Matemáticas

Matemática griega. Orígenes. Euclides. Aristóteles. Platón. Ecuaciones diferenciales de equilibrio. Contaminación ruido

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Índice

Temas: Pág.

Presentación ....................................................................... 1

Indice ................................................................................... 2

Introducción ........................................................................ 3

Euclides ............................................................................... 4

Aristóteles ............................................................................ 7

Platon ................................................................................... 15

Galileo y su honor a la elipse ............................................. 21

Socrates ............................................................................... 26

Matemática del orden .......................................................... 29

Matemática y el equilibrio ................................................... 33

La contaminación del ruido ................................................ 38

Bibliografía ........................................................................... 40

Conclusión ........................................................................... 41

INTRODUCCIÓN

Los temas que le presentaremos a continuación nos darán una mejor interpretación de la matemáticas y sus aplicaciones, también conoceremos mas sobre los primeros en implementarla, también descubriremos nuevos misterios de esta amplia ciencia.

Espero que este trabajo sea de buen agrado para las persona que le toque corregirlo, bueno sin mucho que decir qui le doy paso a los temas del trabajo.

EUCLIDES

Matemáticas
Euclides es, sin lugar a dudas, el Matemático más famoso de la antigüedad y quizás el más nombrado y conocido de la historia de las Matemáticas.

Se conoce poco de la vida de Euclides, sin embargo, su obra sí es ampliamente conocida. Todo lo que sabemos de su vida nos ha llegado a través de los comentarios de un historiador griego llamado Proclo. Sabemos que vivió en Alejandría (Egipto), al parecer en torno al año 300 a.C. Allí fundó una escuela de estudios matemáticos. Por otra parte también se dice que estudió en la escuela fundada por Platón.

Su obra más importante es un tratado de geometría que recibe el título de "Los Elementos", cuyo contenido se ha estado (y aún se sigue de alguna manera) enseñando hasta el siglo XVIII, Cuando aparecen las geometría no Euclídeas.
 

"LOS ELEMENTOS":

"Los Elementos" ha tenido más de 1.000 ediciones desde su primera publicación en imprenta en 1482. Se puede afirmar, por tanto, que Euclides es el matemático más leído de la historia.

Esta obra es importante, no tanto por la originalidad de sus contenidos, sino por la sistematización, el orden y la argumentación con la que está constituida. Euclides recopila, ordena y argumenta los conocimientos geométrico-matemáticos de su época, que ya eran muchos.

Euclides construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo demás) que Euclides llamó postulados.  Los famosos cinco postulados de Euclides, que ofrecemos a continuación, son:

"Los Elementos" es una verdadera reflexión teórica de y sobre matemáticas. En la práctica totalidad de su obra, que consta de 465 proposiciones, 93 problemas y 372 teoremas, ¡no aparecen números! Euclides, además, escribió sobre música y óptica, tiene una obra titulada "Sofismas" que, dice Proclo, sirve para ejercitar la inteligencia.

Para acabar podemos citar un par de anécdotas que nos ilustrarán, aún más, sobre la vida y gestos de Euclides:

En una ocasión, el rey Ptolomeo preguntó a Euclides sí había un camino más breve que el que él utilizaba en "Los Elementos" para estudiar Geometría, él respondió que no existen caminos "reales" en la geometría. Con este juego de palabras, Euclides le vino a decir al rey que no existen privilegios en la geometría.

En otra ocasión, uno de sus estudiantes preguntó a Euclides qué ganaba con lo que había aprendido de la geometría: El maestro ordenó a su esclavo que le entregase una moneda (óbolo) a aquel estudiante, para que "ganara" algo con lo que aprendía de geometría, dando a entender que aquel muchacho no había entendido nada de la grandeza de la geometría y de lo desinteresado de ésta.

ARISTOTELES

Aristóteles (384-322a.C.), filósofo y científico griego, considerado, junto a Platón y Sócrates, uno de los pensadores más destacados de la antigua filosofía griega y uno de los más influyentes en el conjunto de toda la filosofía occidental. Vida Nacido en Estagira (Macedonia), hijo de un médico de la corte real, se trasladó a Atenas a los 17 años de edad para estudiar en la Academia de Platón. Permaneció en esta ciudad durante aproximadamente 20 años, primero como estudiante y, más tarde, como maestro. Tras morir Platón (c.347a.C.), Aristóteles partió para Assos, ciudad de Asia Menor en la que gobernaba un amigo suyo, Hermias, al cual sirvió como consejero y con cuya sobrina e hija adoptiva, Pitia, contrajo matrimonio. Tras ser capturado y ejecutado Hermias por los persas (345a.C.), Aristóteles se trasladó a Pella, capital de Macedonia, donde se convirtió en tutor de Alejandro (futuro Alejandro III el Magno), hijo menor del rey Filipo II. En el año 336a.C., al acceder Alejandro al trono, regresó a Atenas y estableció su propia escuela: el Liceo. Debido a que gran parte de las discusiones y debates se desarrollaban mientras maestros y estudiantes paseaban por el Liceo, este centro llegó a ser conocido como escuela peripatética.

