Funciones y logaritmos

Trigonométricas: seno, coseno, tangente. Función. Dominio y recorrido. Continuidad. Máximos, mínimos. Concavidad y convexidad. Traslaciones. Logaritmo

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SENOS, COSENOS Y TANGENTES (REPASO):

Grados

Radianes

Seno

Coseno

Tangente

0

0

0

1

0

30

pi / 6

un medio

Raíz de 3 / 2

raíz de 3 / 3

45

pi / 4

raíz de 2 / 2

Raíz de 2 / 2

1

60

pi /3

raíz de 3 / 2

Un medio

raíz de 3

90

pi / 2

1

0

infinito

Senos (truco): (Coseno truco = pero el cero ponerlo del 90 a la izquierda y /2.

0 30 45 60 90

0/2 1/2 2/2 3/2 4/2

0/ 2 = 0.............. seno de 0 = 0

½ = ½ ................. seno de 30 = ½

2/2 en raíz cuadrada...................... seno 45 = raíz 2/2

3/2 en raíz cuadrada................. seno de 60 = raíz 3/2

4/2 en raíz cuadrada...................... seno de 90 = 1

Seno + Seno + Aclaración:

Coseno - Coseno + Seno: si está a la derecha o a

Tangente - OY Tangente + la izquierda del eje OY

Coseno: si está arriba o abajo

Del eje OX.

OX

Seno - Seno -

Coseno - Coseno +

Tangente es + Tangente -

FUNCIONES (REPASO TEMA ANTERIOR):

Su forma es f(x) = ...............

Continuidad: Se dice que hay continuidad cuando no se levanta el lápiz del papel para dibujar la función y es discontinua cuando si.

Se ve de la siguiente manera:

  • f (a)

  • lim f (x) = .....

x....... (por la drcha y por la izq)

Dominio : Valores que puede tomar la X

Recorrido: Valores que puede tomar la Y

Crecimiento y decrecimiento de una función: Se ve de la siguiente manera:

  • X1 > X2 ............ f (X1) > f (X2)......................... Entonces es creciente.

  • X1 > X2.............. f (X1) < f (X2)..........................Entonces es decreciente.

La colocación de los signos es importante: cuando son distintos “decrece”, cuando son iguales “crece”.

Máximos y Mínimos:

Máximos: Es cuando en una función uno de los puntos sobre sale de los demás, todos están por debajo de él.

Mínimos: Es cuando en una función uno de los puntos sobre sale de los demás, todos están por encima de él.

Máximo

Mínimo

Simetría:

Se tiene que cumplir que f (X) = f (-X)................simetría par

Se tiene que cumplir que f (-X) = -f (X)...............simetría impar

Pendiente:

El número que multiplica a la X es la pendiente (m).

Ejemplo: f (X) = -3X.........”la pendiente sería “-3”...”

Pendiente es negativa: desciende

Pendiente es positiva: asciende

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos: “En este caso te dan las coordenadas de dos puntos y tu tienes que ponerlas aquí.”.........de esta manera se saca la función.

X - X1 Y - Y1

X2 - X1 = Y2 - Y1

Ecuación de un punto y la pendiente: “En este caso te dan un punto y la pendiente”..... tienes que hallar la función.

M (X - X1) = Y - Y1

Puntos de corte:

Con el eje OX....... siempre Y = 0 “Solo hay que poner y = 0 en la función y despejar la X”.

Con el eje OY....... siempre X = 0 “Solo hay que poner x = 0 en la función y despejar la Y”.

Funciones:

F (X) = mx + n “Siempre son líneas rectas”.

F (X) = mx

F (X) = n

Representar los puntos del recorrido o el dominio:

Paréntesis ( , ) ......... para intervalos abiertos.

Llaves....... para un solo punto.

Corchetes ........ para intervalo cerrado.

Punto gordo....... cuando el punto no se incluye en la función o en el intervalo

Punto relleno.....cuando si

Forma de la función de segundo grado: - b +/- raíz cuadrada de (b2 - 4ac)

2 a

a (número que multiplica a la X2(cuadrado))

b (número que multiplica a la X)

c (término independiente)

  • Siempre se iguala a 0

Todas la funciones de segundo grado son parábolas:

  • Y = ax(2) + bX + c

Si Y = ax(2).............................vértice en el (0,0); a > 0 (cóncava hace OY+) y si a<0 (cóncaba hacia OY-), Simétrica OY. Si /a/ es >1 es cerrada OY; Si es <1 es abierta OY.

Cóncava OY+ Cóncava OY-

Si es Y = ax(2) + bx................ vértice (-b72a , 0), simetría en OY

Si es Y = ax(2) + c ...................vértice (0 , c)

Si es Y = ax(2) + bx + c .....................................................vértice ( -b/2 a , b(2) - 4ac)

2

Valores absolutos: El valor absolutos de un número es ese mismo número pero sin signo.

Por lo que si en una función aparece /x/ quiere decir que es absoluto. Ejemplo:

f (x) = /x/......... Si damos el valor de - 3 y 3 a la x........... saldrán 3 espacios a cada lado.

Pasa por + 3

Pasa por - 3

Tasa de variación media

Nombre de la pendiente en economía.

TVM = f (x2) - f (x1)

X2 - x1

TVM = tg de alfa (alfa ángulo que forma la función con el eje OX) = m

TEMA 10: TEMA DEL EXAMEN

  • En una función de segundo grado cuando el valor absoluto de a (es decir, el valor absoluto del número que multiplica a la x(2) es mayor que 1............. es más cerrada y si es menor que 1 ..... es más abierta.

