CÓNICAS

1º Introducción

Cónicas: Son líneas que se determinan al cortar un cono con planos de distinta inclinación. Las cónicas son: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola; es importante tener en cuenta que son líneas y no superficies.

El griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C) fue el primero en estudiar las secciones cónicas. Llegó a ellas tratando de resolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo.

Arquímides (287-212 A.C.) logró calcular el área de un elipse y de un sector de la parábola con un método precursor del cálculo integral, que se desarrolló hasta el s. XVII d. C.

Apolonio de Praga (262 - 190 A.C.) representa la culminación de la geometría griega. Fue el primero en demostrar que son secciones de un cono circular, recto u oblicuo y las estudió como curvas planas. Los nombres de elipse, parábola e hipérbola se deben a él.

2º Lugares Geométricos

Es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente:

• Integrante : todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.

• Excluyente : todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.

Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

2.1. Mediatriz

Recta perpendicular al punto medio de un segmento. Mediatrices de un triángulo son las m. de cada uno de sus lados. Las tres m. concurren en un punto llamado circuncentro del triángulo. También se puede definir la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

2.2 Bisectriz

De un ángulo, es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. También se puede definir la bisectriz de un ángulo como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de los lados del ángulo.

3º Circunferencia

Lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.. La distancia constante que separa cualquier punto de la circunferencia del centro es radio R.

Ecuación de la circunferencia:

Si C(a,b) es el centro de la circunferencia y P(x,y), un punto cuanquiera de la misma, la definición nos dice:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Esta es la ecuación de la circunferencia, o sea la condicion que deben cumplir las coordenadas (x,y) de cualquier punto que este en la circunferencia de centro (a,b) y radio r.

Desarrollando la ecuación anterior podemos escribir de otra manera la ecuación de la circunferencia.

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Ecuación reducida, es la que corresponde a una cónica cuyo centro es el origen de coordenadas. En el caso de la circunferencia la ecuación reducida es : x2 + y2 = R2

4º Circunferencia que pasa por 3 puntos

Si consideramos dos puntos A y B resulta que hay infinitas circunferencias que pasan por ellos, basta considerar la mediatriz del segmento que los une y observar que las circunferencias con centro en esa mediatriz y que pasen por uno de los puntos también pasarán por el otro.

Cuando disponemos de tres puntos P, Q y R que no estén alineados, la mediatriz de PQ y la Mediatriz de QR se cortarán en un punto, ese punto es el centro de la circunferencia que pasa por P, Q y R puesto que los tres equidistan de él. Dicho con otras palabras, consiste en hallar la circunferencia circunscrita a un triángulo. El centro de dicha circunferencia se obtiene fácilmente, como intersección de las mediatrices de dos de los lados de ese triángulo. En el caso de que los tres puntos dados estén alineados el problema carece de solución

5º Posición relativa de una recta y una circunferencia

Una recta r: ax + by + c = 0 puede ser secante, tangente o exterior a una circunferencia c: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 según las soluciones del sistema:

- Si el sistema tiene dos soluciones, la recta será secante y estas soluciones serán los puntos de corte.

- Si el sistema tiene una solución, la recta será tangente, siendo la solución el punto de tangencia

- Si el sistema no tiene solución, la recta será exterior.

6º Posición relativa de 2 circunferencias

Dos circunferencias pueden presentar las siguientes posiciones relativas:

-Exteriores: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.

-Secantes: si tienen dos puntos en común, siendo la distancia entre sus centros menor que la suma de sus radios.

-Tangentes exteriores: tienen un punto en común y la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

-Tangentes interiores: son circunferencias que tienen un punto en común y la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.

-Interiores: son circunferencias que no tienen puntos comunes y la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.

-Concéntricas: son circunferencias interiores que tienen el mismo centro.

7º Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario.

Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.

La ecuación de un elipse es x2/a2 + y2/b2 = 0

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :

8º Hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.

El punto donde se cortan ambos ejes se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la

hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola.

Ecuación de la hipérbola :

x2 / a2 - y2 / b2 = 1

9º Excentricidad de una cónica

La excentricidad de una cónica, representado por e, es el cociente entre la distancia focal y la longitud del eje principal. Como la distancia focal es 2c y la longitud del eje principal 2a, la excentricidad es e = c/a

El valor de la excentricidad determina el tipo de cónica:

Si e < 1 es una elipse (circunferencia e = 0).

Si e = 1 es una parábola.

Si e > 1 es una hipérbola.

10º Posición relativa de 1 recta y 1 cónica

Las posiciones relativas entre una recta y una cónica pueden ser las mismas que dadas para una circunferencia. Para saber donde en que sitio nos situamos, resolveremos el sistema formado por la ecuación de la cónica y la ecuación de la recta dadas.

Las posiciones relativas posibles de una recta respecto a una cónica son tres:

Secantes, tiene dos soluciones.

Tangentes, tiene una solución.

Exteriores, carece de solución.

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Bibliografía

• Matemáticas, Alambra, 3º BUP.

• Enciclopedia de los conocimientos, Océano.

• Gran diccionario enciclopédico visual, Océano.

• Enciclopedia Encarta 2002.

• Internet.