Funciones y Trigonometría

Matemáticas. Función Exponencial, Logarítmica, Potencial. Leyes de los exponentes. Propiedades de los logarítmos. Función circular. Circunferencia trigonométrica. Seno. Coseno. Tangente. Secante. Cosecante. Función circular inversa

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DEBER DE MATEMATICAS

FUNCION EXPONENCIAL

Sea 'Funciones y Trigonometría'
un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia 'Funciones y Trigonometría'
se llama función exponencial de base a y exponente x. 

Como 'Funciones y Trigonometría'
para todo 'Funciones y Trigonometría'
'Funciones y Trigonometría'
,la función exponencial es una función de 'Funciones y Trigonometría'
en 'Funciones y Trigonometría'

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial. 

LEYES DE LOS EXPONENTES

Sean a y b reales positivos y x,yðð  ,entonces: 

1. 'Funciones y Trigonometría'
'Funciones y Trigonometría'
 

2. 'Funciones y Trigonometría'
 

3. 'Funciones y Trigonometría'
 

4. 'Funciones y Trigonometría'
 

5. 'Funciones y Trigonometría'

6 .'Funciones y Trigonometría'
 

Cuando a > 1 ,si x < y, entonces, 'Funciones y Trigonometría'
.Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial 
de base a es estrictamente creciente en su dominio. 

Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces, 'Funciones y Trigonometría'

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en 

su dominio. 

'Funciones y Trigonometría'

10.Si 0< a < b ,se tiene: 

'Funciones y Trigonometría'
 

'Funciones y Trigonometría'

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. 

11. Cualquiera que sea el número real positivo 'Funciones y Trigonometría'
'Funciones y Trigonometría'
,existe un único número real'Funciones y Trigonometría'
tal que 

'Funciones y Trigonometría'
. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva. 

Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real. 
 

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 

En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales.

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 y de base a< 1

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial 'Funciones y Trigonometría'
no está acotada superiormente. Es decir , 'Funciones y Trigonometría'
crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es , 'Funciones y Trigonometría'
tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos. 

Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial 'Funciones y Trigonometría'
no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, 'Funciones y Trigonometría'
crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y 'Funciones y Trigonometría'
tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. 

El hecho de ser la función exponencial 'Funciones y Trigonometría'
con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. 

En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva. 

FUNCION LOGARITMICA

Sea a un real positivo fijo,'Funciones y Trigonometría'
y sea x cualquier real positivo, entonces:

'Funciones y Trigonometría'

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base 'Funciones y Trigonometría'

denotada por 'Funciones y Trigonometría'
,se llama: función logarítmica de base a, y, el número 'Funciones y Trigonometría'
se llama logaritmo de x en la base a. 

La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. 

En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos. 

PROPIEDADES DE LOS LOGARÍTMOS

Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces : 

'Funciones y Trigonometría'

'Funciones y Trigonometría'

'Funciones y Trigonometría'

'Funciones y Trigonometría'

'Funciones y Trigonometría'

'Funciones y Trigonometría'
'Funciones y Trigonometría'

Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces, 'Funciones y Trigonometría'
.Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio. 

Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces, 'Funciones y Trigonometría'
.Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio. 

Para todo número real 'Funciones y Trigonometría'
, existe un único número real 'Funciones y Trigonometría'
tal que 'Funciones y Trigonometría'
. Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva . 

'Funciones y Trigonometría'
'Funciones y Trigonometría'

'Funciones y Trigonometría'

Si 'Funciones y Trigonometría'
, y, ð != 0 , entonces, 'Funciones y Trigonometría'
(Invarianza)

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Aquí aparecen las gráficas de las funciones 'Funciones y Trigonometría'
'Funciones y Trigonometría'
, en concordancia con las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior. 

En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas 'Funciones y Trigonometría'
'Funciones y Trigonometría'
.Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x

FUNCIÓN POTENCIAL

La función y = xr (r " 0) se denomina función potencial de exponente r. Si r = 1 la función potencial es una función lineal y si r = 2 se obtiene una función cuadrática. El exponente r también puede ser un numero entero negativo o un numero racional o irracional. Cuando r es entero y positivo se trata de una función polinómica.

Ejemplo:

Todos las graficas se cortan en (1.1).

ECUACIUONES EXPONENCIALES Y ALGORITMICAS

Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

En este tipo de ecuaciones se debe tener presentes las propiedades de logarítmos ya que las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas una de otras.

Ecuación exponencial:

Aplicamos logaritmo a ambos miembros de la ecuación.

Al resolverse el logaritmo queda una ecuación  la que puede ser lineal o cuadrática. De ser cuadrática se aplica la ecuación para resolverla. En este caso es lineal así que se despeja x.

Ecuación logarítmica

Aplicamos definición de logaritmo. Como no hay ningún número que indique la base del logaritmo, la base es 10. Por definición, el resultado del logaritmo es la potencia, así que queda 102.

Al quedar una ecuación se despeja x.

Ejercicios:

LAS FUNCIONES CIRCULARES

Denominamos funciones trigonométricas circulares a aquellas funciones trigonométricas referenciadas en la circunferencia.

