Integrales indefinidas

Análisis. Integral indefinida. Primitiva. Inmediatas. Métodos integración: descomposición, cambio variable

  • Enviado por: El remitente no desea revelar su nombre
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 25 páginas
publicidad
cursos destacados
Geometría Analítica
Geometría Analítica
En el curso de Geometría Analítica aprenderás los fundamentos de esta rama de las...
Ver más información

Solución a las Pruebas PISA 2012
Solución a las Pruebas PISA 2012
El  motivo de la creación de este curso, que en realidad es más una serie de problemas resueltos, se...
Ver más información

publicidad

INTRO. LA INTEGRAL INDEFINIDA

Se inicia en este tema el estudio de la integral, concepto fundamental de lo que se conoce como cálculo infinitesimal, que alcanzó su auge y desarrollo durante el siglo XVII .

Aunque la utilidad del cálculo integral es alta y variada, ésta no se presentará con toda su fuerza hasta tomar contacto con la integral definida. El objetivo de este tema y del siguiente es mostrar las técnicas más comunes para el cálculo de integrales más o menos sencillas; una vez conocidas estas técnicas, llegará el momento de explotar su uso en el cálculo de áreas y volúmenes.

Integrales indefinidas
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios del cálculo infinitesimal, el inglés Newton (1642-1727) y el alemán Leibniz (1646-1716), si bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Kepler, Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213 a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al cálculo integral.

Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos.

Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo.

Leibniz es, además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y : para denotar un cociente, entre otras muchas más aportaciones.

FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].

Así:

La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

PROP. DE LAS PRIM. DE UNA FUNC.

Primera propiedad

Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función

F(x) + C es otra primitiva de f(x).

Demostración:

Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.

(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)

Ejercicio: primitivas de una función

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Encontrar tres primitivas de la función cos x.

Resolución:

ð Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.

ð Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,

Integrales indefinidas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Segunda propiedad

Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.

Demostración:

Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar

a C.

Tercera propiedad

Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.

Demostración:

Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x) = C.

Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F'(x) = f(x);

si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x).

Restando miembro a miembro, F'(x) - G'(x) = (F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) - G(x) = C.

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza

Integrales indefinidas

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».

Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

Integrales indefinidas

donde C representa una constante llamada constante de integración.

Ejercicio: cálculo de primitivas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Resolución:

ð Puesto que una primitiva de cos x es sen x,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

Por consiguiente,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

INTEGRALES INMEDIATAS

De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Resolución:

ð Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m = 4.

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

ð Por la propiedad del producto de potencias de la misma base,

Integrales indefinidas

Por tanto,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

ð Es una integral inmediata perteneciente al cuarto caso en el que a = 3.

Integrales indefinidas

ð Comprobar la veracidad del vigésimo caso de integral inmediata.

Resolución:

ð Hay que probar la certeza de la igualdad

Integrales indefinidas

Basta demostrar que la derivada de la función

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas
cociente,

Integrales indefinidas

Así,

Integrales indefinidas

Se concluye que

Integrales indefinidas

Por consiguiente,

Integrales indefinidas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( I )

Integración por descomposición

Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:

ð Primera propiedad de las integrales

La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.

Esto es,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Demostración:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x) + g(x) y F(x) - G(x) es una primitiva de

f(x) - g(x), ya que:

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)

(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)

Por tanto,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Análogamente,

Integrales indefinidas

ð Segunda propiedad de las integrales

La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función.

Es decir,

Integrales indefinidas

Demostración:

Integrales indefinidas

Pero (k · F(x))' = k · F'(x) = k · f(x), lo que indica que k · F(x) es una primitiva de

k · f(x). Por tanto,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por descomposición

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

son integrales inmediatas pertenecientes al segundo caso.

En la primera, m = 2, y en la segunda, m = 1.

Así,

Integrales indefinidas

Por consiguiente,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

= - cos x - 3 In |cos x| + C

Integrales indefinidas

Resolución:

ð Desarrollando por la fórmula del cuadrado de un binomio:

Integrales indefinidas

ð Así,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

(Obsérvese que ahora la variable es t y no x. Conviene acostumbrarse al manejo de cualquier variable aunque la más utilizada sea la x.)

Integrales indefinidas

ð Aplicando la propiedad distributiva del producto:

Integrales indefinidas

ð Entonces,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

ð Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:

Integrales indefinidas

ð Por tanto,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integración por cambio de variable (o sustitución)

Integrales indefinidas
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.

Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x → u(x) → u(x)m , la regla de la cadena

Integrales indefinidas

Por tanto,

Integrales indefinidas

Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.

Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

ð Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se Integrales indefinidas

por la constante (en este caso 2) que falta.

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

ð Se multiplica y se divide por 3:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Ejercicio: cálculo de integrales por cambio de variable

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

ð Se multiplica y se divide por 6:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

Por tanto,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

La derivada de ex es la propia función ex . Si en lugar de x se tuviese una función

u( x ), la derivada de eu( x ) por la regla de la cadena es eu( x ) · u' ( x ).

Por consiguiente,

Integrales indefinidas

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( II )

Ejercicio: cálculo de integrales mediante cambio de variable

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Resolución:

ð En primer lugar se saca de la integral la constante 5.

Integrales indefinidas

ð Se multiplica y se divide por 3:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

ð Se multiplica y se divide por - 1.

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

ð Se multiplica y se divide por 2:

Integrales indefinidas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Haciendo un estudio análogo a los anteriores, se deduce que

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

La derivada de - cos x es sen x. Por la regla de la cadena, la derivada de - cos u es

u' · sen u. Análogamente, la derivada de sen u es u' · cos u.

Así se tienen

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

La primera de ellas significa sen (x · x · x), mientras que la segunda es (sen x) · (sen x) · (sen x).

Integrales indefinidas

ð Se saca el factor 5 de la integral.

ð Se multiplica y se divide por 3.

Integrales indefinidas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Como en casos anteriores es sencillo demostrar que:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Resolución:

ð Se saca de la integral la constante 13.

Integrales indefinidas

ð Se multiplica y se divide por 50:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

ð Se multiplica y se divide por 3.

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

ð Se extrae la constante 3 de la integral.

Integrales indefinidas

Por la derivada de un cociente,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Si u es una función de x, derivando por la regla de la cadena la función sec u, se obtiene u' · sec u · tg u. Análogamente, la derivada de la función - cosec u es u' · cosec u · cotg u. Por tanto,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

ðSe multiplica y se divide por 2:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

ð Se multiplica y se divide por 2:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð De los casos 14, 15 y 16 de integrales inmediatas se deducen, de forma similar a como se ha hecho en los casos anteriores, las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

Así, se ve claro que el cambio que se ha de efectuar es:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

ð Se multiplica y se divide por 3:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

ð Esta integral, aparentemente, no pertenece a ninguno de los tres casos, aunque tiene cierto parecido a una integral del primer caso.

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

La técnica utilizada para resolver esta integral es de uso frecuente en el cálculo de integrales de cualquiera de estos tres modelos que se están estudiando.

Integrales indefinidas

Resolución:

ð Siguiendo los pasos del anterior ejercicio:

Integrales indefinidas

ð Esta integral pertenece al segundo de los dos casos. El cambio que se Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

Integrales indefinidas

lugar a una integral del tercer caso:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Por tanto, es necesario multiplicar y dividir por 3.

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð De los casos 17, 18, 19, y 20 de integrales inmediatas se obtienen las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( III )

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Resolución:

ð Esta integral pertenece al tercero de los casos. Basta escribir 6x2 - 1 de forma adecuada: 6x2 - 1 = (Integrales indefinidas
x)2 - 1

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

ð Escribiendo 25 x2 en la forma (5x)2, el cambio a efectuar es u = 5x; u' = 5.

ð Se multiplica y se divide por 5.

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

ð Transformando adecuadamente 4 - x2, esta integral es del cuarto tipo:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Se estudia aquí esta integral por resolverse mediante un cambio de variable y por su frecuente uso en el cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales definidas, que se estudiarán más adelante.

Integrales indefinidas

se hace uso del cambio de variable, x = a · sen t.

Diferenciando, dx = a · cos t dt.

Así,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Por trigonometría se sabe que:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

En consecuencia,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Recordando que sen 2 t = 2 sen t · cos t,

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Se llega, finalmente, a la siguiente igualdad:

Integrales indefinidas

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integrales indefinidas

Resolución:

ð Cambio de variable:

x = 3 sen t

dx = 3 cos t dt

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

ð Se deshace el cambio:

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:

ð En este caso se aplicará directamente el resultado al que se llegó:

Integrales indefinidas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Vídeos relacionados