CAPITULO 3.

DIELECTRICOS

Los materiales dieléctricos pueden ser definidos como aquellos que no poseen electrones libres en su estructura; en otras palabras, son aquellos que tienen sus electrones fuertemente ligados a los núcleos y que, por lo tanto, requerirían de un gran suministro de energía externa para desplazarlos de un átomo a otro. Para los propósitos de este curso, esta definición implica que los dieléctricos pueden mantener fija una cierta distribución de carga, que puede ser una distribución volumétrica
y/o una distribución superficial
, aún cuando se aplique sobre él un campo eléctrico externo de moderada intensidad; a diferencia de un cuerpo conductor en equilibrio electrostático que sólo puede poseer una densidad superficial de cargas
. Sin embargo, es probable que un material dieléctrico responda a la acción de un campo eléctrico externo con desplazamientos relativos infinitesimales de su carga positiva respecto de la carga negativa, generándose un conjunto alineado de dipolos eléctricos en la muestra dieléctrica, fenómeno denominado polarización.

La polarización del dieléctrico tiene como consecuencia inmediata la modificación del campo eléctrico externo que la produjo. Esta contribución proviene de la superposición de los campos producido por cada uno de los dipolos eléctricos en puntos lejanos. Sin embargo, como se verá más adelante, resulta conveniente visualizar macroscópicamente la polarización del dieléctrico en términos de una carga equivalente de polarización, que se agrega a la carga libre existente. Para obtener dicha carga equivalente de polarización, es conveniente analizar primeramente el potencial eléctrico y el campo eléctrico producido por un dipolo eléctrico. Así, posteriormente, se obtiene el efecto de polarización resultante mediante superposición de los campos anteriormente calculados.

DIPOLO ELECTRICO.

El dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas puntuales de igual valor, signos contrarios, y separados una distancia d relativamente pequeña(Fig. 3.1). El dipolo se representa mediante una cantidad vectorial denominada momento dipolar eléctrico:

donde
es un versor que tiene una dirección coincidente con la recta que une a las dos cargas y un sentido que, convencionalmente, apunta desde la carga negativa a la carga positiva.

Para simplificar el cálculo, se elige un sistema de referencia cartesiano XY tal que el origen esté centrado en el dipolo y el eje X coincida con la dirección del versor
. Se determina el potencial eléctrico resultante en un punto definido por el vector posición
como la suma algebraica de los potenciales debido a cada una de las cargas , y luego se aplica la condición de dipolo(d<<
):

donde r+ y r- se pueden escribir, aplicando el teorema del coseno, como:

y reemplazando en la expresión anterior da:

Ahora bien, por condición de dipolo se puede despreciar el término
y aplicar una expansión binomial a las expresiones
y
, conservando sólo los términos lineales; se obtiene así la siguiente expresión para el potencial de un dipolo:

o bien, expresada vectorialmente en función del momento dipolar eléctrico:

(3.1)

El campo eléctrico producido por el dipolo eléctrico se determina aplicando el operador gradiente en coordenadas polares al potencial eléctrico, dando como resultado una componente radial y una componente azimutal:

(3.2)

De la expresión (3.2) se observa que el campo decae más fuertemente en la dirección radial comparado con el campo eléctrico generado por una carga puntual. Además, se registra una línea de potencial nulo( para puntos que satisfacen la condición dipolar) a lo largo de la simetral del dipolo(eje Y en la figura 1).

DENSIDAD DE CARGA DE POLARIZACION.

Sea una muestra dieléctrica, inicialmente neutra, sometida a un campo eléctrico externo
. Este campo produce una polarización en el dieléctrico, generándose una gran cantidad de dipolos eléctricos orientados de modo que sus momento dipolares sean paralelos entre sí(figura 3.2). Este alineamiento de los dipolos eléctricos puede ser visualizado en términos de una densidad superficial de cargas equivalente de polarización(p) en la superficie frontera de la muestra, y de una densidad volumétrica equivalente de carga de polarización(p) en el volumen de la muestra.

Dada la gran cantidad de dipolos eléctricos que se pueden generar en la muestra como consecuencia del campo eléctrico externo aplicado, resulta más conveniente definir el vector polarización
como el momento dipolar eléctrico por unidad de volumen:

(3.3)

donde
es la cantidad de dipolos eléctricos contenidos en el volumen
. Así, este vector polarización es paralelo al vector momento dipolar eléctrico, pero caracteriza macroscópicamente el fenómeno de polarización de la muestra dieléctrica.

