

    donde la segunda integral se modifica aplicándole el teorema de Gauss para dar,

    'Materiales dialéctricos'

  • LEY DE GAUSS PARA UN DIELECTRICO.

  • Una consecuencia inmediata asociada al fenómeno de la polarización de un dieléctrico es la reformulación de la ley de Gauss, dado que ahora hay que considerar, además de la carga libre, la carga equivalente de polarización.

    Supóngase un sistema de cuerpos conductores, con cargas qi distribuidas en sus superficies Si ( en la figura se muestra dos de estos conductores), inmersos en un medio dieléctrico de extensión infinita. Sea S.G. una superficie gaussiana que contiene a los cuerpos conductores, entonces aplicando la ley de Gauss se tiene:

    'Materiales dialéctricos'

    donde la carga equivalente de polarización es,

    'Materiales dialéctricos'

    es claro, que la integral de superficie comprende las superficies de los conductores, y excluye la superficie gaussiana pues esta no es, necesariamente, frontera del dieléctrico. Entonces, aplicándole el teorema de Gauss a la segunda integral, se obtiene:

    'Materiales dialéctricos'

    dando como resultado final,

    'Materiales dialéctricos'

    con lo cual, la ley de Gauss se puede escribir como,

    'Materiales dialéctricos'

    y que indica que el flujo de un nuevo vector, denominado vector desplazamiento eléctrico 'Materiales dialéctricos'
    , es directamente proporcional a la carga libre encerrada por la superficie gaussiana (similarmente al caso del vacío, el vector desplazamiento eléctrico calculado es el resultante o neto, o sea, el generado por toda la carga libre existente, mientras que respecto de la carga sólo se considera la carga encerrada por la superficie gaussiana).

    Así entonces, se concluye que para un medio dieléctrico, la forma generalizada de la ley de Gauss se expresa como,

    'Materiales dialéctricos'
    (3.5)

    donde la carga libre encerrada por la superficie gaussiana toma una forma general si se escribe como,

    'Materiales dialéctricos'

    y se tiene la ley de Gauss en forma integral:

    'Materiales dialéctricos'
    (3.6)

    Si a la integral del lado izquierdo de la relación (3.6) se aplica el teorema de Gauss, se obtiene la forma diferencial de la Ley de Gauss generalizada:

    'Materiales dialéctricos'
    (3.7)

  • SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA, PERMITIVIDAD ELECTRICA Y CONSTANTE DIELECTRICA.

  • El vector desplazamiento eléctrico, 'Materiales dialéctricos'
    , establece una relación lineal con el campo eléctrico en regiones vacías del espacio, por cuanto, en estos puntos 'Materiales dialéctricos'
    y, por consiguiente,

    'Materiales dialéctricos'
    (3.8)

    de (3.8) se puede ver que ambos vectores son paralelos entre sí y difieren sólo en magnitud, siendo la constante de proporcionalidad la permitividad eléctrica del vacío(0 = 8,85*10-12 C2/Nm2).

    Es deseable obtener para medios dieléctricos una relación de dependencia similar entre estos dos campos. En efecto, para materiales dieléctricos isotrópicos (aquellos con iguales propiedades en todas las direcciones) la polarización tiene el mismo sentido que el campo eléctrico que la genera, cumpliéndose la siguiente relación:

    'Materiales dialéctricos'
    (3.9)

    donde la constante de proporcionalidad se denomina susceptibilidad eléctrica del material. Si ahora se reemplaza la relación (3.9) en la expresión encontrada para el vector desplazamiento eléctrico 'Materiales dialéctricos'
    , se obtiene:

    'Materiales dialéctricos'
    (3.10)

    donde se define el escalar 'Materiales dialéctricos'
    y se denomina la permitividad eléctrica del medio, con lo cual se puede escribir una relación lineal entre los campos para regiones pertenecientes al medio material,

    'Materiales dialéctricos'
    (3.11)

    Una mayor simplificación se obtiene considerando materiales dieléctricos lineales, para los cuales la susceptibilidad eléctrica y la permitividad eléctrica son independientes del campo eléctrico generador. Así entonces,

    'Materiales dialéctricos'

    con lo cual se tiene que,

    'Materiales dialéctricos'

