Integrales múltiples

Matemáticas. Dobles sobre rectángulos, regiones acotadas no rectangulares. Triples en coordenadas cilíndricas, esféricas. Propiedades. Volúmenes. Teoría de Fubini. Aditividad

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INTEGRALES MULTIPLES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS.

Suponga que f(x, y) está definida sobre una región rectangular R dada por

R: a<x<b, c<y<d.

Imaginamos R cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x y y. Esas rectas dividen R en pequeños elementos de área "A1, "A2…, "An, escogemos un punto (xk, yp) en cada elemento "Ak y formamos la suma

'Integrales múltiples'
'Integrales múltiples'

Si f es continua en toda la legión R, entonces al refinar el ancho de la red para hacer tender "x, "y a cero, las sumas en (1) tienden a un límite llamado integral doble de f sobre R. Su notación es

'Integrales múltiples'

Entonces,

'Integrales múltiples'

Igual que en las funciones de una sola variable, las sumas tiende a este límite independientemente de cómo se subdividan los intervalos [a, b] y [c, d] que determinan R, siempre que las normas de las subdivisiones tiendan ambas a cero. El límite (2) también es independiente del orden en que se numeren las áreas "Ak e independiente de la selección del punto (xk, yk) dentro de cada "Ak. Los valores de las sumas aproximadas individuales Sn depende de esas selecciones, pero al final las sumas tienden al mismo límite. La prueba de la existencia y unicidad de este límite para una función continua f se da en textos más avanzados.

La continuidad de f es una condición suficiente para la existencia de la integral doble, pero no es una condición suficiente para la existencia de la integral doble, pero no es una condición necesaria. El límite en consideración también existe para muchas funciones discontinuas.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES.

Las integrales dobles de funciones continuas tienen propiedades algebraicas que son útiles en los cálculos y en las aplicaciones.

1. 'Integrales múltiples'

2. 'Integrales múltiples'

3. 'Integrales múltiples'

4. 'Integrales múltiples'

5. 'Integrales múltiples'

Esta propiedad es válida cuando R es la unión de dos rectángulos R1 y R2 que no se traslapan.

INTEGRALES DOBLES COMO VOLUMENES.

Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) "Ak en la suma Sn = 'Integrales múltiples'
"Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como

'Integrales múltiples'

TEOREMA DE FUBINI PARA CALCULAR INTEGRALES DOBLES.

Suponga que queremos calcular el volumen bajo el plano z=4-x-y sobre la región rectangular

'Integrales múltiples'
en el plano xy. Entonces el volumen es

'Integrales múltiples'

Donde A(x) es el área de la sección transversal en x. Para cada valor de x podemos calcular A(x) como la integral

'Integrales múltiples'

Que es el área bajo la curva z=4-x-y en el plano de la sección transversal en x. Al calcular A(x), x se mantiene fija y la integración se efectúa respecto a y. Al combinar (4) y (5), vemos que el volumen de todo es sólido es

'Integrales múltiples'

Si quisiéramos escribir sólo las instrucciones para calcular el volumen, sin llevar a cabo ninguno de las integraciones, podríamos escribir

'Integrales múltiples'

La llamada integral repetida o iterada, dice que el volumen se obtiene integrando 4-x-y respecto a y de y=0 a y=1, manteniendo fija a x y luego integrando la expresión resultante en x respecto a x=0 a x=2.

¿Qué pasa si calculamos el volumen formando rebanadas con planos perpendiculares al eje?

¿Cómo función de y, el área transversal típica es?

'Integrales múltiples'

Por tanto el volumen de todo el sólido es

'Integrales múltiples'

EJEMPLO. Calcule 'Integrales múltiples'

'Integrales múltiples'

Solución. Por el teorema de Fubini,

'Integrales múltiples'

Si invertimos el orden de integración se obtiene la misma respuesta:

'Integrales múltiples'

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES ACOTADAS NO RECTANGULARES.