La muerte de Alejandro (323a.C.) generó en Atenas un fuerte sentimiento antimacedonio, con lo que Aristóteles se retiró a una propiedad familiar en Calcis, en la isla de Eubea, donde moriría al año siguiente. Obras Al igual que Platón en sus primeros años en la Academia, Aristóteles utilizó muy a menudo la forma dialogada de razonamiento, aunque, al carecer del talento imaginativo de Platón, esta modalidad de expresión no fue nunca de su pleno agrado. Si se exceptúan escasos fragmentos mencionados en las obras de algunos escritores posteriores, sus diálogos se han perdido por completo. Aristóteles escribió además algunas notas técnicas, como es el caso de un diccionario de términos filosóficos y un resumen de las doctrinas de Pitágoras; de estos apuntes sólo han sobrevivido algunos breves extractos. Lo que sí ha llegado hasta nuestros días, sin embargo, son las notas de clase que Aristóteles elaboraba para sus cursos, delimitados con gran esmero y que cubrían casi todos los campos del saber y del arte. Los textos en los que descansa la reputación de Aristóteles se basan en gran parte en estas anotaciones, que fueron recopiladas y ordenadas por sus editores posteriores.

Entre sus textos existen tratados de lógica, llamados Organon ('instrumento'), ya que proporcionan los medios con los que se ha de alcanzar el conocimiento positivo. Entre las obras que tratan de las ciencias naturales está la Física, que recoge amplia información sobre astronomía, meteorología, botánica y zoología. Sus escritos sobre la naturaleza, alcance y propiedades del ser, que Aristóteles llamó "primera filosofía", recibieron el nombre de Metafísica en la primera edición publicada de sus obras (c.60a.C.), debido a que en dicha edición aparecían tras la Física. A su hijo Nicómaco dedicaría su obra sobre la ética, llamada Ética a Nicómaco. Otras obras esenciales son Retórica, Poética (que se conserva incompleta, véase Teatro y arte dramático) y Política (también incompleta). Métodos Quizás debido a la influencia de su padre, que era médico, la filosofía de Aristóteles hacía hincapié sobre todo en la biología, frente a la importancia que Platón concedía a las matemáticas. Para Aristóteles, el mundo estaba compuesto por individuos (sustancias) que se presentaban en tipos naturales fijos (especies). Cada individuo cuenta con un patrón innato específico de desarrollo y tiende en su crecimiento hacia la debida autorrealización como ejemplo de su clase. El crecimiento, la finalidad y la dirección son, pues, aspectos innatos a la naturaleza, y aunque la ciencia estudia los tipos generales, éstos, según Aristóteles, encuentran su existencia en individuos específicos. La ciencia y la filosofía deben, por consiguiente, no limitarse a escoger entre opciones de una u otra naturaleza, sino equilibrar las afirmaciones del empirismo (observación y experiencia sensorial) y el formalismo (deducción racional).

Una de las aportaciones características de la filosofía de Aristóteles fue la nueva noción de causalidad. Los primeros pensadores griegos habían tendido a asumir que sólo un único tipo de causa podía ser explicatoria; Aristóteles propuso cuatro. (El término que usa Aristóteles, aition, 'factor responsable y explicatorio', no es sinónimo de causa en el sentido moderno que posee esta palabra.) Estas cuatro causas son: la causa material (materia de la que está compuesta una cosa), la causa eficiente o motriz (fuente de movimiento, generación o cambio), la causa formal (la especie, el tipo o la clase) y la causa final (objetivo o pleno desarrollo de un individuo, o la función planeada de una construcción o de un invento). Así pues, un león joven está compuesto de tejidos y órganos, lo que constituiría la causa material; la causa motriz o eficiente serían sus padres, que lo crearon; la causa formal es su especie (león), mientras que la causa final es su impulso innato por convertirse en un ejemplar maduro de su especie.

En contextos diferentes, las mismas cuatro causas se aplican de forma análoga. Así, la causa material de una estatua es el mármol en que se ha esculpido; la causa eficiente, el escultor; la causa formal, la forma que el escultor ha dado a la estatua (Hermes o Afrodita, por ejemplo), y la causa final, su función (ser una obra de arte). En todos los contextos, Aristóteles insiste en que algo puede entenderse mejor cuando se expresan sus causas en términos específicos y no en términos generales. Por este motivo, se obtiene más información si se conoce que un escultor realizó la estatua que si apenas se sabe que la esculpió un artista, y se obtendrá todavía más información si se sabe que fue Policleto el que la cinceló, que si tan sólo se conoce que fue un escultor no especificado. Aristóteles creía que su noción de las causas era la clave ideal para organizar el conocimiento. Sus notas de clases son una impresionante prueba de la fuerza de dicho esquema. Doctrinas En la siguiente exposición se pueden apreciar algunos de los principales aspectos de las doctrinas o teorías del pensamiento aristotélico. Física o filosofía natural En astronomía, Aristóteles propuso la existencia de un Universo esférico y finito que tendría a la Tierra como centro. La parte central está compuesta por cuatro elementos: tierra, aire, fuego y agua. En su Física, cada uno de estos elementos tiene un lugar adecuado, determinado por su peso relativo o "gravedad específica". Cada elemento se mueve, de forma natural, en línea recta la tierra hacia abajo, el fuego hacia arriba- hacia el lugar que le corresponde, en el que se detendrá una vez alcanzado, de lo que resulta que el movimiento terrestre siempre es lineal y siempre acaba por detenerse. Los cielos, sin embargo, se mueven de forma natural e infinita siguiendo un complejo movimiento circular, por lo que deben, conforme con la lógica, estar compuestos por un quinto elemento, que él llamaba aither, elemento superior que no es susceptible de sufrir cualquier cambio que no sea el de lugar realizado por medio de un movimiento circular. La teoría aristotélica de que el movimiento lineal siempre se lleva a cabo a través de un medio de resistencia es, en realidad, válida para todos los movimientos terrestres observables.

