Matemáticas

Matemáticas. Método de Gauss. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones. Sistemas de ecuaciones escalonadas. Método de Cramer

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Introducción

La señales de circuitos lineales es un poderoso medio para el progreso técnico, en todos los campos de la economía nacional, en la ciencia la cultura y en el uso domestico.

Desde la invención de la radio astas nuestros días, la transformación de señales eléctricas es la tarea fundamental en la radio técnica y en el trabajo de un ingeniero.

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado, en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas, la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba, calcular el valor de las 3 incógnitas.

Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas, restándolas, multiplicándolas por un número, etc.)

Ejemplo:

'Matemáticas'

La 1ª ecuación siempre se deja igual, (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x.

'Matemáticas'

Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación

'Matemáticas'

De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B'' resulta

- y + 9·2 = 13 ð y = 5

Y a su vez sustituyendo en A'' obtenemos que:

2x + 3·5 - 7·2 = -1 ð x = -1

Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)

Clasificación de los sistemas:

Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos:

  • Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución

  • Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) : infinitas soluciones

  • Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución

  • En el ejemplo anterior hemos obtenido un S.C.D. pero ¿cuándo obtendremos los otros dos tipos?

    • Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = K, siendo K un número distinto de 0, tendremos un S.I. ya que obtenemos un absurdo.

    Por ejemplo:

    'Matemáticas'

    Dejamos fija la 1ª ecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª

    'Matemáticas'

    Quitamos la y de la 3ª ecuación:

    'Matemáticas'

    Como se observa hemos obtenido un absurdo, ya que 0 no es igual a 12, por lo que el sistema no tiene solución.

    • Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0, es decir se nos anule alguna ecuación, y el sistema resultante tenga más incógnitas que ecuaciones tendremos un S.C.I. en función de uno o dos parámetros (depende de las ecuaciones que se anulen).

    Por ejemplo:

    'Matemáticas'

    Dejamos como siempre la 1ª ecuación igual e intentamos quitar la incógnita x de la 2ª y 3ª ecuación.

    'Matemáticas'

    Si intentamos anular la y de la 3ª ecuación vemos que se nos anula la 3ª ecuación

    'Matemáticas'

    Obtenemos por tanto un sistema con dos ecuaciones y 3 incógnitas (hay más incógnitas que ecuaciones) por lo que tendrá infinitas soluciones. Una de ellas sería por ejemplo dar a la z el valor z=0 y así obtendríamos que y = -13, x = 19

    Método de Cramer

    Cramer obtuvo las incógnitas despejadas de un sistema en función de determinantes.

    Resolvamos el sistema:

    'Matemáticas'

    Las fórmulas son:

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    Recordemos que la fórmula de los determinantes (3x3) es:

    'Matemáticas'

    Como se puede observar, para que podamos utilizar el método de Cramer, el determinante de la matriz de los coeficientes no debe ser 0 para que el denominador de las fórmulas no se anule.

    Si diese 0 es que una de las incógnitas se puede poner en función de las otras, es decir, tendríamos parámetros.

    La forma de resolver este problema es pasar al otro miembro (al lado del término independiente) la incógnita que tomemos como parámetro y de esta forma tendremos un determinante que no se anula pero de menor grado. Al aplicar la fórmula de Cramer tendremos un parámetro en la columna de los términos independientes.

    Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

    Este tema está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente.

    Por ejemplo, las leyes de Newton.

    'Matemáticas'
    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    Donde m es la masa de la partícula, (x1, x2, x3) son sus coordenadas espaciales y F1, F2, F3 las componentes de la fuerza actuante sobre la partícula en dicha posición, que pueden ser función de la posición, de la velocidad y del tiempo. Hay una importante conexión entre los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuación de orden n

    'Matemáticas'
    N

    Puede ser reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamando

    'Matemáticas'
    'Matemáticas'

    'Matemáticas'
    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    Entonces se puede reescribir (1) como

    'Matemáticas'
    'Matemáticas'

    'Matemáticas'
    'Matemáticas'

    que es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden.

    En el caso más general un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden tiene la forma:

    'Matemáticas'
    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    Antes de proseguir será necesario establecer en qué caso hay solución del sistema y si ésta es única. Para ello, se enuncia el siguiente teorema:

    Teorema

    Sean continuas en una región R del espacio (n+1) dimensional 'Matemáticas'
    las funciones

    'Matemáticas'

    Y tal que dicha región contiene el punto 'Matemáticas'
    . Entonces existe un intervalo 'Matemáticas'
    en el que hay solución única de la forma:

    'Matemáticas'
    'Matemáticas'

    del sistema de ecuaciones diferenciales que satisface la condición

    'Matemáticas'
    'Matemáticas'

    Nota.- Es importante saber que este teorema da las condiciones suficientes para que haya solución, sin embargo, no establece las necesarias. Es decir, las condiciones son muy restrictivas y puede encontrarse un sistema que sin cumplirlas totalmente tenga solución única.