Para efectos de establecer la relación existente entre las densidades de carga de polarización y el vector polarización, se integra el potencial debido a un dipolo eléctrico a todo el volumen de la muestra dieléctrica. Previamente se reescribe la expresión (3.1) para el caso de un sistema de referencia con origen externo al dipolo:

En consecuencia, el potencial debido al dieléctrico polarizado queda como:

y que de acuerdo con la expresión (3.3) da la siguiente relación para el potencial en función del vector polarización:

Esta integral se puede modificar empleando sucesivamente las identidades vectoriales,

Entonces el potencial se reduce a:

si además, se aplica a la primera integral el teorema de Gauss (
) se obtiene finalmente:

Al comparar esta última expresión con el potencial de una distribución continua de cargas,
, se deducen las densidades de carga de polarización:

(3.4)

siendo
un versor normal a la superficie de dieléctrico en todos sus puntos.

Cabe destacar que la polarización del dieléctrico de manera alguna altera la neutralidad de la carga que inicialmente presentaba la muestra; en efecto,

donde la segunda integral se modifica aplicándole el teorema de Gauss para dar,

LEY DE GAUSS PARA UN DIELECTRICO.

Una consecuencia inmediata asociada al fenómeno de la polarización de un dieléctrico es la reformulación de la ley de Gauss, dado que ahora hay que considerar, además de la carga libre, la carga equivalente de polarización.

Supóngase un sistema de cuerpos conductores, con cargas qi distribuidas en sus superficies Si ( en la figura se muestra dos de estos conductores), inmersos en un medio dieléctrico de extensión infinita. Sea S.G. una superficie gaussiana que contiene a los cuerpos conductores, entonces aplicando la ley de Gauss se tiene:

donde la carga equivalente de polarización es,

es claro, que la integral de superficie comprende las superficies de los conductores, y excluye la superficie gaussiana pues esta no es, necesariamente, frontera del dieléctrico. Entonces, aplicándole el teorema de Gauss a la segunda integral, se obtiene:

dando como resultado final,

con lo cual, la ley de Gauss se puede escribir como,

y que indica que el flujo de un nuevo vector, denominado vector desplazamiento eléctrico
, es directamente proporcional a la carga libre encerrada por la superficie gaussiana (similarmente al caso del vacío, el vector desplazamiento eléctrico calculado es el resultante o neto, o sea, el generado por toda la carga libre existente, mientras que respecto de la carga sólo se considera la carga encerrada por la superficie gaussiana).

Así entonces, se concluye que para un medio dieléctrico, la forma generalizada de la ley de Gauss se expresa como,

(3.5)

donde la carga libre encerrada por la superficie gaussiana toma una forma general si se escribe como,

y se tiene la ley de Gauss en forma integral:

(3.6)

Si a la integral del lado izquierdo de la relación (3.6) se aplica el teorema de Gauss, se obtiene la forma diferencial de la Ley de Gauss generalizada:

(3.7)

SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA, PERMITIVIDAD ELECTRICA Y CONSTANTE DIELECTRICA.

El vector desplazamiento eléctrico,
, establece una relación lineal con el campo eléctrico en regiones vacías del espacio, por cuanto, en estos puntos
y, por consiguiente,

(3.8)

de (3.8) se puede ver que ambos vectores son paralelos entre sí y difieren sólo en magnitud, siendo la constante de proporcionalidad la permitividad eléctrica del vacío(0 = 8,85*10-12 C2/Nm2).

Es deseable obtener para medios dieléctricos una relación de dependencia similar entre estos dos campos. En efecto, para materiales dieléctricos isotrópicos (aquellos con iguales propiedades en todas las direcciones) la polarización tiene el mismo sentido que el campo eléctrico que la genera, cumpliéndose la siguiente relación:

(3.9)

donde la constante de proporcionalidad se denomina susceptibilidad eléctrica del material. Si ahora se reemplaza la relación (3.9) en la expresión encontrada para el vector desplazamiento eléctrico
, se obtiene:

(3.10)

donde se define el escalar
y se denomina la permitividad eléctrica del medio, con lo cual se puede escribir una relación lineal entre los campos para regiones pertenecientes al medio material,

(3.11)

Una mayor simplificación se obtiene considerando materiales dieléctricos lineales, para los cuales la susceptibilidad eléctrica y la permitividad eléctrica son independientes del campo eléctrico generador. Así entonces,

con lo cual se tiene que,

Evidentemente, tanto la permitividad eléctrica del vacío como la permitividad del material dieléctrico son cantidades físicas dimensionales, cuyas unidades son (C2/Nm2). En consecuencia, se simplifica el tratamiento si se describen los materiales dieléctricos en términos de una cantidad adimensional, denominada constante dieléctrica K, que se define como la razón de la permitividad eléctrica del material y la permitividad eléctrica del vacío,

(3.12)

Así, la constante dieléctrica es un número mayor que uno(K " 1). Algunos materiales dieléctricos tienen los siguientes valores de constante dielectrica:

Material	K
Aire	1.0005
Papel	3.7
Pyrex	5.6
Teflón	2.1
Nylon	3.5
Siliciio	12
Germanio	16

CONDICIONES DE FRONTERA PARA LOS CAMPOS ELECTRICOS.