Aristóteles sostenía también que los cuerpos más pesados de una materia específica caen de forma más rápida que aquellos que son más ligeros cuando sus formas son iguales, concepto equivocado que se aceptó como norma hasta que el físico y astrónomo italiano Galileo llevó a cabo su experimento con pesos arrojados desde la torre inclinada de Pisa. Biología En zoología, Aristóteles propuso un conjunto fijo de tipos naturales (especies), que se reproducen de forma fiel a su clase. Pensó que la excepción a esta regla la constituía la aparición, por generación espontánea (concepto que acuñó), de algunas moscas y gusanos "muy inferiores" a partir de fruta en descomposición o estiércol. Los ciclos vitales típicos son epiciclos: se repite el mismo patrón, aunque a través de una sucesión lineal de individuos. Dichos procesos son, por lo tanto, un paso intermedio entre los círculos inmutables de los cielos y los simples movimientos lineales de los elementos terrestres. Las especies forman una escala que comprende desde lo simple (con gusanos y moscas en el plano inferior) hasta lo complejo (con los seres humanos en el plano más alto), aunque la evolución no es posible.

Ética Aristóteles creía que la libertad de elección del individuo hacía imposible un análisis preciso y completo de las cuestiones humanas, con lo que las "ciencias prácticas", como la política o la ética, se llamaban ciencias sólo por cortesía y analogía. Las limitaciones inherentes a las ciencias prácticas quedan aclaradas en los conceptos aristotélicos de naturaleza humana y autorrealización. La naturaleza humana implica, para todos, una capacidad para formar hábitos, pero los hábitos formados por un individuo en concreto dependen de la cultura y opciones personales repetidas de ese individuo. Todos los seres humanos anhelan la "felicidad", es decir, una realización activa y comprometida de sus capacidades innatas, aunque este objetivo puede ser alcanzado por muchos caminos.

La Ética a Nicómaco es un análisis de la relación del carácter y la inteligencia con la felicidad. Aristóteles distinguía dos tipos de "virtud" o excelencia humana: moral e intelectual. La virtud moral es una expresión del carácter, producto de los hábitos que reflejan opciones repetidas. Una virtud moral siempre es el punto medio entre dos extremos menos deseables. El valor, por ejemplo, es el punto intermedio entre la cobardía y la impetuosidad irreflexiva; la generosidad, por su parte, constituiría el punto intermedio entre el derroche y la tacañería. Las virtudes intelectuales, sin embargo, no están sujetas a estas doctrinas de punto intermedio. La ética aristotélica es una ética elitista: para él, la plena excelencia sólo puede ser alcanzada por el varón adulto y maduro perteneciente a la clase alta y no por las mujeres, niños, "bárbaros" (no griegos) o "mecánicos" asalariados (trabajadores manuales, a los cuales negaba el derecho al voto). Como es obvio, en política es posible encontrar muchas formas de asociación humana. Decidir cuál es la más idónea dependerá de las circunstancias, como, por ejemplo, los recursos naturales, la industria, las tradiciones culturales y el grado de alfabetización de cada comunidad.

Para Aristóteles, la política no era un estudio de los estados ideales en forma abstracta, sino más bien un examen del modo en que los ideales, las leyes, las costumbres y las propiedades se interrelacionan en los casos reales. Así, aunque aprobaba en aquel tiempo la institución de la esclavitud, moderaba su aceptación aduciendo que los amos no debían abusar de su autoridad, ya que los intereses de amo y esclavo son los mismos. La biblioteca del Liceo contenía una colección de 158 constituciones, tanto de estados griegos como extranjeros. El propio Aristóteles escribió la Constitución de Atenas como parte de la colección, obra que estuvo perdida hasta 1890, año en que fue recuperada. Los historiadores han encontrado gracias a este texto muy valiosos datos para reconstruir algunas fases de la historia ateniense. Lógica En lógica, Aristóteles desarrolló reglas para establecer un razonamiento encadenado que, si se respetaban, no producirían nunca falsas conclusiones si la reflexión partía de premisas verdaderas (reglas de validez). En el razonamiento los nexos básicos eran los silogismos: proposiciones emparejadas que, en su conjunto, proporcionaban una nueva conclusión. En el ejemplo más famoso, "Todos los humanos son mortales" y "Todos los griegos son humanos", se llega a la conclusión válida de que "Todos los griegos son mortales". La ciencia es el resultado de construir sistemas de razonamiento más complejos.

