Integrales: la integral definida

Análisis. Función escalonada, escalón. Riemann. Teorema fundamental del Cálculo. Área, áreas. Volúmenes de sólidos

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INTRO. LA INTEGRAL DEFINIDA

En los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas de una función, descubriendo distintos procedimientos para el cálculo de primitivas, es decir, se han encontrado las integrales indefinidas de funciones sencillas. Sin embargo no quedan claros ni su significado ni su utilidad. Éstos son los objetivos de este tema, para lo cual se dará la interpretación que Riemann, matemático alemán, dio a conocer en el siglo XIX.

El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc., además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número que coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la figura. Se puede cuestionar entonces si cualquier figura tiene área y cómo se calcula.

Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función muy sencilla, por ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejes cartesianos y tratar de calcular el área de la superficie limitada por la función, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la abscisa x = 1.

Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la unidad, por tanto su área es 1/2.

Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos menos sencillos.

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Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual longitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos como se observa en la figura, la suma de las áreas de los rectángulos rayados es menor que el área del triángulo; mientras que la suma de las áreas de los rectángulos punteados, exceden al área del triángulo.

Calculando estas áreas se obtiene:

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Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por exceso, 0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.

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Name=2; HotwordStyle=BookDefault; Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo [0, 1], parece lógico que las diferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie que se «desperdicia» es menor, si n > 4.

Área por defecto:

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Área por exceso:

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Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:

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Además,

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Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando.

Partición de un intervalo [a, b]

Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y cuya unión es [a,b]. La partición de un intervalo queda determinada por los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la partición se suele expresar nombrando dichos extremos. En la figura, la partición de

[a, b] es:

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Name=3; HotwordStyle=BookDefault; Estos extremos se suelen escribir en orden creciente,

a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 = b

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Name=4; HotwordStyle=BookDefault; ð Ejemplo de partición

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Función escalonada

Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en

R, f:[a,b] ð→ R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición.

ð Ejemplos de funciones escalonadas

1. La función f: [-3, 4] ð→ R definida por:

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La partición asociada a f(x) es P = {-3, 2, 4} y en cada intervalo la función es constante.

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Name=5; HotwordStyle=BookDefault; Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad de particiones asociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra partición asociada a f, ya que la función toma valores constantes en cada intervalo de la partición.

2. El ejemplo más representativo de función escalonada es la función parte Integrales: la integral definida

La imagen de un número cualquiera mediante E[x] es el mayor número entero que es menor o igual que el número del que se parte.

Así,

E [3,105] = 3

E [5] = 5

E [-3,001] = -4

E [-1,5401] = -2

E [7,32] = 7

E [-1,52] = -2

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Name=6; HotwordStyle=BookDefault; De una función escalonada sólo van a interesar los valores que toma en el interior de cada intervalo que compone la partición, no considerando el valor que toma en los extremos.

INTEG. DEF. DE FUNC. ESCALONADA

Sea f una función escalonada definida en [a, b], y P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b} una partición de [a, b]. Si mi es el valor que toma la función f en el intervalo (xi-1, xi) (es decir, si x ð (xi-1, xi), f(x) = mi ), se llama integral de la función f en [a, b] al número

m1(x1 - x0) + m2(x2 - x1) + m3(x3 - x2) + ... + mn(xn - xn-1)

Este número se simboliza por:

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A los números a y b se les llama límites de integración, y la anterior expresión se lee «integral, entre a y b, de f(x) diferencial de x».

Propiedades de la integral definida de una función escalonada

ð La integral definida de una función escalonada no depende de la partición elegida.

Esto significa que si se consideran dos particiones P y P' de una función Integrales: la integral definida

ð Si los límites de integración, en una integral definida de una función escalonada, coinciden, entonces

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ð Si en una integral definida se intercambian los límites de integración, el valor de la integral cambia de signo:

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Ejercicio: cálculo de integrales definidas de funciones escalonadas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales: la integral definida

Integrales: la integral definida

Resolución:

ð Se toma la partición asociada P = {-3, -1, 2, 4}

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Resolución:

ð Se toma, por ejemplo, la partición P = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}

ð Por definición,

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ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

INTEGRAL DE RIEMANN

Integrales: la integral definida
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Ahora se va a definir la integral de una función cualquiera definida en un intervalo

[a, b] con la única condición de que esté acotada, es decir, que exista un número M > 0, de forma que la función, en el intervalo [a, b], siempre tome valores entre -M y M.

Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesario recordar que para el cálculo del área de un triángulo se tomaron funciones escalonadas g(x) cumpliendo g(x) ð f(x) para cualquier x ð [a, b] y otras funciones escalonadas h(x) tales que f(x) ð h(x) si x ð [a, b]. De todo ello resultaba que:

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Integrales: la integral definida
Name=2; HotwordStyle=BookDefault; En general, para una función f(x) acotada, se toman todas las funciones escalonadas g(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas por exceso, es decir, g(x) ð f(x) ð h(x) cuando x ð [a, b]. En estas condiciones, si existe un único número I que cumpla

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para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x) ð f(x) ð h(x) si

x ð [a, b], al número I se le llama integral de f(x) entre a y b.

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y se lee «integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x.

Significado de la integral definida de una función

ð Si una función positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable (existe su Integrales: la integral definida
por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

ð Si la función y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la gráfica de la función quedaría por debajo del eje de abscisas.

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Name=3; HotwordStyle=BookDefault; En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto, sus integrales correspondientes serían negativas, y puesto que

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el área de la región que determina una función negativa es:

Integrales: la integral definida

Este hecho no debería llamar la atención si se tiene presente cómo está definida la integral de una función escalonada: la suma de las áreas de los rectángulos que determina con el eje de abscisas, si la función escalonada es positiva y la suma de las áreas de los rectángulos que determina con el eje de abscisas con signo menos, si la función escalonada es negativa.

ð Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y parte por debajo del eje de abscisas, la integral se descompondrá en varios sumandos cuando se quiera calcular el área de la región que delimita con el eje de abscisas en el intervalo [a, b].

En la figura adjunta, se ve claramente que:

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Name=4; HotwordStyle=BookDefault;

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La definición de integral de Riemann poco ayuda a su cálculo, pues es imposible encontrar todas las funciones escalonadas por defecto y por exceso de otra función dada. Hay, no obstante, criterios que son mucho más útiles de cara a decidir si una función acotada es integrable o no. Uno de ellos se obtiene con el siguiente teorema, cuya demostración se omite por escapar de los objetivos de este libro.

Teorema

Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.

Si y = f(x) es una función continua definida en un intervalo [a, b], entonces f(x) es Integrales: la integral definida

Con este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones como sen x, cos x, de cualquier función polinómica y, en general, de cualquier función continua.

Aún así, todavía no hay nada que permita calcular de una manera rápida la integral de una función f(x) definida en un intervalo [a, b].

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea una función y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene sentido y existe Integrales: la integral definida

A partir de f(x) se define una nueva función G de la siguiente forma:

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Obsérvese que se ha llamado t a la variable de la función G para no confundirla con la variable x de la función f.

En estas condiciones, si t0 ð [a, b] es un punto en el que la función f es continua, la función G es derivable en t0 y el valor de la derivada en t0 es G'(t0) = f(t0). Es decir, la derivada de la función G en un punto coincide con el valor de f en ese mismo punto, o lo que es lo mismo, si la función f es continua, la función G es una primitiva de la función f.

El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un método que permita resolver las integrales definidas de un modo sencillo. Basta, para ello, con utilizar la importante consecuencia que de él se deriva y que se conoce como Regla de Barrow.

Regla de Barrow

Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una función definida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier x ð (a, b), entonces

Integrales: la integral definida

Este resultado es conocido, frecuentemente, por «segunda parte del teorema fundamental del cálculo». Es obligado hacer notar que, para resolver una integral definida de una función continua, basta con encontrar una primitiva de la función, sustituir en ella los límites de integración superior e inferior respectivamente y restar ambos valores.

Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo de integrales definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una función.

Conviene observar también que como F(b) - F(a) es un número, es decir, no depende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una primitiva de f(t), f(u) es una primitiva de f(u), etc., todas las expresiones siguientes tienen el mismo significado:

Integrales: la integral definida

Ejercicio: cálculo de áreas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Calcular el área encerrada por la curva y = x2, el eje de abscisas y las rectas

x = 1 y x = 2.

Resolución:

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Name=1; HotwordStyle=BookDefault;

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ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Dos propiedades fundamentales de la integral definida

Las dos propiedades fundamentales del cálculo de primitivas siguen siendo válidas en el cálculo de integrales definidas:

1. Si K es un número real cualquiera,

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al cortarse

Integrales: la integral definida
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ≥ g(x), entonces

Integrales: la integral definida

representa el área de la superficie que encierran las dos curvas.

En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas de las cuatro regiones que dos curvas f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en cuenta que C es el área de una zona situada por debajo del eje X:

Integrales: la integral definida

Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos:

ð Se trazan las curvas.

ð Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas.

ð Se determina la zona de la que hay que calcular el área.

ð Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los límites de integración apropiados.Así, por ejemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos curvas es B + C.

Para calcular su área se procede así:

Integrales: la integral definida

Para obtener el área de la zona B + C hay que restar las áreas de A y D y sumar el área de C.

Integrales: la integral definida

(En C se pone el signo - delante porque al estar g(x) entre c y d por debajo del eje X su integral sería negativa.) Por tanto:

Integrales: la integral definida

Ejercicio: cálculo de áreas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Hallar el área de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x - x2 y g(x) = x.

Resolución:

Integrales: la integral definida

Name=2; HotwordStyle=BookDefault;

1. Trazado de las curvas:

Integrales: la integral definida

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2. Puntos de corte de las dos curvas:

Integrales: la integral definida

3. La zona de la que hay que calcular el área es la zona coloreada. Si se llama A al área de la parábola entre x = 0 y x = 3 B al área del triángulo que determinan la recta

y = x, el eje de abscisas y la recta x = 3 y S el área que se quiere calcular, es evidente que

S = A - B

Integrales: la integral definida

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El área también se podría haber calculado así:

Integrales: la integral definida

ð Calcular el área de la superficie que encierran las curvas f(x) = 6x - x2 y

g(x) = x2 - 2x.

Resolución:

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Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

1. Trazado de las curvas:

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Integrales: la integral definida

ð Máximos y mínimos de f(x):

Integrales: la integral definida

ð Máximos de mínimos de g(x):

Integrales: la integral definida

2. Puntos de corte de f(x) y g(x):

Integrales: la integral definida

Puntos (0, 0) y (4,8)

3. Se ha de calcular el área de la zona rayada.

Puesto que en el intervalo (0, 4) f(x) > g(x), el área pedida es:

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ð Calcular el área del círculo de radio r .

Resolución:

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Name=4; HotwordStyle=BookDefault;

ð Para simplificar se supondrá la ecuación de la circunferencia de centro (0, 0) y radio r:

Integrales: la integral definida

ð Para más comodidad, y sin que ello afecte a la solución del problema, se calculará el área del cuarto de círculo situado en el primer cuadrante. El área total será cuatro veces el área anterior. Por otro lado, la ecuación del cuarto de circumferencia en el primer cuadrante es y =Integrales: la integral definida
pues la ordenanza es positiva en el primer cuadrante. De todo lo dicho se deduce que el área del círculo es:

Integrales: la integral definida

ð Para resolver esta integral se hace el cambio de variable

x = r sen t dx = r · cos t

Los nuevos límites de integración se obtienen como sigue:

Integrales: la integral definida

Integrales: la integral definida

Integrales: la integral definida

Integrales: la integral definida

Integrales: la integral definida

Integrales: la integral definida

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Volúmenes de sólidos

Integrales: la integral definida
Name=5; HotwordStyle=BookDefault; ð Sea un sólido cualquiera en el espacio de volumen V, e imagínese una recta L con un punto de referencia O que corte longitudinalmente al sólido. Se supone, por último, que el sólido está completamente contenido entre dos puntos de la recta que distan, respectivamente, a y b unidades de longitud del punto O.