-También saber donde está el vértice

Sistemas de ecuaciones:

- En los sistemas hay que despejar la Y

  • Después de estar despejada se le dan valores a la variable independiente (X) y se dibuja la gráfica de todos los intervalos que tenga el sistema.

  • El punto donde se cortan es la solución al sistema

EJEMPLO:

Funciones y logaritmos
Funciones y logaritmos

Traslaciones:

Traslaciones horizontales: la función se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda sobre el eje OX

T. Horizontal. ( EJEMPLO: y = 2 (x-3)2 ....se interpreta

Como que se desplaza a la derecha por el (-) y como esta

Al cuadrado quiere decir que es una t. Horizontal. Si

Fuera +3 seria traslación a la izquierda.)

Traslaciones verticales: la función se desplaza hacia arriba o hacia abajo sobre el eje OY.

T. vertical. (EJEMPLO: y = 2 (x-3) +5...el +5 quiere

Decir que la traslación es el eje vertical. Y el 2 nos dice si

Es más abierta o más cerrada .

Ambas traslaciones: Se traslada en el eje OX y en el OY

Hacia abajo y desplazada hacia la derecha.

Traslación horizontal.......... (-) a la derecha

(+) a la izquierda

Traslación vertical.............. (-) hacia arriba

(+) hacia abajo

No olvidar las igualdades notables.

(x + y) (2) al cuadrado:.........Cuadrado del primero más cuadrado del segundo, más el doble del primero por el segundo.

(x+Y)(2) al cuadrado:............Cuadrado del primero más cuadrado del segundo, menos el doble del primero por el segundo.

Dominio y recorrido de algunas funciones:

F (x) = 1/x(2)............Recorrido todo R y dominio todo R - 0

F (x) = 1 /x(3)...........Recorrido todo R menos 0 y dominio todo R menos 0

F(x) = tg x..........Dominio: todo R - a pi/2, para todo a perteneciente a los nº entero impares.

“Porque la tangente de 90 (pi/2), la de 270... es infinita, y por lo tanto indefinida”.

Y su recorrido es todo R.

F (x) = sen x, si x < 0

Tg x, si x > 0 ......................... dominio: por parte del seno (todos los R-, porque son todas las x menores de 0 y los senos solo salen negativos.) y por parte de la tangente igual que la anterior. Recorrido: todo R

F (x) = cos x. ....... dominio: sería todo R positivos, porque los cosenos pueden ser

X negativos y positivos, pero como aquí la x tiene que ser =, pues siendo los dos negativos da positivos y siendo los dos positivos da positivo tb.

Asíntotas:

Asíntotas verticales: paralela al eje OY

Lim f(x)..... +infinito Como los dos tienden a infinito aunque diferente signo

x...a- entonces existe asíntota.

lim f(x)....- infinito

x....a+

Asíntotas horizontales: paralelas al eje OX

Lim f(x)...... = a Como los dos tienen el mismo número (a) de solución, entonces

x.........+infinito hay asíntota horizontal.

Lim f (x).......= a

x.......- infinito

Asíntotas Obicuas

Cuadros resumen de una función:

Se pone: Los números elegidos ( - infinito, - 2pi, pi/2...)y para abajo:

- f (x) (donde se dice la solución que saldría al sustituir esos números en la función,

- dominio (cual entra dentro y cual no),

- puntos de corte (donde corta y donde no),

- crecimiento y decrecimiento (hasta donde crece y hasta donde decrece)

- Puntos de discontinuidad (donde no es continua)

- Asíntotas (en que punto hay un asíntota (horizontal o vertical)).

  • Signo de la función (donde es positiva y donde negativa).

NOTES: En la continuidad y en cualquier parte del análisis de la función hay que fijarse si entra dentro del dominio o si no.

- Puntos de corte, aquellos que no entran en el dominio.

LOGARITMOS

- Es el exponente al que hay que elevar dicho número para que me de la base.

Log a b= x......................a(x)=b

- Cuando no aparece ninguna base es que es 10.

Propiedades de los logaritmos:

  • log x 1 = 0 (logaritmo en base x (cualquiera) de 1 es siempre 0).

  • Log a 1 = y; a (y) = 1; y = 0

  • log 10 10 = 1 logaritmo en base 10 de 10 es siempre 1

  • (logaritmo de cualquier número por su misma base es igual a 1)

  • log ( A por B) = log A + log B

  • log (A/B) = log A - log B

  • log A (m(elevado)) = m por log A (logaritmo de una potencia).

  • Como sacar un logaritmo para la calculadora

    Log 5 37 =x ..................5(x) = 37

    Log 5(x) = log 37

    X . log 5 = log 37 ( esto es por la propiedad del logaritmo como

    Potencia)

    X = log 5 / log 37

    X= 1,56 /0,69 ; x = 2,26

    Logaritmo que no esté en base 10, se hace: x = log del número / log de la base.

    Cualquier logaritmo, independientemente de la base que tenga corta en el punto (0,1).

    Tener en cuenta cuando hay un “log” a un lado y a otro que desaparecen.

    Tener en cuenta las propiedades de los logaritmos.

    SISTEMAS LOGARÍTMICOS. Tener en cuenta las propiedades y despejar como cualquier otro sistema.

    Log x + log y = 3 log x · y = log 1000 log XY = log 1000

    2 log x - 2 log y = -2 log x(2) · log y (2) = log 1/100 log x(2)/y (2) = log 1/100

    XY = 1000 Y = 1000/X Y = 1000/x

    X(2) /Y(2) = 1/100 Raíz de 100x(2) = raíz de y(2) 10x = y......................etc.

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