En su lógica, Aristóteles distinguía entre la dialéctica y la analítica; para él, la dialéctica sólo comprueba las opiniones por su consistencia lógica. La analítica, por su parte, trabaja de forma deductiva a partir de principios que descansan sobre la experiencia y una observación precisa. Esto supone una ruptura deliberada con la Academia de Platón, escuela donde la dialéctica era el único método lógico válido, y tan eficaz para aplicarse en la ciencia como en la filosofía. Metafísica En su Metafísica, Aristóteles abogaba por la existencia de un ser divino, al que se describe como "Primer Motor", responsable de la unidad y significación de la naturaleza. Dios, en su calidad de ser perfecto, es por consiguiente el ejemplo al que aspiran todos los seres del mundo, ya que desean participar de la perfección. Existen además otros motores, como son los motores inteligentes de los planetas y las estrellas (Aristóteles sugería que el número de éstos era de "55 o 47"). No obstante, el "Primer Motor" o Dios, tal y como lo describe Aristóteles, no corresponde a finalidades religiosas, como han observado numerosos filósofos y teólogos posteriores. Al "Primer Motor", por ejemplo, no le interesa lo que sucede en el mundo ni tampoco es su creador. Aristóteles limitó su teología, sin embargo, a lo que él creía que la ciencia necesita y puede establecer. Influencia Tras la caída del Imperio romano las obras de Aristóteles se perdieron en Occidente. Durante el siglo IX, los estudiosos árabes introdujeron su obra, traducida al árabe, en el Islam. De estos estudiosos árabes que examinaron y comentaron la obra aristotélica, el más famoso fue Averroes, filósofo hispanoárabe del siglo XII. En el siglo XIII el Occidente latino renovó su interés por la obra de Aristóteles y santo Tomás de Aquino halló en ella una base filosófica para orientar el pensamiento cristiano, aunque su interpretación de Aristóteles fuera cuestionada en un principio por las instancias eclesiásticas. En las primeras fases de este redescubrimiento, la filosofía de Aristóteles fue tomada con cierto recelo, en gran parte debido a la creencia de que sus enseñanzas conducían a una visión materialista del mundo. Sin embargo, la obra de santo Tomás acabaría siendo aceptada, continuando más tarde la filosofía del escolasticismo la tradición filosófica fundamentada en la adaptación que santo Tomás hacía del pensamiento aristotélico.

La influencia de la filosofía de Aristóteles ha sido general, contribuyendo incluso a determinar el lenguaje moderno y el denominado sentido común, y su concepto del "Primer Motor" como causa final ha tenido un importante papel dentro de la teología. Antes del siglo XX, decir lógica significaba en exclusiva hacer referencia a la lógica aristotélica. Hasta el renacimiento, e incluso después, tanto poetas como astrónomos ensalzaron el concepto aristotélico del Universo. El estudio de la zoología estuvo basado en la obra de Aristóteles hasta que, en el siglo XIX, el científico británico Charles Darwin cuestionó la doctrina de la inmutabilidad de las especies. En el siglo XX se ha producido una nueva apreciación del método aristotélico y de su relevancia para la educación, el análisis de las acciones humanas, la crítica literaria y el análisis político. No sólo la disciplina de la zoología, sino el mundo del saber en general, parece justificar el comentario realizado por Darwin, quien llegó a afirmar que los héroes intelectuales de su época "eran simples colegiales al lado del viejo Aristóteles

BIOGRAFÍA DE PLATÓN

Nació en Atenas probablemente en el año 427 a.C. pertenecía a una familia noble y eran ilustres tanto los ascendientes de sus padres como los de su madre recibió la educación física intelectual de los jóvenes de su época; es posible que haya seguido las lecciones del heraclitano Cratilo. En el año 407 sobrevino el acontecimiento capital de la vida de Platón: su encuentro con Sócrates. El maestro tenía entonces 63 y el alumno 20. Platón debió seguir las lecciones de Sócrates durante ocho años. Poco después de la caída de los Treinta, tres delatores acusan a Sócrates de corromper a la juventud y de no creer en los dioses de la ciudad; condenado a muerte, rehúsa evadirse y bebe la cicuta en el 399. Platón no estuvo presente en los últimos momentos de su maestro, relatados en el Fedón; pero esta escandalosa injusticia debió ser para él el prototipo del acto inicuo contra cuya repetición debía luchar todo filósofo.

Puesto que corría el riesgo de ser molestado por su condición de alumno de Sócrates, se refugió Platón enseguida con alumnos, amigos, en Mégara; allí una célebre escuela los acogió en ella entraron en relación con Euclides el Megálico. No se sabe con certeza cuál fue la duración de su estada en Atenas pero alcanzó presumiblemente a tres años. De ahí Platón partió para Africa; se detuvo en Egipto, luego en Cirenaica, donde frecuentó a Aristipo de Cirene y el matemático Teodoro. En este lugar los biógrafos de Platón dan diversas versiones de el orden de sus viajes. Para unos habría regresado directamente a Atenas; para otros se habría dirigido a Italia meridional con el fin de conocer a los pitagóricos y en particular a Arquitas de Tarento. Es probable que en este período de la vida de Platón se sitúa la composición de las siguientes obras: Hippias menor, Alsibíades, Apología, Eutifrón, Critón, Hippias mayor, Cármides, Laques, Lisis, Protágoras, Gorgias y Menón.

Alrededor del año 388 abandona Italia (o Atenas según la otra tradición) para dirigirse a Sicilia. Allí, en Siracusa, reina un Griego de modesto origen, Dionisio I el Anciano, quien tiene en jaque a los cartagineses y se ha convertido en el amo absoluto de Sicilia. Su carta es fastuosa; los vicios que en ella reinan, numerosos; mas Dionisio es célebre. Platón intima con Dion, hermano político de Dionisio, quien tiene pretenciones de filósofo y admira a los Socráticos. ¿Qué sucedió en realidad?

¿Fustigó Platón las costumbre disoluta de la corte? ¿Desconfió Dionisio de la presencia de este ateniense amigo de su cuñado? No lo sabemos exactamente; pero, sea como fuere, Dionisio obliga a Platón a embarcarse en una nave espartana. Esta embarcación -¿empujada por la tempestad o debido a un plan de Dionisio?- debe hacer escala en la Isla de Egina, a la sazón en guerra contra Atenas, Platón es vendido como esclavo. Por fortuna, Aníceris, a quien había tratado en Cirene, lo reconoce, paga el rescate y lo libera. Platón puede regresar a Atenas en el año 387.