Para definir la integral doble de una función f(x, y) sobre una región acotada no rectangular, imaginamos de nuevo R cubierta por una retícula rectangular, pero incluimos en la suma parcial sólo las pequeñas piezas de área "A = "x"y que se encuentran totalmente dentro de la región. Numeramos las piezas en algún orden, escogemos un punto arbitrario (xk, yk) en cada "Ak y formamos la suma

'Integrales múltiples'

La única diferencia entre esta suma y la de la ecuación (1) para regiones rectangulares es que ahora las áreas "Ak pueden dejar de cubrir toda R. Pero conforme la red se vuelve más fina y el número de términos en Sn aumenta, más de R queda incluida. Si f es continua y la frontera de R está hecha de las gráficas de un número finito de funciones continuas de xy/o de y, unidas extremo con extremo, entonces las sumas Sn tendrán un límite cuando las normas de las subdivisiones que definen la malla rectangular tiendan independientemente a cero. Llamamos al límite integral doble de f sobre R.

'Integrales múltiples'

Este límite también puede existir en circunstancias menos restrictivas.

Las integrales dobles de funciones continuas sobre regiones no rectangulares tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales sobre regiones rectangulares. La propiedad de aditividad de dominio correspondiente a la propiedad 5 dice que si R se descompone en regiones no traslapadas R1 y R2 con fronteras que están nuevamente hechas de un número finito de segmentos de rectas o curvas, entonces

'Integrales múltiples'
.

Si R es una región limitada “arriba” y “abajo” por las curvas y=g2(x) y y=g1(x) y lateralmente por las rectas x=a, x=b, nuevamente podemos calcular el volumen por el método de rebanadas. Primero determinamos el área de la sección transversal

'Integrales múltiples'

Y luego integramos A(x) de x=a a x=b para obtener el volumen como una integral iterada:

(8)

De manera similar, si R es una región, limitada por las curvas x=h2 (y) y x=h1 (y) y las rectas y=c y y=d, entonces el volumen calculado por el método de rebanadas está dado por la integral iterada

'Integrales múltiples'

EJEMPLO. Encuentre el volumen del prisma cuya base es el triángulo en el plano xy limitado por el eje x y las rectas y=x y x=1, y cuya parte superior se encuentra en el plano

z=f(x, y)=3-x-y.

Solución. Para cualquier x entre 0 y 1, y puede variar de y=0 a y=x. Por consiguiente.

'Integrales múltiples'

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS RECTANGULARES.

Usamos integrales triples para hallar los volúmenes de formas tridimensionales, la masa y los momentos de sólidos y los valores promedio de funciones de tres variables.

INTEGRALES TRIPLES.

Si F(x, y, z) es una función definida sobre una región D cerrada en el espacio, por ejemplo, la región ocupada por una bola sólida o una masa de arcilla, entonces la integral de F sobre D puede definirse de la siguiente manera. Subdividimos una región rectangular que contenga a D en celdas rectangulares por planos paralelos a los planos coordenados. Las celdas que se encuentran dentro de D de 1 a n en cierto orden; una celda típica tendrán entonces dimensiones "xk por "yk por "zk y volumen "x"xk. Escogemos un punto (xk, yk, zk) en cada celda y formamos la suma

'Integrales múltiples'

Si F es continua y la superficie que limita a D está hecha de superficies suaves unidas a lo largo de curvas continúas, entonces cuando "xk, "yk, "zk tienden a cero independientemente, las sumas Sn tenderán a un límite

'Integrales múltiples'

Llamamos a este límite integral triple de F sobre D. El límite también existe par algunas funciones discontinuas.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.

Las integrales triples tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales simples y dobles. Si F=F(x, y, z) y G=G(x, y, z) son continuas, entonces

1. 'Integrales múltiples'
'Integrales múltiples'

2. 'Integrales múltiples'

3. 'Integrales múltiples'

4. 'Integrales múltiples'

Si el dominio D de una función continua F se subdivide por medio de superficies suaves en números finito de celda sin traslapes D1, D2,…..Dn, entonces

5. 'Integrales múltiples'

EJEMPLO. Establezca los límites de integración para evaluar la integral triple de una función F(x, y, z) sobre un tetraedro D con vértices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y (0, 1, 0).