Ahora que ya se conoce el tratamiento del campo eléctrico en medios materiales, resulta necesario establecer el comportamiento del campo eléctrico
y del vector desplazamiento eléctrico
en puntos próximos a una superficie que separa dos medios dieléctricos distintos.

Sean ambos medios definidos por sus permitividades eléctricas 1 y 2, o bien, en términos de sus constantes dieléctricas K1 y K2. En el medio 1 está definido un campo eléctrico
y un vector desplazamiento dieléctrico
, y que se relacionan linealmente según
; similar situación se observa en el medio dieléctrico 2, con
. Para establecer el comportamiento de estos campos, se utiliza la ley de Gauss(
) y la expresión de la circulación del campo eléctrico a lo largo de una curva cerrada(
).

Con el empleo de la ley de Gauss se obtiene información acerca de la componente normal de los campos; en efecto, si se elige como superficie gaussiana un cilindro con su eje perpendicular a la superficie interfacial ( ver figura 3.5) y cuyo manto tiene una longitud infinitamente pequeña, entonces sólo existirá flujo a través de las tapas del cilindro gaussiana; si son los respectivos versores áreas de las tapas, se tiene que:

donde las áreas de la tapas y el área de la carga encerrada por la gaussiana son iguales, y por lo tanto,

(3.13)

y se concluye que la componente normal del vector desplazamiento eléctrico es discontinua en la frontera. Ahora bien, si en la superficie interfacial no existe carga eléctrica libre(
) , entonces:

(3.14)

y se observa entonces una continuidad de la componente normal del vector desplazamiento eléctrico. A su vez, la componente normal del campo eléctrico satisface la siguiente relación:

Para averiguar el comportamiento de la componente tangencial, se elige como curva de circulación un rectángulo con aristas paralelas al superficie interfacial( ver figura 3.6), y con las aristas perpendiculares a la superficie infinitamente pequeñas, de modo tal que no haya contribución a la circulación del campo eléctrico en esos tramos; entonces,

y como el tramo de integración es el mismo y no nulo, se tiene que,

(3.15)

es decir, la componente tangencial del campo eléctrico es continua al pasar del medio dieléctrico 1 al medio dieléctrico 2. En consecuencia, la componente tangencial del vector desplazamiento eléctrico satisface la siguiente relación:

EJEMPLO 3.1. Una esfera conductora de radio 3R, centrada en el origen del sistema de referencia, está rodeada de un dieléctrico de permitividad  y que se extiende hasta el infinito. Se sabe que el potencial eléctrico en el punto P de coordenadas
vale
. Determine:

La carga sobre la esfera conductora.

La densidad de carga de polarización en r = 3R.

SOLUCION: a) Dado que el punto P está a una distancia radial r " 0,42R del centro de la esfera conductora, se tiene entonces que,

siendo

Se necesita conocer el campo eléctrico en la región exterior a la esfera conductora. Como es una región de dieléctrico, se aplica la ley de Gauss para dieléctricos tomando como superficie gaussiana una esfera concéntrica de radio r, entonces:

donde
es la superficie de la gaussiana y Q es la carga de la esfera conductora. Por lo tanto, de la relación
se obtiene la función campo eléctrico en la región requerida,

se reemplaza en la expresión del potencial eléctrico,

y resolviendo la integral se tiene,

De la relación (3.4) se deduce que
, dado que el vector polarización es normal a la superficie esférica de radio 3R. Pero, además,
, con lo cual se obtiene:

e introduciendo el valor de la carga Q da finalmente,

EJEMPLO 3.2. Un cilindro hueco, de radio interno R y externo 3R, infinitamente largo, tiene una carga distribuida con densidad volumétrica
, con  una constante conocida. Coaxialmente se coloca un cilindro dieléctrico de constante dieléctrica
, infinitamente largo, de radios 3R y 6R. Determine:

La diferencia de potencial entre los puntos P(r = 8R) y Q(r = 2R).

La densidad superficial de carga de polarización para r = 3R.

SOLUCION. a) La diferencia de potencial
está expresada en términos del campo eléctrico como,

en este caso, ocurre que la función campo eléctrico no tiene la misma expresión en todo el intervalo de integración y, en consecuencia, se debe subdividir dicho intervalo,

donde cada función campo eléctrico se calcula aplicando la ley de Gauss, tomando como superficie gaussiana un cilindro coaxial de radio r y manto de longitud
.