El filósofo compra un gimnasio y un parque situado en el noroeste de la ciudad y funda en ese lugar una escuela, la Academia. Se trata de la primera escuela de filosofía organizada como una universidad, con su estatuto, reglamento, alojamiento destinado a los estudiantes, sala de conferencias, museo, biblioteca, etc. De todos los rincones de Grecia y del mundo mediterráneo concurren alumnos a seguir los cursos de Platón. En ésta época, sin duda, escribe El Fedón, El Banquete, El Fredo, El Ion, El Menexeno, El Eutidemo, El Cratilo y comienza La Republica. Hacia el año 367 muere Dionisio I el Anciano, y su hijo primogénito, Dionisio II el joven, asciende al trono; tiene 30 años y carece de mayor experiencia en los negocios públicos. Dion llama inmediatamente a Platón haciéndole ver las perspectivas que se ofrecen para realizar reformas políticas mediante la aplicación de las ideas que le son caras. El filósofo acude y deja a Eudoxio la dirección de la Academia. Dionisio le acoge muy bien y parece mostrarse alumno dócil; sin embargo, muy pronto Dionisio ve en Dion y en el huésped. Destierra a Dion y poco después a Platón, a quien había retenido algún tiempo en condiciones de prisionero.

El monarca promete, no obstante, llamar pronto a uno y a otro. Vuelto a Atenas Platón permanece en ella seis años, y compone probablemente el Parménides, el Teeteto, el Sofista, el Político y el Filevo.

En el 361, Dionisio invita nuevamente a Platón. El filósofo retorna con algunos discípulos, deja a Heráclides del Ponto la dirección de la Academia. Quizá Platón defendiera la causa de Dion ante Dionisio. Este, lejos de llamar a su pariente, confiscó sus bienes, obligó a la esposa de éste a casarse con el gobernador de Siracusa y forzó a Platón a permanecer en la residencia que le había asignado. Gracias a la intervención de Arquitas, fue liberado y pudo regresar a Atenas.

En cuanto a Dion, termina por reclutar un ejército y embarca con algunos amigos de Platón para tomar a Siracusa por sorpresa. El éxito le acompaña e instaura una dictadura que dura tres años, hasta que finalmente es asesinado por su amigo, el platónico Calipo.

El filósofo permaneció en Atenas y debió de morir allí alrededor del 347 a.C.. En este período final de su vida continuó al frente de la Academia y escribió el Timeo, el Critias y Las Leyes, que quedaron inconclusas.

Las obras de Platón

Para la autenticación de los escritos platónicos se dispone de criterios externos: una obra se tiene por auténtica si Aristóteles o Ciserón la atribuyen al filósofo, o si se hallan citas de una obra en el interior de otra. También hay criterios internos: un escrito será adjudicado a Platón si "armoniza" con su filosofía; sin embargo, se advierten los peligros dem tal procedimiento, que consiste en definir primeramente a Platón para poder juzgar los trabajos después. Otros críticos han utilizado el método estilométrico, que consiste en medir la frecuencia con que aparecen ciertas palabras griegas corrientes para determinar un "estilo" de Platón que permita autenticar una obra según la forma en que ha sido escrita. Pero debe observarse que el estilo no es dato inmutable en un hombre que vivió cerca de ochenta años.

La siguiente clasificación sigue un orden cronológico probable:

Hippias menor, sobre la Mentira, género anatréptico;

Alcibíades, sobre la Naturaleza del hombre, género Mayéutico;

Apología de Sócrates;

Eutifrón, del la Piedad, género probatorio;

Critón, del Deber, género ético;

Hippias mayor, sobre lo Bello, género anatrépico;

Laques, sobre el Coraje, género mayeutico;

Lisis, sobre la Amistad, género mayéutico;

Cármides, sobre la Sabiduría, género probatorio;

Protágoras, sobre los Sofistas, género demostrativo;

Gorgias, sobre la retórica, género refutativo;

Menon, sobre la Virtud, género provatorio;

Fedón, del Alma, género moral;

El Banquete, del Amor, género moral;

Fedro, de la Belleza, género moral;

Ion, sobre la Ilíada, género provatorio;

Menexeno, de la Oración fúnebre, género moral;

Eutidemo, o la Erística, género anatrépico;

Cratilo, sobre la Exactitud de los nombres;

La República, sobre la Justicia, diálogo político;

Parménides;

Teeteto, sobre la Ciencia, género peirástico;

El Sofista, del Ser, género lógico;

El Político;

Filebo, del Placer, género ético;

Timeo;

Crítias, o la Atlántida;

Las Leyes, o de la Legislación;

Epínomis, o el Filósofo (atribución discutida);

Cartas (su autenticidad es muy discutida; es probable, sin embargo, que la carta VII, que nos ofrece numerosos detalles sobre la vida de Platón, sea auténtica).

Diálogos dudosos: Segundo alcibíades, Hiparco, Minos, Los Rivales, Teages, Clitofón.

Diálogos apócrifos: De lo Justo, De la Virtud, Demódoco, Sísifo, Erixias, Axíocos, Definiciones.

Todas estas obras nos han llegado en manuscritos, los más antiguos de los cuales se remontan a la Edad Media bizantina.

Debe añadirse que, desde la Antiguedad hasta el Renacimiento, las obras de Platón fueron comentadas o utilizadas por autores más o menos sagaces.

GALILEO Y SU HONOR A LA ELIPSE

En la Edad Media se utilizaba el antiguo modelo geocéntrico para predecir la posición de las estrellas y los planetas en el cielo, incluídos el Sol y la Luna. Sin embargo, era evidente que las predicciones no eran buenas más allá de unos pocos días. Los intentos por construir modelos basados en combinaciones complicadas de movimientos circulares mejoraron algo la situación pero distaba de ser satisfactoria. A pesar de todo, el modelo geocéntrico seguía siendo la regla principalmente porque era el modelo adoptado, por razones filosóficas, por la Iglesia Católica.