    Evidentemente, tanto la permitividad eléctrica del vacío como la permitividad del material dieléctrico son cantidades físicas dimensionales, cuyas unidades son (C2/Nm2). En consecuencia, se simplifica el tratamiento si se describen los materiales dieléctricos en términos de una cantidad adimensional, denominada constante dieléctrica K, que se define como la razón de la permitividad eléctrica del material y la permitividad eléctrica del vacío,

    'Materiales dialéctricos'
    (3.12)

    Así, la constante dieléctrica es un número mayor que uno(K " 1). Algunos materiales dieléctricos tienen los siguientes valores de constante dielectrica:

    Material

    K

    Aire

    1.0005

    Papel

    3.7

    Pyrex

    5.6

    Teflón

    2.1

    Nylon

    3.5

    Siliciio

    12

    Germanio

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  • CONDICIONES DE FRONTERA PARA LOS CAMPOS ELECTRICOS.

  • Ahora que ya se conoce el tratamiento del campo eléctrico en medios materiales, resulta necesario establecer el comportamiento del campo eléctrico 'Materiales dialéctricos'
    y del vector desplazamiento eléctrico 'Materiales dialéctricos'
    en puntos próximos a una superficie que separa dos medios dieléctricos distintos.

    Sean ambos medios definidos por sus permitividades eléctricas 1 y 2, o bien, en términos de sus constantes dieléctricas K1 y K2. En el medio 1 está definido un campo eléctrico 'Materiales dialéctricos'
    y un vector desplazamiento dieléctrico 'Materiales dialéctricos'
    , y que se relacionan linealmente según 'Materiales dialéctricos'
    ; similar situación se observa en el medio dieléctrico 2, con 'Materiales dialéctricos'
    . Para establecer el comportamiento de estos campos, se utiliza la ley de Gauss( 'Materiales dialéctricos'
    ) y la expresión de la circulación del campo eléctrico a lo largo de una curva cerrada( 'Materiales dialéctricos'
    ).

    Con el empleo de la ley de Gauss se obtiene información acerca de la componente normal de los campos; en efecto, si se elige como superficie gaussiana un cilindro con su eje perpendicular a la superficie interfacial ( ver figura 3.5) y cuyo manto tiene una longitud infinitamente pequeña, entonces sólo existirá flujo a través de las tapas del cilindro gaussiana; si son los respectivos versores áreas de las tapas, se tiene que:

    'Materiales dialéctricos'

    donde las áreas de la tapas y el área de la carga encerrada por la gaussiana son iguales, y por lo tanto,

    'Materiales dialéctricos'
    (3.13)

    y se concluye que la componente normal del vector desplazamiento eléctrico es discontinua en la frontera. Ahora bien, si en la superficie interfacial no existe carga eléctrica libre( 'Materiales dialéctricos'
    ) , entonces:

    'Materiales dialéctricos'
    (3.14)

    y se observa entonces una continuidad de la componente normal del vector desplazamiento eléctrico. A su vez, la componente normal del campo eléctrico satisface la siguiente relación:

    'Materiales dialéctricos'

    Para averiguar el comportamiento de la componente tangencial, se elige como curva de circulación un rectángulo con aristas paralelas al superficie interfacial( ver figura 3.6), y con las aristas perpendiculares a la superficie infinitamente pequeñas, de modo tal que no haya contribución a la circulación del campo eléctrico en esos tramos; entonces,

    'Materiales dialéctricos'

    y como el tramo de integración es el mismo y no nulo, se tiene que,

    'Materiales dialéctricos'
    (3.15)

    es decir, la componente tangencial del campo eléctrico es continua al pasar del medio dieléctrico 1 al medio dieléctrico 2. En consecuencia, la componente tangencial del vector desplazamiento eléctrico satisface la siguiente relación:

    'Materiales dialéctricos'

    EJEMPLO 3.1. Una esfera conductora de radio 3R, centrada en el origen del sistema de referencia, está rodeada de un dieléctrico de permitividad  y que se extiende hasta el infinito. Se sabe que el potencial eléctrico en el punto P de coordenadas 'Materiales dialéctricos'
    vale 'Materiales dialéctricos'
    . Determine:

  • La carga sobre la esfera conductora.