Solución.

Paso 1: La superficie superior que limita a D se encuentra en el plano y=1. La superficie inferior se encuentra en el plano y=x+z. La frontera superior de R es la recta z=1-x.

La frontera inferior es la recta z=0.

Paso 2: Los límites y de integración. La recta que pasa por un punto típico (x, y) en R paralela al eje y entra a D en y=x+z y sale en y=1.

Paso 3: Los límites z de integración. La recta L que pasa por (x, y) paralela al eje z entra a R en z=0 y sale en z=1-x.

Paso 4: Los límites x de integración. Conforme L barre a través de R, es el valor de x varía de x=0 a x=1. La integral es

'Integrales múltiples'

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS.

COORDENADAS CILINDRICAS.

Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a el.

r = 4 Cilindro, radio 4, eje el eje z

'Integrales múltiples'
='Integrales múltiples'
Plano que contiene al eje z

z= 2 Plano perpendicular al eje z

El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es 'Integrales múltiples'

Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son entonces evaluadas como integrales iteradas, como el siguiente ejemplo.

EJEMPLO. Encuentre los límites de integración en coordenadas cilíndricas para integrar una función F(r, 'Integrales múltiples'
, z) sobre la región D limitada abajo por el plano z=0, lateralmente por el cilindro circular 'Integrales múltiples'
y arriba por el paraboloide 'Integrales múltiples'

Solución

Paso 1: La base de D también es la proyección de la región R sobre el plano xy. La frontera de R es el círculo 'Integrales múltiples'
Su ecuación en coordenadas polares es

'Integrales múltiples'

Paso 2: Los límites z de integración. Una recta M, que pasa por un punto típico (r, 'Integrales múltiples'
) en R, paralela al eje z, entra a D en z=0 y sale en

Paso 3: Los límites r de integración. Un rayo L que pasa por (r, ) desde el origen, entra a R en r =0 y sale en

Paso 4: Los límites de integración. Al barrer L a través de R, el ángulo que forma con el eje x positivo varía de La integral es

COORDENADAS ESFERICAS.

Las coordenadas esféricas son apropiadas para describir con centro en el origen, medios planos articulados a lo largo de eje z y conos simples, cuyos vértices se encuentran en el origen, y con ejes a lo largo del eje z.

Las superficies como ésas tienen ecuaciones de valor coordenado constante:

'Integrales múltiples'
Esfera, radio 4, centro en el rigen.

'Integrales múltiples'
Se abre desde el origen y forma un ángulo de py3 radianes con el eje z positivo.

'Integrales múltiples'
Medio plano, articulado a lo largo del eje z, que forma un ángulo de 'Integrales múltiples'
radianes

con el eje x positivo.

El elemento de volumen en coordenadas esféricas es el volumen de una cuña esférica definida por los diferenciales 'Integrales múltiples'
La cuña es aproximadamente una caja rectangular con un arco circular de longitud 'Integrales múltiples'
en un lado y un arco circular de longitud 'Integrales múltiples'
y espesor de 'Integrales múltiples'
en otro lado. Por consiguiente, el elemento de volumen en coordenadas esféricas es

'Integrales múltiples'

Y las integrales triples adoptan la forma

'Integrales múltiples'

EJEMPLO. Encuentre el volumen de la región superior D cortada de la esfera sólida 'Integrales múltiples'
por el cono 'Integrales múltiples'

Solución El volumen es 'Integrales múltiples'
, que es la integral, de 'Integrales múltiples'

Paso 1: Hacemos un croquis de D y su proyección R sobre el plano xy.

Paso 2: Los límites 'Integrales múltiples'
de integración. Dibujamos un rayo M desde el origen que forme un ángulo 'Integrales múltiples'
con el eje z positivo. También dibujamos L, o sea la proyección de M sobre el plano xy, junto con el ángulo 'Integrales múltiples'
, que L forma con el eje x positivo. El rayo M entra a D en 'Integrales múltiples'
=0 y sale en 'Integrales múltiples'
=1.