Nicolás Copérnico propuso un modelo del Universo que para la época era una lisa y llana herejía: la Tierra y los planetas giran alrededor del Sol en órbitas circulares. Este modelo lograba predecir con mayor precisión los cambios aparentes en la esfera celeste y de una manera matemáticamente mucho más simple, lo cual resultó muy atractivo para la navegación. Copérnico no pudo aportar evidencia observacional de la validez de su teoría, de modo que para la Iglesia se trataba de una simple herramienta de cálculo. Ya sea por este motivo o las obvias ventajas económicas de contar con tablas más simples y precisas, lo cierto es que Copérnico no terminó en la hoguera como el primero en proponer un modelo heliocéntrico: Giordano Bruno.

Galileo Galilei, un italiano cuya pasión por la física era rivalizada sólo por su afición por la buena mesa, enterado de la reciente invención del telescopio, se fabricó rápidamente uno y lo dirigió hacia el cielo. Entre las muchas cosas que vio, descubrió que el planeta Júpiter estaba cortejado por cuatro pequeñas estrellas, a las que llamó estrellas de Médici, en honor al Duque que lo auspiciaba económicamente. Un seguimiento rutinario lo convenció de que las cuatro estrellas no eran sino lunas que orbitaban en torno a Júpiter como la Luna alrededor de la Tierra. Su descubrimiento fue severamente criticado por la Iglesia pero el golpe mortal hacia la teoría heliocéntrica había sido dado: no todo en el Universo giraba alrededor de la Tierra. Era cuestión de tiempo hasta que el heliocentrismo pasara de ser una teoría conveniente a una teoría aceptada como correcta.

A pesar de todo, aunque más simples, las predicciones seguían siendo erróneas. Evidentemente algo no andaba bien con el modelo. Y no se podía decir que las observaciones estuvieran mal hechas. Tycho Brahe era, al igual que Galileo, aficionado a la Astronomía, al buen comer y al mejor vino. Afortunadamente, tenía por costumbre observar en estado de perfecta sobriedad y era muy bueno en lo suyo, aún sin contar con el telescopio, que no aparecería sino hasta unos años después.

Tras la muerte de Tycho, uno de sus discípulos, Johannes Kepler, logró con no poco esfuerzo, recuperar de la familia las notas observacionales para estudiarlas. Kepler contaba entonces con el mejor conjunto de observaciones de Marte de la época, el que usó para deducir sus famosas tres leyes descriptivas del movimiento orbital del planeta rojo.

Primera Ley:

Los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos.

Segunda Ley:

El radio vector Sol-Planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

Tercera Ley:

El cubo del semieje mayor es proporcional al cuadrado del período orbital.

La Primera Ley

De la primera ley, deducimos que la distancia de un planeta al Sol varía continuamente a lo largo de la órbita. La figura de arriba muestra las características de la elipse. El Sol está en el foco F. El punto de distancia mínima se denomina perihelio, y el de máxima se llama afelio. El semieje mayor, indicado por a en la figura, es promedio de ambos. La distancia del foco al centro de la elipse (el segmento OF), indica el grado de apartamiento de la forma esférica, y su valor en términos del semieje mayor se llama "eccentricidad" de la elipse:

e = OF / a

En la figura vemos que la distancia al perihelio

dp = a .(1 - e)

mientras que al afelio

da = a.(1+e)

La Tierra, por ejemplo, está dos millones y medio de kilómetros más cerca del Sol en el perihelio que en el afelio.

La Segunda Ley

No sólo las distancias son variables, sino también la velocidad de los planetas en sus órbitas. Debido a que el momento angular debe conservarse (mantenerse constante), un planeta debe moverse más rápido cuando está cerca del Sol (perihelio), que cuando está en el afelio.

La Tercera Ley

También conocida como Ley Armónica, fue resultado de un esfuerzo de Kepler por encontrar algún tipo de regularidad en la mecánica del Universo. En este caso, encontró que el período orbital de un planeta (tiempo que demora en dar una vuelta en torno al Sol), está vinculado a su distancia promedio al Sol (es decir, el semije mayor de la órbita), de modo que:

a3 = k. P2

La constante de proporcionalidad k dependerá de las unidades utilizadas. Por ejemplo, si el período se expresa en segundos y la distancia a en km, usando los valores para la Tierra, obtenemos

k = 3,4x109 km3/seg2

Lo cual no es evidentemente muy cómodo de recordar. Sin embargo, si expresamos a en unidades astronómicas y P en años, para la Tierra resulta:

k = 1 UA3/año2. De modo que para cualquier planeta, la 3ra. Ley se convierte sencillamente en

a3=P2

donde a está en UA y P en años.

Ejemplo: la distancia promedio de Neptuno al Sol es de 4.515 millones de kilómetros. Hallar su período orbital.

Respuesta: primero convertimos de km a unidad astronómica dividiendo por la distancia de la Tierra al Sol:

a = 4.515.000.000 km / (150.000.000 km/UA) = 30,1 UA

Aplicando la 3ra. Ley, resulta:

P = 165,1 años.