  • La densidad de carga de polarización en r = 3R.

  • SOLUCION: a) Dado que el punto P está a una distancia radial r " 0,42R del centro de la esfera conductora, se tiene entonces que,

    'Materiales dialéctricos'

    siendo 'Materiales dialéctricos'

    Se necesita conocer el campo eléctrico en la región exterior a la esfera conductora. Como es una región de dieléctrico, se aplica la ley de Gauss para dieléctricos tomando como superficie gaussiana una esfera concéntrica de radio r, entonces:

    'Materiales dialéctricos'

    donde 'Materiales dialéctricos'
    es la superficie de la gaussiana y Q es la carga de la esfera conductora. Por lo tanto, de la relación 'Materiales dialéctricos'
    se obtiene la función campo eléctrico en la región requerida,

    'Materiales dialéctricos'

    se reemplaza en la expresión del potencial eléctrico,

    'Materiales dialéctricos'

    y resolviendo la integral se tiene,

    'Materiales dialéctricos'

  • De la relación (3.4) se deduce que 'Materiales dialéctricos'
    , dado que el vector polarización es normal a la superficie esférica de radio 3R. Pero, además, 'Materiales dialéctricos'
    , con lo cual se obtiene:

  • 'Materiales dialéctricos'

    e introduciendo el valor de la carga Q da finalmente,

    'Materiales dialéctricos'

    EJEMPLO 3.2. Un cilindro hueco, de radio interno R y externo 3R, infinitamente largo, tiene una carga distribuida con densidad volumétrica 'Materiales dialéctricos'
    , con  una constante conocida. Coaxialmente se coloca un cilindro dieléctrico de constante dieléctrica 'Materiales dialéctricos'
    , infinitamente largo, de radios 3R y 6R. Determine:

  • La diferencia de potencial entre los puntos P(r = 8R) y Q(r = 2R).

  • La densidad superficial de carga de polarización para r = 3R.

  • SOLUCION. a) La diferencia de potencial 'Materiales dialéctricos'
    está expresada en términos del campo eléctrico como,

    'Materiales dialéctricos'

    en este caso, ocurre que la función campo eléctrico no tiene la misma expresión en todo el intervalo de integración y, en consecuencia, se debe subdividir dicho intervalo,

    'Materiales dialéctricos'

    donde cada función campo eléctrico se calcula aplicando la ley de Gauss, tomando como superficie gaussiana un cilindro coaxial de radio r y manto de longitud 'Materiales dialéctricos'
    .

    Así, el campo en la región 1(R"r"3R) es,

    'Materiales dialéctricos'

    'Materiales dialéctricos'

    Similarmente, el campo en la región 2(3R"r"6R) se calcula como,

    'Materiales dialéctricos'

    de donde,

    'Materiales dialéctricos'

    Finalmente, el campo en la región 3(r"6R)

    'Materiales dialéctricos'

    Al reemplazar estos campos en la expresión de la diferencia de potencial y desarrollando la integrales, se obtiene:

    'Materiales dialéctricos'

  • La densidad de carga de polarización en la superficie cilíndrica de radio 3R es igual a,

  • 'Materiales dialéctricos'

    dado que el vector polarización tiene dirección radial y, por lo tanto, es normal a la superficie cilíndrica. Además, se puede demostrar que,

    'Materiales dialéctricos'

    'Materiales dialéctricos'

    el signo negativo para la densidad superficial de carga de polarización es debido a que la carga que genera el campo polarizante es una carga positiva(es evidente, entonces, que en la superficie de dieléctrico r = 6R se tiene una densidad superfical de carga de polarización positiva).


    PROBLEMAS .

  • Una esfera conductora de radio R cargada con una carga Q, está rodeada de una capa de plástico de espesor 'Materiales dialéctricos'
    y constante dieléctrica 'Materiales dialéctricos'
    . Determine:

  • La diferencia de potencial entre los puntos A y B distantes 3R y R/2 del centro de la esfera.

  • La susceptibilidad eléctrica del plástico.

  • Las densidades de carga de polarización.

  • Una esfera conductora de radio R tiene una carga positiva distribuida uniformemente con densidad . Ella está sumergida en un medio dieléctrico de constante K, el cual rodea al conductor en forma de una capa esférica de espesor R. Determine:

  • La carga libre en la esfera conductora.