    Los sistemas se clasifican como las ecuaciones ordinarias. Pueden ser lineales y no lineales. Si las funciones 'Matemáticas'
    tienen la forma

    'Matemáticas'

    el sistema se dice lineal. Si no, es no lineal. Si 'Matemáticas'
    es cero en todas y cada una de las ecuaciones, el sistema se dice homogéneo; en caso contrario, no homogéneo.

    Para los sistemas lineales el teorema de existencia y unicidad de solución es más simple y con una conclusión más amplia. Es un teorema de existencia de solución global, como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

    Si las funciones 'Matemáticas'
    y 'Matemáticas'
    son continuas en el intervalo abierto

    ð < t < ð

    que contiene al punto 'Matemáticas'
    , entonces existe una única solución al sistema de la forma:

    'Matemáticas'
    'Matemáticas'

    que satisface las condiciones de valor inicial

    'Matemáticas'
    'Matemáticas'

    Obsérvese que la existencia y unicidad de la solución del sistema está asegurada en todo el intervalo en que las funciones pij(t) y qi(t) son continuas a diferencia de los sistemas no-lineales en los que la existencia y unicidad quedaba consignada en un subintervalo incluido en el de continuidad de las funciones.

     TEORIA BASICA DE LOS SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

    Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    Utilizando notación matricial el sistema se puede escribir

    'Matemáticas'

    donde

    'Matemáticas'

    y su derivada

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'
    y 'Matemáticas'

    Esta notación, además de simplificar la escritura, enfatiza el paralelismo entre los sistemas y las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

    Se dice que un vector x = {ð (t)} es solución del sistema si sus componentes satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

    Supóngase que P y q son continuos en un intervalo ð < t < ð. En primer lugar, se estudia la ecuación homogénea

    'Matemáticas'

    (1)

    Una vez que esta ecuación esté resuelta se resolverá la no-homogénea.

    Sean

    'Matemáticas'

    Soluciones específicas de la ecuación homogénea.

    Teorema 1

    Si 'Matemáticas'
    y 'Matemáticas'
    son soluciones del sistema (1), entonces

    'Matemáticas'

    es solución también, donde 'Matemáticas'
    y 'Matemáticas'
    son constantes arbitrarias.

    Este es el principio de superposición y se comprueba sin más que diferenciar la solución propuesta y sustituirla en (1)

     Aparentemente se pueden encontrar infinitas soluciones, por ello se debe cuestionar acerca del número mínimo de soluciones independientes que generan todas y cada una de las soluciones del sistema.

    Por similitud a los temas previos se puede afirmar que habrá n. Sean 'Matemáticas'
    ,'Matemáticas'
    , ......,'Matemáticas'
    . Considérese la matriz formada por estos vectores columna -cada columna es uno de estos vectores-

    'Matemáticas'

    Estas soluciones serán linealmente independientes en cada punto t del intervalo ð < t < ð si y sólo si el determinante es distinto de cero en ese punto. Al determinante de X se le llama wronskiano de la n soluciones.

    Teorema 2

    Si las funciones vectoriales 'Matemáticas'
    ,'Matemáticas'
    , ......,'Matemáticas'
    son soluciones linealmente independientes del sistema (1) en cada punto de ð < t < ð entonces la solución del sistema {ð (t)} puede ser expresada como una combinación lineal de 'Matemáticas'
    ,'Matemáticas'
    , ......,'Matemáticas'
    .

    'Matemáticas'

    Para demostrarlo véase que con sólo elegir adecuadamente los valores de las constantes se puede obtener la solución {ð (t)} que cumpla unas determinadas condiciones de contorno en un punto 'Matemáticas'
    del intervalo

    ð < t < ð

    Sean estas condiciones

    'Matemáticas'

    Siendo

    'Matemáticas'

    Si

    'Matemáticas'

    Sustituyendo el valor 'Matemáticas'
    se obtienen n ecuaciones algebraicas de la forma:

    'Matemáticas'

     Este sistema tiene solución para las incógnitas 'Matemáticas'
    , 'Matemáticas'
    , ........, 'Matemáticas'
    si el determinante de los coeficientes es distinto de cero.