BIOGRAFÍA DE SÓCRATES

Fue un filósofo griego fundador de la filosofía moral, o axiología que ha tenido gran peso en la filosofía occidental por su influencia sobre Platón. Nacido en Atenas, hijo de Sofronisco, un escultor, y de Fenareta, una comadrona, recibió una educación tradicional en literatura, música y gimnasia. Más tarde, se familiarizó con la retórica y la dialéctica de los sofistas, las especulaciones de los filósofos jonios y la cultura general de la Atenas de Pericles. Al principio, Sócrates siguió el trabajo de su padre; realizó un conjunto de estatuas de las tres Gracias, que estuvieron en la entrada de la Acrópolis hasta el siglo II a. C. Durante la guerra del Peloponeso contra Esparta, sirvió como soldado de infantería con gran valor en las batallas de Potidaea en el 432-430 a. C., Delos en el 424 a. C., y Anfípolis en el 422 a. C.

Sócrates creía en la superioridad de la discusión sobre la escritura y por lo tanto pasó la mayor parte de su vida de adulto en los mercados y plazas públicas de Atenas, iniciando diálogos y discusiones con todo aquel que quisiera escucharle, y a quienes solía responder mediante preguntas. Un método denominado mayeútica, o arte de alumbrar los espíritus, es decir, lograr que el interlocutor descubra sus propias verdades.

No escribió ningún libro ni tampoco fundó una escuela regular de filosofía. Todo lo que se sabe con certeza sobre su personalidad y su forma de pensar se extrae de los trabajos de dos de sus discípulos más notables: Platón, que atribuyó sus propias ideas a su maestro Jenofonte, un escritor prosaico que quizá no consiguió comprender muchas de las doctrinas de Sócrates. Platón describió a Sócrates escondiéndose detrás de una irónica profesión de ignorancia, conocida como ironía socrática, y poseyendo una agudeza mental y un ingenio que le permitían entrar en las discusiones con gran facilidad.

MATEMATICA DEL ORDEN

Qué significa "medir" la conducta humana? Simplemente ordenar los resultados o efectos de la misma. Lo único que debemos tener presente es que la ordenación de los objetos sociales es distinta a la ordenación de los objetos físicos, porque unos y otros tipos de objetos son distintos, y las propiedades cuantitativas en las que se basan las relaciones ordinales son distintas. No tiene sentido medir la longitud de una acción social, pero sí su intensidad, por ejemplo. Los problemas en Ciencias Sociales radican en los Instrumentos de Medida, no en las ordenaciones; y esos problemas pueden resolverse convirtiendo las ordenaciones en funciones matemáticas y usandolas como si de un instrumento se tratara. Veamos un ejemplo, la "medición" de la Interacción Social.

La Historia de la Interacción Social, es decir, la dinámica temporal, los cambios y transformaciones que experimenta a través del tiempo, no pueden observarse en ningún registro arqueológico y/o histórico. Aquello que llamamos Patrimonio, sin embargo, muestra algunas de las consecuencias materiales de esas relaciones, en especial, el intercambio de objetos que tiene lugar en ciertas modalidades de interacción. Nuestro objetivo será, pues, "medir" un conjunto de objetos encontrado en un contexto específico con la finalidad de poner de manifiesto alguna de las formas de intercambio que esa sociedad puso en práctica.

La primera "medida" necesaria es cualitativa. Debemos distinguir los bienes de intercambio (aquellos que circularon entre dos o más transactores con ocasión de una interacción) de aquellos objetos que no fueron intercambiados. Partiremos de una definición de bien de intercambio en tanto que objeto producido total o parcialmente (p.e., su materia prima) fuera del grupo social que lo va a usar. La manera más obvia de empezar el análisis, es por medio del examen del intercambio de subsistencias y de materias primas, comparando la distribución espacial de ecofactos (granos, muestras antracológicas, huesos animales, espinas de pescado) con la información paleoclimática y edafológica. La constatación de consumo de especies no autóctonas, o "imposibles" en un ecosistema dado demostraría la existencia de una circulación de esos productos.

Formas de inteacción hay muchas, pero prácticamente todas están relacionadas con el grado de División Social del Trabajo en una comunidad. Cuanto más complejos y diversificados los procesos de trabajo, todos los bienes poducidos por una comunidad serán bienes de intercambio, ya que circulan entre productores con distinta especialidad, así como entre productores y no productores. La primera modalidad de interacción que debemos estudiar es, pues, la derivada de la misma División Social del Trabajo, ya sea en la poducción de subsistencias, en la de instrumentos de producción o en la de bienes de prestigio. Para analizar esta forma de interacción interna al grupo local evaluaremos la relación entre la presencia de determinados materiales y la existencia en el lugar de la deposición de los medios de producción necesarios para su fabricación. Así, por ejemplo, si encontramos objetos metálicos en diversas unidades de residencia y un sólo taller metalúrgico en el poblado, concluiremos la existencia de intercambio entre el productor de esos objetos y los usuarios-no productores del mismo. Buscamos, en realidad la relación entre los procesos productivos y la estructura de las unidades domésticas de producción. La variabilidad en la contextualización de los procesos productivos en los distintos grupos domésticos, nos proporcionará información acerca de las diferencias sociales y económicas que pudiera haber entre ellos.

La medición de los bienes de intercambio podría continuar ordenandolos según los procesos de trabajo responsables de su manufactura. Ello será posible analizando:

  • los procesos de trabajo responsables de la producción de esos artefactos

  • el modo en que esos artefactos son utilizados

  • la relación explícita que existe entre producción y consumo, es decir, el modo en que los artefactos salen de la unidad de producción y llegan a la unidad de consumo.

MATEMÁTICA DEL EQUILIBRIO.