  • La polarización máxima que experimenta el medio.

  • La carga de polarización en el dieléctrico.

  • El potencial eléctrico en el centro de la esfera conductora.

  • 3-3. Un cilindro de cargas, de longitud infinita, es coaxial con el eje X de un sistema de referencia. El radio de cilindro es 2R y la carga está distribuida uniformemente con densidad 'Materiales dialéctricos'
    . Un cilindro hueco de radios 2R y 6R está hecho de un sustancia de constante dieléctrica 'Materiales dialéctricos'
    y se coloca coaxialmente. Encuentre:

  • El vector desplazamiento eléctrico en todo el espacio.

  • El vector campo eléctrico en todo el espacio.

  • El vector polarización.

  • 3-4. Un cuerpo esférico de radio R tiene una carga distribuida según 'Materiales dialéctricos'
    , con  una constante conocida. Concéntricamente, se coloca un casquete dieléctrico de constante K y radios 2R y 3R. Determine:

  • El vector campo eléctrico a una distancia 'Materiales dialéctricos'
    del centro.

  • El potencial electrostático en todo el espacio.

  • Una esfera maciza de radio R tiene una carga volumétrica distribuida según 'Materiales dialéctricos'
    (siendo  una constante conocida). Concéntricamente se coloca un casquete esférico conductor de radios R y 3R cargado con una carga de valor desconocido. Se cubre esta distribución de cargas con un dieléctrico esférico de espesor 2R y constante dieléctrica K = 2. Se mide el campo eléctrico en un punto a 4R del centro, dando un valor de 'Materiales dialéctricos'
    .

  • Encuentre:

  • La densidad de cargas en la superficie r = 3R del casquete conductor.

  • La diferencia de potencial entre los puntos r = 5R y r = 0.

  • 3-6. Un cascarón metálico esférico de radio interno 2R y externo 4R, con carga de valor Q, +está inmerso en un dieléctrico de constante K1 =2K que ocupa la región entre r=4R y r=5R. A partir de r=5R existe un dieléctrico ilimitado de constante K2=4K. En el hueco del cascarón metálico(r<2R) hay una distribución volumétrica de cargas con densidad constante 0. Determine:

  • La diferencia de potencial entre los puntos a r=5R y r=R.

  • La densidad de carga de polarización para r=5R.

  • Una distribución esférica de cargas de radio R tiene una densidad dada por 'Materiales dialéctricos'
    (con  constante). La rodea un casquete conductor neutro de radios R y 2R: Este sistema se sumerge en un medio dieléctrico ilimitado de permitividad . Determine:

  • El campo eléctrico en el punto P de coordenadas (0, 3R, 0).

  • El trabajo que se debe realizar para trasladar una carga puntual positiva q, desde el punto 'Materiales dialéctricos'
    hasta el punto 'Materiales dialéctricos'

  • Un cascarón esférico metálico, de radios R y 3R, tiene una carga Q y está cubierto por una capa dieléctrica de espesor 2R y constante dieléctrica K=3. En el volumen esférico de radio R, interior al cascaron metálico, existe una carga negativa distribuida uniformemente. Determine:

  • La densidad de cargas libres en el cascarón metálico.

  • Las densidades de carga de polarización.

  • Un conductor cilíndrico hueco, de radio interno R y externo 2R, infinitamente largo, esta rodeado por una capa aislante de constante dieléctrica 2K y espesor R, la cual tiene una envoltura conductora de espesor despreciable. Si la diferencia de potencial entre el conductor interno y la envoltura conductora es V0, encuentre:

  • La densidad de cargas libres.

  • Las densidades de carga de polarización en r=2R y r=3R.

  • 3-10. Un cilindro de radio R, infinitamente largo, está cargado con una carga negativa distribuida 'Materiales dialéctricos'
    (con A una constante conocida). Este cilindro se encuentra rodeado por un casquete cilíndrico dieléctrico, de constante K=3, que se extiende desde r=R hasta r=6R e infinitamente largo. Hallar:

  • Las densidades superficiales de carga de polarización.

  • La diferencia de potencial entre los puntos r =R y r =6R.

  • 'Materiales dialéctricos'

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