ð Elegido un punto cualquiera x del intervalo [a, b], se hace pasar un plano perpendicular a la recta L por el punto x. Se llamará V(x) al volumen de la parte del sólido comprendido entre a y x; y A(x) al área de la sección que produce el plano en el sólido. En estas condiciones, es claro que V(a) = 0 y V(b) = V.

ð Tomado otro punto de L, x + h, muy próximo a x, V(x + h) - V(x) es el volumen de un cilindro de base A(x) y altura h, y por consiguiente su volumen es A(x) · h.

Se debe observar, de una manera intuitiva, que la función A(x) es continua, puesto que al tomar h infinitamente pequeño, x + h está infinitamente próximo a x y, por consiguiente, A(x + h) es prácticamente igual a A(x). Es por esto por lo que en el «cilindro» de bases A(x) y A(x + h) se consideró que ambas eran iguales.

Es decir, V(x + h) - V(x) = A(x) · h

Dividiendo entre h,

Integrales: la integral definida

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Integrales: la integral definida

En definitiva, V'(x) = A(x) y puesto que V(b) = V y V(a) = 0, V = V(b) - V(a), y por el teorema fundamental del cálculo,

Integrales: la integral definida

Esta fórmula permite calcular el volumen de cualquier sólido siempre que se pueda determinar, en cada punto, el área de la sección que produce un plano perpendicular que pasa por ese punto. El plano es perpendicular a una recta elegida que atraviese el sólido.

Ejercicio: cálculo de volúmenes

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Calcular el volumen de un cilindro de radio r y altura h.

Resolución:

Integrales: la integral definida

Name=6; HotwordStyle=BookDefault;

ð Si el radio de la base es r y la altura h, se elige como recta L la que coincide con el eje del cilindro, y como punto de referencia O el centro de una de las bases.

ð Al cortar el cilindro por un plano perpendicular a la recta L por cualquier punto x, el área de la sección producida es un círculo de radio r . Por tanto, A(x) = ðr 2.

Integrales: la integral definida

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Volúmenes de cuerpos de revolución

Integrales: la integral definida
Name=7; HotwordStyle=BookDefault; Dada una función continua y = f(x), positiva, definida en un intervalo [a, b], al hacer girar la gráfica de la función alrededor del eje de abscisas, genera un cuerpo en el espacio llamado de revolución.

Al cortar por un plano perpendicular al eje de abscisas por un punto x, la sección que aparece es un círculo de radio f(x), por lo que su área es:

Integrales: la integral definida

Según lo estudiado en el apartado anterior, el volumen del cuerpo es:

Integrales: la integral definida

Ejercicio: cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Calcular el volumen de una esfera de radio r.

Resolución:

Integrales: la integral definida

Name=8; HotwordStyle=BookDefault;

ð Al hacer girar un cuarto de circunferencia, de centro el origen de cordenadas y radio r, alrededor del eje de abscisas, se genera una semiesfera. El volumen de la esfera será el doble del volumen de la semiesfera.

ð La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 = r2. Despejando y2:

y2 = r2 - x2, [f(x)]2 = y2 = r2 - x2

ð El volumen de la esfera es entonces:

Integrales: la integral definida

ð Calcular el volumen de un cono recto de altura h y radio de la base r.

Resolución:

Integrales: la integral definida

Name=9; HotwordStyle=BookDefault;

ð Si en un sistema de ejes cartesianos se dibuja un triángulo de vértices (0, 0),

(h, 0) y (h, r ), al hacer girar sobre el eje OX la recta determinada por (0, 0) y (h, r ), se genera un cono de altura h y radio de la base r .

ð La ecuación de la recta que pasa por (0, 0) y (h, r ) es

Integrales: la integral definida

Integrales: la integral definida

ð El volumen del cono es entonces:

Integrales: la integral definida

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