Hasta ahora, hemos considerado sólo relaciones entre tensiones en condiciones de tensión uniforme o tensiones en un punto determinado. En general, las tensiones en un cuerpo varían en cada punto y esa variación debe satisfacer las condiciones de equilibrio de la Estática. Las expresiones resultantes relacionan las derivadas espaciales de los distintos componentes de las tensiones y se denominan Ecuaciones Diferenciales de Equilibrio.

Si la tensión normal en un punto es, por ejemplo, Matemáticas
, a una distancia positiva Matemáticas
en el sentido del eje X, valdrá Matemáticas
en la que la derivada parcial representa el cambio infinitesimal o tendencia al cambio de la tensión respecto a la dirección --ver figura La tensión considerada, normalmente, será también función de los valores de Matemáticas
y de Matemáticas
En cualquier caso, suponemos que las componentes de las tensiones y sus derivadas primeras son funciones continuas.

y, análogamente, la tensión en C y en D será:

ya que ``x'' es constante entre B y D. Si utilizamos la ec. y la aplicamos a la última de las igualdades, obtenemos:

Matemáticas

en donde hemos quitado el término de segundo orden --producto de Matemáticas
por Matemáticas
-- por ser despreciable en un orden de magnitud. Teniendo en cuenta este punto, vemos que la tensión en una superficie del elemento infinitesimal varía linealmente.

La fuerza en la sección media de la cara izquierda del elemento, será por tanto la semisuma de las tensiones en A y en C multiplicadas por la superficie de la cara considerada quedando:

Matemáticas

y simplificando, obtenemos:

Matemáticas

De la misma manera calculamos los esfuerzos en la cara de la derecha, obteniendo:

Matemáticas

o lo que es lo mismo:

Matemáticas

Por tanto la fuerza resultante sobre el elemento será:

Matemáticas

Si hubiéramos supuesto que la distribución de tensiones es uniforme en la cara considerada e igual a la tensión media obtenida, habríamos obtenido el mismo resultado, y también sería igual el momento creado por ambos sistemas. Por tanto, en lo que sigue, vamos a asumir esa suposición que sin quitar generalidad al estudio, lo hace más sencillo. Representaremos la tensión uniforme en cada cara por un vector aplicado en el centro de la cara.

Lo anterior está reflejado en la figura que nos servirá de base para el estudio que sigue. Supondremos que los valores de las tensiones no nulas y las fuerzas exteriores son independientes de Z. A un estado de tensiones como el que acabamos de definir se le denomina un estado de tensión plana. Si establecemos el equilibrio de fuerzas en el sentido del eje X, considerando un valor unitario de Z, tendremos:

que una vez simplificada se convierte en:

Matemáticas

Como el producto ``Matemáticas
'' no es cero, debe serlo la expresión entre corchetes, por lo que, finalmente, obtenemos:

Matemáticas

Si hacemos el mismo razonamiento para la dirección del eje Y:

Matemáticas

Estas ecuaciones de equilibrio se pueden generalizar considerando el equivalente en tres dimensiones al esquema de la figura con el siguiente resultado:

En consecuencia, para un cuerpo en equilibrio las tensiones varían de punto a punto según las ecuaciones anteriores

Podemos aplicar una tercera condición de equilibrio a las tensiones de la figura Nos referimos a aquélla que se expresa como . Si tomamos momentos respecto a la esquina inferior izquierda de dicha figura, tendremos:

Matemáticas

Despreciando los términos que contengan triples productos de Matemáticas
y Matemáticas
, la ecuación anterior se convierte en: Matemáticas
.

Considerando el caso tridimensional y tomando momentos respecto a cada uno de los ejes veríamos que:

por lo que podemos decir que sólo seis de las nueve componentes de la tensión en un punto, son independientes.

LA CONTAMINACION DEL RUIDO

Es la forma de contaminación más frecuente y subestimada. Es provocada por la exposición a ruidos.

El ruido es un sonido que a determinada intensidad y tiempo de exposición produce daños (en algunos casos irreparables) en nuestra capacidad de audición, además de otras reacciones psicológicas y fisiológicas en nuestro organismo.

Así como la temperatura la medimos en grados centígrados, y la distancia en metros, la intensidad del ruido se mide en decibeles (dB). Una conversación normal se desarrolla por debajo de los 60 dB.

PRINCIPALES CAUSAS DE CONTAMINACION POR RUIDO

Ruido provocado por el tránsito vehicular, aéreo y ferroviario.

Ruido de motores y maquinaria (al interiori de las industrias).

Construcciones arquitectónicas y reparaciones de carreteras (taladros, neumáticos, grúas, mezcladoras, etc.).

Música estrepitosa (discotecas, fiestas, vendedores ambulantes, etc.)

Aparatos domésticos.

Explosiones (minería, petróleo, construcción civil, etc.).

¿COMO AFECTA A NUESTRA SALUD LA CONTAMINACION DEL RUIDO?

Irritación

Cansancio físico

Dolores de cabeza

Tensión muscular

Mareos y naúseas

Sordera temporal o permanente.

BIBLIOGRAFIA

Esta son las fuentes utilizada para el complemento de este trabajo espero que se de mucho interés.

COCLUSION

Los temas que han sido expuesto en este trabajo nos dejan una gran enseñanza. También podemos descubrir como gracias a las matemáticas nuestra civilización a dado un gran giro para bien de la humanidad.

Las matemáticas que es una ciencia que rige a diario con las persona por que estamos rodeado de ella a cada instante de la misma vida. Espero que dicho trabajo le deje una gran enseñanza o refresque su conocimientos.

Gracias.

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