    Como el wronskiano es distinto de cero -las funciones son independientes- en el intervalo ð < t < ð , el determinante es distinto de cero. Por consiguiente hay una única solución del sistema y

    'Matemáticas'

    Llamando W(t) al wronskiano. Dicha función verifica la ecuación diferencial.

    'Matemáticas'

    que se conoce con el nombre de fórmula de Abel.

    Como

    'Matemáticas'

    Derivando

    'Matemáticas'
    'Matemáticas'

    pero

    'Matemáticas'

    o empleando el convenio de Einstein de suma en índices repetidos:

    'Matemáticas'

    Por tanto

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    Por consiguiente se llega a que

    'Matemáticas'

    Integrando se obtiene que

    'Matemáticas'

    siendo K una constante de integración.

    Una vez realizada este cálculo se puede estudiar otro teorema.

    Teorema 3

    Si 'Matemáticas'
    ,'Matemáticas'
    , ......,'Matemáticas'
    son soluciones de

    'Matemáticas'

    en el intervalo ð < t < ð entonces en este intervalo el wronskiano o es cero o nunca es cero.

    La demostración surge como una consecuencia de la fórmula de Abel. Si las funciones 'Matemáticas'
    son continuas en (ð ,ð ) la traza de la matriz P(t) es una función continua y por consiguiente la función exponencial no se anula para valores de x pertenecientes al intervalo (ð ,ð ). El único valor que puede ser cero es la constante K. Si lo es, el wronskiano es cero para cualquier valor de x; en caso contrario, nunca se anula.

    Teorema 4

    Si se llama 'Matemáticas'
    , 'Matemáticas'
    ,,…, 'Matemáticas'

    y las soluciones 'Matemáticas'
    ,'Matemáticas'
    , ......,'Matemáticas'
    son tales que

    'Matemáticas'

    donde t es cualquier punto en ð < t < ð , entonces 'Matemáticas'
    ,'Matemáticas'
    , ......,'Matemáticas'
    son conocidas como soluciones fundamentales y cualquier solución del sistema se puede expresar como una combinación lineal de estas soluciones fundamentales.

    La demostración es una consecuencia de lo visto en teoremas anteriores. Estas soluciones fundamentales son linealmente independientes, ya que en un punto del intervalo su wronskiano es distinto de cero; en concreto, vale uno. Al ser un conjunto de n soluciones linealmente independientes constituye un conjunto generador de soluciones.

    SISTEMA LINEAL HOMOGÉNEO CON COEFICIENTES CONSTANTES

    En este apartado se construye la solución general de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

    Sea el sistema

    x' = A·x

    donde A es una matriz n x n. Por analogía a las ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes, se busca una solución de la forma

    'Matemáticas'

    donde el vector a y el escalar r son constantes a determinar. Sustituyendo en la ecuación diferencial se llega a:

    'Matemáticas'

    como 'Matemáticas'
    no es cero, se obtiene que

    'Matemáticas'
    o (A-r·Ia = 0

    donde I es la matriz identidad. Por tanto para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales se ha de obtener la solución de un sistema algebraico. Precisamente éste es el problema de determinación de vectores y valores propios de la matriz A. Por tanto el vector

    'Matemáticas'

    solución del sistema viene definido por los valores r que son los autovalores de A y los vectores a son sus autovectores asociados.

    Ejemplo

    'Matemáticas'

    Suponiendo

    'Matemáticas'

    se llega a que

    'Matemáticas'

    luego

    'Matemáticas'

    Son soluciones:

    'Matemáticas'
    y 'Matemáticas'

    y los autovectores asociados son:

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    Por tanto las soluciones son

    'Matemáticas'
    y 'Matemáticas'

    El wronskiano es

    'Matemáticas'

    que no es cero, por tanto, la solución general es:

    'Matemáticas'

    puesto de otra forma:

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    Para visualizar estos resultados se pueden representar en el plano 'Matemáticas'
    las soluciones para distintos valores de 'Matemáticas'
    y 'Matemáticas'
    .

    'Matemáticas'

    Volviendo al sistema original, los autovalores 'Matemáticas'
    (puede haber raíces múltiples) son las raíces de:

    det (A - r·I) = 0

    Comclucion

    El papel de la planificación de las redes eléctricas es desarrollar métodos para procesar datos y cálculos que nos permiten llegar a avances en el desarrollo de las redes tomando en consideración el incremento en el consumo conservando al mismo tiempo una buena calidad del servicio suministrado al menor costo posible.

    En conclusión con este temario aprendimos o recordamos cosas básicas de los tipos múltiples de amplificadores que hay o existen además de cómo solucionar algunos problemas que estos podrían dar.