Paso 3: Los limites 'Integrales múltiples'
de integración. El cono 'Integrales múltiples'
forma un ángulo de 'Integrales múltiples'
con el eje z positivo. Para cualquier 'Integrales múltiples'
, el ángulo 'Integrales múltiples'
varía entre 'Integrales múltiples'
=0 y 'Integrales múltiples'
='Integrales múltiples'
.

Paso 4: Los límites 'Integrales múltiples'
de integración. El rayo L barre sobre R cuando 'Integrales múltiples'
varía de 0 a 'Integrales múltiples'
.

El volumen es

'Integrales múltiples'

INTEGRALES DE LINEA.

Cuando una curva r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k, 'Integrales múltiples'
, pasa por el dominio de una función f(x, y, z) en el espacio, los valores de f a lo largo de la curva están dados por la función compuesta f(g(t), h(t), k(t)). Si integramos esta composición respecto a la longitud de arco de

t = a a t = b, calculamos la así llamada integral de línea de f a lo largo e la curva. A pesar de la geometría tridimensional, la integral de línea es una integral ordinaria de una función real sobre un intervalo de números reales.

Definición y notación.

Supongamos que f(x, y, z) es una función cuyo dominio contiene la curva r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k, 'Integrales múltiples'
. Subdividimos está última en un número finito de subarcos. El subarco típico tiene longitud "sk. En cada subarco escogemos un punto (xk, yk, zk) y formamos la suma

'Integrales múltiples'
(1)

Si f es continua y las funciones g, h y k tienen primeras derivadas continuas, entonces las sumas en (1) tienden a un límite cuando n cree y las longitudes "sk tienden a cero. Llamamos a este límite la integral de f sobre la curva de a a b. Si la curva se representa por una sola letra, C por ejemplo, la notación para la integral es

'Integrales múltiples'
(2)

Evaluación de curvas suaves.

Si r (t) es suave para 'Integrales múltiples'
(v=dr/dt es continua y nunca (0), podemos usar la ecuación

'Integrales múltiples'

Para expresar ds en la ecuación (2) como ds ='Integrales múltiples'
. Un teorema del cálculo avanzado dice que entonces podemos evaluar la integral de f sobre C como

'Integrales múltiples'

Esta fórmula evaluará correctamente la integral sin importar qué parametrización usemos (siempre y cuando sea suave).

Como evaluar una integral de línea.

Para integrar una función continua f(x, y, z) sobre una curva C:

1. Encuentre una parametrización suave C,

r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k, 'Integrales múltiples'

2. Evalúe la integral como

'Integrales múltiples'
(3)

Note que si f tiene el valor constante 1, entonces la integral de f sobre C da la longitud de C.

Ejemplo. Integre sobre el segmento de recta C que une el origen y el punto (1, 1, 1).

Solución. Escogemos la parametrización más simple que podemos imaginar:

r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k, 'Integrales múltiples'

Las componentes tienen primeras derivadas continuas y 'Integrales múltiples'
nunca es 0, por lo que la parametrización es suave. La integral de f sobre C es

'Integrales múltiples'

Aditividad.

Las integrales de línea tienen la útil propiedad de que si una curva C se forma por la unión de un número finito de curvas C1, C2,…., Cn extremo con extremo, entonces la integral de una función sobre C es la suma de las integrales sobre las curvas que la forman:

'Integrales múltiples'
(4)

Ejemplo. Una trayectoria del origen a (1, 1, 1) que es la unión de los segmentos de las rectas C1 y C2. Integres 'Integrales múltiples'
sobre C1 y C2.

Solución. Escogemos la parametrización más simple que podemos imaginar para C1 y C2, y revisamos las longitudes de los vectores velocidad:

C1: r (t) = ti +tj, 'Integrales múltiples'
; 'Integrales múltiples'

C2: r (t) = i+ j+ tk, 'Integrales múltiples'
; 'Integrales múltiples'

Con esa parametrización encontramos que

'Integrales múltiples'

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