Funciones racionales y potenciales. Asíntotas

Análisis. Funciones. Geometría. Función racional y potencial, dominio. Asíntota horizontal, vertical y oblicua

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Funciones racionales y potenciales. Asíntotas.

  • Funciones racionales.

  • Una función racional es de la forma f(x)=p(x)/q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios, con q(x)"0.

    El dominio de una función racional es toda la recta real, excepto los valores de x que anulan al denominador.

    Ejemplos de funciones racionales:



    Funciones racionales y potenciales. Asíntotas


  • Funciones potenciales.

  • Una función potencial es de la forma f(x)=axn, donde a y n pueden ser cualquier par de números reales.

    2.1 Funciones potenciales pares.

    Una función potencial par es de la forma f(x)=axn, con a>0 y n un número natural par.

    Propiedades:

    • El dominio de la función es la recta real !

    • El recorrido de la función es el intervalo [0,"), ya que la potencia par de un número es siempre positivo.

    • La función es simétrica respecto del eje Y, ya que f(x)=f(-x).

    • La función es continua en todo su dominio.

    • La función es creciente para x<0 y creciente para x>0.

    Ejemplos:




    2.2 Funciones potenciales impares.

    Una función potencial par es de la forma f(x)=axn, con a>0 y n un número natural impar.

    Propiedades:

    • El dominio de la función es la recta real !

    • El recorrido de la función es. la recta real !

    • La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).

    • La función es continua en todo su dominio.

    • La función es siempre creciente.

    Ejemplos:



    3. Asíntotas.

    3.1 Asíntotas horizontales.

    Una recta horizontal y=b es una asíntota horizontal de una función f(x) si:

    Ejemplo:

    Al tender x a +" o a -" la función se aproxima a -2, ya que:

    Se dice entonces que la recta y=-2 es una asíntota horizontal.

    OBSERVACIONES:

    • Una función tiene como máximo dos asíntotas horizontales: cuando x!+" o cuando x!-".

    • La gráfica de una función puede cortar a su asíntota horizontal.

    Ejemplo de una función cuya gráfica corta a su asíntota horizontal

    Ejercicio resuelto:

    Hallar las asíntotas horizontales de la función:

    • Para hallar las asíntotas horizontales calculamos el límite de la función cuando x tiende a +" y -".

    Por tanto y=0 es una asíntota horizontal

    Ejercicio:

  • Hallar las asíntotas horizontales de la función:

  • 3.2 Asíntotas verticales:

    Ejemplo:

    Cuando x se aproxima a 0, la función tiende a +".

    Se dice que la recta x=0 es una asíntota vertical de la función.

    OBSERVACIONES:

    • Una función puede tener cualquier número de asíntotas verticales.

    • La gráfica de una función racional no corta a sus asíntotas verticales.

    • Las asíntotas verticales de las funciones racionales se obtienen para los valores de x que anulan al denominador pero no al numerador.

    Ejercicio resuelto:

    Dada la función

    Hallar sus asíntotas verticales.

    La función tiende a ±" cuando el denominador se anula; por tanto, x2+6x-7=0, de donde x=1 y x=-7 son las asíntotas verticales.

    Ejercicios:

    a) Dada la función:

    Hallar, si las hay, sus asíntotas. Tanto horizontales como verticales.

  • Dada la función:

  • Hallar, si las hay, sus asíntotas. Tanto horizontales como verticales.

  • Asíntotas oblicuas.

  • Limitamos el estudio de estas asíntotas al caso de las funciones racionales.

    OBSERVACIONES:

    • La gráfica de una función puede cortar a su asíntota oblicua.

    • Si una función racional tiene una asíntota oblicua no puede tener asíntota horizontal, y recíprocamente.

    Ejercicio resuelto:

    Dada la función:

    Hallar, si las hay, sus asíntotas oblicuas.

    Dividiendo el numerador entre el denominador resulta

    A medida que x tiende a ±" se verifica que 1/x tiende a 0, y en consecuencia la función:

    Se aproxima a la recta y=x-1.

    Se dice que la recta y=x-1 es una asíntota oblicua.

    Ejercicios:

    Hallar las asíntotas de las siguientes funciones:


    a)

    b)

    c)

    d)



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