Las funciones trigonométricas construidas con referencia en la hipérbola se denominan funciones hiperbólicas.

Por simplicidad, y puesto que lo permite el Teorema de Thales, usamos la circunferencia trigonométrica (de radio unidad) para el estudio de las funciones circulares, lo mismo que podríamos usar la hipérbola equilátera de parámetro unidad para el estudio de las funciones hiperbólicas.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Para un punto cualquiera (x,y) se verifica, cualquiera que sea el radio r de la circunferencia, que son constantes las razones x/r, y/r, en virtud del Teorema de Thales. Por lo cual, y por simplicidad, podemos utilizar, en el estudio de las funciones circulares, la circunferencia en la que r = 1, es decir, la que llamaremos circunferencia trigonométrica, de radio unidad.

sen a : “seno circular del ángulo a”, o, simplemente, “seno de a”
Función seno: f(x)= senx

cos a : “coseno circular del ángulo a”, o, simplemente, “coseno de a”
Función coseno: f(x)= cosx

tg a : “tangente circular del ángulo a”, o, simplemente, “tangente de a”
Función tangente: f(x)= tgx

ctg a : “cotangente circular del ángulo a”, o, simplemente, “cotangente de a”
Función cotangente: f(x)= ctgx (inversa de la tangente)

sec a : “secante circular del ángulo a”, o, simplemente, “secante de a”
Función secante: f(x)= secx (inversa del coseno)

cosec a : “cosecante circular del ángulo a”, o, simplemente, “cosecante de a”
Función cosecante: f(x)= cosecx (inversa del seno)

DOMINIOS Y GRÁFICAS

El seno y su inversa

Características de y = sen x:

Función seno: función real de variable real 'Funciones y Trigonometría'

Dominio: Dom(sen(x))=R
Rango: [-1,1]
Paridad: sen x = - sen(-x) [función impar]

La cosecante:

y= cosec x = 1/sen x
Función cosecante: Función real de variable real: 'Funciones y Trigonometría'

Dominio: Dom(cosec(x))= R-'Funciones y Trigonometría'

Rango: R - (-1, 1)
Paridad: cosec x = -cosec(-x) [función impar]

Gráficas:

El coseno y su inversa

Características de y = cos x:

Función coseno: función real de variable real 'Funciones y Trigonometría'

Dominio: Dom(cos(x))=R
Rango: [-1,1]
Paridad: cos x = cos(-x) [función par]

La secante:

y= sec x = 1/cos x
Función secante: Función real de variable real: 'Funciones y Trigonometría'

Dominio: Dom(sec(x))=R- 'Funciones y Trigonometría'

Rango: R - (-1, 1)
Paridad: sec x = sec(-x) [función par]

Gráficas:

La tangente y su inversa

Características de y = tg x:

Función tangente: función real de variable real 'Funciones y Trigonometría'

Dominio: Dom(tg(x))=R-'Funciones y Trigonometría'

Rango: R
Paridad: tg x = - tg(-x) [función impar]

La cotangente:

y= ctg x = 1/tg x
Función cotangente: Función real de variable real: 'Funciones y Trigonometría'

Dominio: Dom(ctg(x))= 'Funciones y Trigonometría'

Rango: R
Paridad: ctg x = - ctg(-x) [función impar]

Gráficas:



FUNCION CIRCULAR INVERSA

El seno, en 'Funciones y Trigonometría'
es monótona creciente, entonces podemos definir el inverso de la función seno restringida al intervalo

'Funciones y Trigonometría'
.

Análogamente podemos considerar la función coseno

en el intervalo 'Funciones y Trigonometría'
La tangente en 'Funciones y Trigonometría'
obtenemos una

función creciente cuya inversa estará definida en todo 'Funciones y Trigonometría'
.

Así tendremos las siguientes definiciones:

Función arcoseno.


'Funciones y Trigonometría'
, 'Funciones y Trigonometría'
.

El arcoseno se define como el único

'Funciones y Trigonometría'
tal que 'Funciones y Trigonometría'
. La imagen del arcoseno es el intervalo

'Funciones y Trigonometría'
.

Función arcocoseno.


'Funciones y Trigonometría'
, 'Funciones y Trigonometría'
. El arcocoseno se define como el único 'Funciones y Trigonometría'
tal que 'Funciones y Trigonometría'
. La imagen del arcocoseno es el intervalo 'Funciones y Trigonometría'
.

'Funciones y Trigonometría'

'Funciones y Trigonometría'
'Funciones y Trigonometría'
.

Función arcotangente.


'Funciones y Trigonometría'
, 'Funciones y Trigonometría'
. La arcotangente se define como el único

'Funciones y Trigonometría'
tal que 'Funciones y Trigonometría'
. La imagen de la arcotangente es el

intervalo 'Funciones y Trigonometría'
.

Para construir las correspondientes gráficas basta usar el método descrito anteriormente. Como ejemplo lo mostraremos para la función inversa del seno y del coseno.

De manera análoga podemos definir las funciones inversas de

la 'Funciones y Trigonometría'
'Funciones y Trigonometría'
y de la

'Funciones y Trigonometría'
.

'Funciones y Trigonometría'

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