Así, el campo en la región 1(R"r"3R) es,

Similarmente, el campo en la región 2(3R"r"6R) se calcula como,

de donde,

Finalmente, el campo en la región 3(r"6R)

Al reemplazar estos campos en la expresión de la diferencia de potencial y desarrollando la integrales, se obtiene:

La densidad de carga de polarización en la superficie cilíndrica de radio 3R es igual a,

dado que el vector polarización tiene dirección radial y, por lo tanto, es normal a la superficie cilíndrica. Además, se puede demostrar que,

el signo negativo para la densidad superficial de carga de polarización es debido a que la carga que genera el campo polarizante es una carga positiva(es evidente, entonces, que en la superficie de dieléctrico r = 6R se tiene una densidad superfical de carga de polarización positiva).

PROBLEMAS .

Una esfera conductora de radio R cargada con una carga Q, está rodeada de una capa de plástico de espesor
y constante dieléctrica
. Determine:

La diferencia de potencial entre los puntos A y B distantes 3R y R/2 del centro de la esfera.

La susceptibilidad eléctrica del plástico.

Las densidades de carga de polarización.

Una esfera conductora de radio R tiene una carga positiva distribuida uniformemente con densidad . Ella está sumergida en un medio dieléctrico de constante K, el cual rodea al conductor en forma de una capa esférica de espesor R. Determine:

La carga libre en la esfera conductora.

La polarización máxima que experimenta el medio.

La carga de polarización en el dieléctrico.

El potencial eléctrico en el centro de la esfera conductora.

3-3. Un cilindro de cargas, de longitud infinita, es coaxial con el eje X de un sistema de referencia. El radio de cilindro es 2R y la carga está distribuida uniformemente con densidad
. Un cilindro hueco de radios 2R y 6R está hecho de un sustancia de constante dieléctrica
y se coloca coaxialmente. Encuentre:

El vector desplazamiento eléctrico en todo el espacio.

El vector campo eléctrico en todo el espacio.

El vector polarización.

3-4. Un cuerpo esférico de radio R tiene una carga distribuida según
, con  una constante conocida. Concéntricamente, se coloca un casquete dieléctrico de constante K y radios 2R y 3R. Determine:

El vector campo eléctrico a una distancia
del centro.

El potencial electrostático en todo el espacio.

Una esfera maciza de radio R tiene una carga volumétrica distribuida según
(siendo  una constante conocida). Concéntricamente se coloca un casquete esférico conductor de radios R y 3R cargado con una carga de valor desconocido. Se cubre esta distribución de cargas con un dieléctrico esférico de espesor 2R y constante dieléctrica K = 2. Se mide el campo eléctrico en un punto a 4R del centro, dando un valor de
.

Encuentre:

La densidad de cargas en la superficie r = 3R del casquete conductor.

La diferencia de potencial entre los puntos r = 5R y r = 0.

3-6. Un cascarón metálico esférico de radio interno 2R y externo 4R, con carga de valor Q, +está inmerso en un dieléctrico de constante K1 =2K que ocupa la región entre r=4R y r=5R. A partir de r=5R existe un dieléctrico ilimitado de constante K2=4K. En el hueco del cascarón metálico(r<2R) hay una distribución volumétrica de cargas con densidad constante 0. Determine:

La diferencia de potencial entre los puntos a r=5R y r=R.

La densidad de carga de polarización para r=5R.

Una distribución esférica de cargas de radio R tiene una densidad dada por
(con  constante). La rodea un casquete conductor neutro de radios R y 2R: Este sistema se sumerge en un medio dieléctrico ilimitado de permitividad . Determine:

El campo eléctrico en el punto P de coordenadas (0, 3R, 0).

El trabajo que se debe realizar para trasladar una carga puntual positiva q, desde el punto
hasta el punto

Un cascarón esférico metálico, de radios R y 3R, tiene una carga Q y está cubierto por una capa dieléctrica de espesor 2R y constante dieléctrica K=3. En el volumen esférico de radio R, interior al cascaron metálico, existe una carga negativa distribuida uniformemente. Determine:

La densidad de cargas libres en el cascarón metálico.

Las densidades de carga de polarización.

Un conductor cilíndrico hueco, de radio interno R y externo 2R, infinitamente largo, esta rodeado por una capa aislante de constante dieléctrica 2K y espesor R, la cual tiene una envoltura conductora de espesor despreciable. Si la diferencia de potencial entre el conductor interno y la envoltura conductora es V0, encuentre:

La densidad de cargas libres.

Las densidades de carga de polarización en r=2R y r=3R.

3-10. Un cilindro de radio R, infinitamente largo, está cargado con una carga negativa distribuida
(con A una constante conocida). Este cilindro se encuentra rodeado por un casquete cilíndrico dieléctrico, de constante K=3, que se extiende desde r=R hasta r=6R e infinitamente largo. Hallar:

Las densidades superficiales de carga de polarización.

La diferencia de potencial entre los puntos r =R y r =6R.