Funciones racionales y potenciales. Asíntotas

Funciones racionales y potenciales. Asíntotas.

Una función racional es de la forma f(x)=p(x)/q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios, con q(x)"0.

El dominio de una función racional es toda la recta real, excepto los valores de x que anulan al denominador.

Ejemplos de funciones racionales:

Una función potencial es de la forma f(x)=axn, donde a y n pueden ser cualquier par de números reales.

2.1 Funciones potenciales pares.

Una función potencial par es de la forma f(x)=axn, con a>0 y n un número natural par.

Propiedades:

• El dominio de la función es la recta real !

• El recorrido de la función es el intervalo [0,"), ya que la potencia par de un número es siempre positivo.

• La función es simétrica respecto del eje Y, ya que f(x)=f(-x).

• La función es continua en todo su dominio.

• La función es creciente para x<0 y creciente para x>0.

Ejemplos:

2.2 Funciones potenciales impares.

Una función potencial par es de la forma f(x)=axn, con a>0 y n un número natural impar.

Propiedades:

• El dominio de la función es la recta real !

• El recorrido de la función es. la recta real !

• La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).

• La función es continua en todo su dominio.

• La función es siempre creciente.

Ejemplos:

3. Asíntotas.

3.1 Asíntotas horizontales.

Una recta horizontal y=b es una asíntota horizontal de una función f(x) si:

Ejemplo:

Al tender x a +" o a -" la función se aproxima a -2, ya que:

Se dice entonces que la recta y=-2 es una asíntota horizontal.

OBSERVACIONES:

• Una función tiene como máximo dos asíntotas horizontales: cuando x!+" o cuando x!-".

• La gráfica de una función puede cortar a su asíntota horizontal.

Ejemplo de una función cuya gráfica corta a su asíntota horizontal

Ejercicio resuelto:

Hallar las asíntotas horizontales de la función:

• Para hallar las asíntotas horizontales calculamos el límite de la función cuando x tiende a +" y -".

Por tanto y=0 es una asíntota horizontal

Ejercicio:

3.2 Asíntotas verticales:

Ejemplo:

Cuando x se aproxima a 0, la función tiende a +".

Se dice que la recta x=0 es una asíntota vertical de la función.

OBSERVACIONES:

• Una función puede tener cualquier número de asíntotas verticales.

• La gráfica de una función racional no corta a sus asíntotas verticales.

• Las asíntotas verticales de las funciones racionales se obtienen para los valores de x que anulan al denominador pero no al numerador.

Ejercicio resuelto:

Dada la función

Hallar sus asíntotas verticales.

La función tiende a ±" cuando el denominador se anula; por tanto, x2+6x-7=0, de donde x=1 y x=-7 son las asíntotas verticales.

Ejercicios:

a) Dada la función:

Hallar, si las hay, sus asíntotas. Tanto horizontales como verticales.

Hallar, si las hay, sus asíntotas. Tanto horizontales como verticales.

Limitamos el estudio de estas asíntotas al caso de las funciones racionales.

OBSERVACIONES:

• La gráfica de una función puede cortar a su asíntota oblicua.

• Si una función racional tiene una asíntota oblicua no puede tener asíntota horizontal, y recíprocamente.

Ejercicio resuelto:

Dada la función:

Hallar, si las hay, sus asíntotas oblicuas.

Dividiendo el numerador entre el denominador resulta

A medida que x tiende a ±" se verifica que 1/x tiende a 0, y en consecuencia la función:

Se aproxima a la recta y=x-1.

Se dice que la recta y=x-1 es una asíntota oblicua.

Ejercicios:

Hallar las asíntotas de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d)

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